湘大概率论与数理统计复习题

一、单项选择题1.设BA，是两个互不相容的事件，,0P0APB，则一定成立。.B1APAP：.0B|AP:B.1B|APC：.0BAP:D2.随机变量X的分布函数一定为。：不减函数，A不增函数，:B：严格减函数，C.D：严格增函数3.设随机变量nt~X，则2X服从的分布为。；nt:A；：nt/1B；，：n1FC;1,FDn：4、设随机变量X与2X的期望都存在，则一定有。;EA2EXX：；22EXEX:B；EXEX:C222:DEXEX5、设随机变量X服从指数分布01.0e，则EX等于。01.0A：1.0:B10:C100:D1、设BA，是两个互不相容的事件，,0P0APB，则一定成立。.B1APAP：.0B|AP:B.1B|APC：.0BAP:D答案：B解析：互不相容互斥即有：互斥互不相容；反之不成立。例子:若事件总体集合为CBA，，，那么A与B为互不相容事件，但不是互斥事件。若事件总体集合为BA,，那么A与B为互不相容事件，又是互斥事件。则很显然A选项是错误的，（原因是：题中没有说A，B构成整个样本空间）。由BA，是两个互不相容的事件，则有以下式子成立：BPAPBAP0ABP有条件概率公式得：00ABP|BPBPBAp即B选项正确。1BPAPABP-APBAP|BPBPBAp选项错误C1ABP-1BAP所以D选项错误。2.随机变量X的分布函数一定为。：不减函数，A不增函数，:B：严格减函数，C.D：严格增函数答案:A解析:分布函数的性质；1xF0且1limFxFx；0lim-F-xFx。xF是x的单调不减函数，即若21xx，则21xFxF。3、设随机变量nt~X，则2X服从的分布为。；nt:A；：nt/1B；，：n1FC;1,FDn：答案：C解析：nt~X，根据nt的定义有：设nxx2!X其中1,0~1Nx，nx22~；又因为1~221x，所以根据F分布的定义知n，1F~2，故选C。知识点：1、n2分布设nxxx,21,相互独立，且都服从标准正态分布1,0N，则称随机变量niix122X所服从的分布为自由度为n的2分布，记为n2。2、nt分布设1,0~XN，n2~Y，且X与Y独立，则称随机变量nYXT，所服从的分布为自由度为n的t分布，记为ntt~。3、F分布设：n2~X，m2~Y，且X与Y独立，则称随机变量mYn//XF所服从的分布为第一自由度为n，第二自由度为m的F分布，记为mn，F~F。4、设随机变量X与2X的期望都存在，则一定有。;EA2EXX：；22EXEX:B；EXEX:C222:DEXEX答案：B考点：方差的计算公式：22xDEXEX由于X与2X的期望都存在，知xD存在，并且0xD则有：2222EXEX0EXEX故选B选项。5、设随机变量X服从指数分布01.0e，则EX等于。01.0A：1.0:B10:C100:D答案：D解析：由01.0e，知01.0，所以10001.011Ex。知识点：1、两点分布pxE，ppx1D；2、pnB,~XnpxE，pnpx1D；3、P~XxE，xD4、ba,U~X2Ebax，12D2abx5、指数分布，参数为1Ex，21Dx6、2N~X，xE，2Dx二、填空题1、袋子中有5白球3黑球，一次无放回取球，每一次取1球，则第6次取白球的概率为。2、已知随机变量X满足2DXX，E，则由切比雪夫不等式，有5-XP3、设1ˆ，2ˆ，3ˆ是总体未知参数的无偏估计，321ˆ2ˆ6ˆˆa，如果ˆ也是的无偏估计，则a。4、已知相互独立的随机变量23,2N~X，22,1N~Y，则2Y-XZ的概率分布密度函数zfz。5、设总体X的方差为50，1021,xxx为样本，则样本均值x的方差=。解析：1、解：8533A3231AACC583333255855233558551345ACCAACC。2、考察：切比雪夫不等式22XP，本题中的5，代入公式，得：251522XP3、该题属于无偏估计问题有定义知如果ˆ的数学期望等于未知参数，即ˆE,则称ˆ为的无偏估计。由1ˆ，2ˆ，3ˆ是总体未知参数的无偏估计，则有1ˆE，2ˆE，3ˆE设ˆ是的无偏估计，则有ˆE，即有321ˆE2ˆE6-ˆˆEaE，推出5a。4、解:2xE23Dx1yE22Dy0222yExEzE22252434DDyExz0,5N~Z,有正态分布的密度函数知502101xzezf。考点：正态分布具有可加性，正态分布的密度函数22221xexf数学期望的线性性质：YEEXYXE。方差的线性性质：xDccx2D，yDxDyxD5、解：有50NN~X2，，5,1050,,~2NNnNx考点：定理:设nxxx21,是来自某个总体的样本，x为样本均值，（1）若总体分布为2N，,则的精确x分布为n2N，（2）若总体分布未知或不是正态分布，2var,Ex存在，则n较大时x的渐进正态分布为n2N，，常记n2N~x，（这里的渐近分布是指n较大的近似分布）。三、袋子中共有ba个球，其中a个白球，b个黑球。甲先取一球，不再放回，乙再取一球。（1）求乙取得白球的概率；（2）求在已知已取得白球的条件下甲取得白球的概率。解：（1）baabaababbaabaa111P白球乙（2）112112211|Pbaabaabaabaababbaabaabaapp白乙白白，乙甲白乙白甲四、袋中有6个产品，其中有4个正品2个次品，每次从中随机抽取1个产品，如果取到正品不放回，直到取到次品为止。求：（1）取到产品数X的概率分布；（2）3-X2D；（3）1-3XY2的概率分布。解：X可取1,2,3,4,5；311xp15452642xp514253643xp152324253644xp1511314253645xpX12345P3115451152151(2)37151515245131542311Ex321E2x914949-321D22ExxEx(3)1-3XY2x123451-3XY2211264774yp3115451152151五、已知二维随机变量YX,的联合概率密度为10,A,02,xyxyyxf其他求（1）常数A（2）X的边缘密度函数；（3）73EX；（4）X与Y是否独立？为什么？（5）已知0.5X条件下Y的条件分布密度函数5.0||yfXY。解（1）1151A02102Adydxaxydxdyxyx得：15A。（2）xxxdyxydyyxfxf042515,（3）7373EExx6555E5104dxxdxxxdxxxfxx29-7373EExx(4)不独立42122151515,yydxxydxyxfyfyY45,xdyyxfxfxyfxfyxfyx,不独立。（5）：242|24515,yxxyxfyxffXxY六、设总体X的分布密度函数为10,12,02,xxxf其他其中21-为未知数，设nxxx,,,21为其样本。求（1）参数的矩法估计；（2）参数的极大似然法估计。解（1）;Exf221212E102dxxxx得：2212x122-1xx。（2）niininixxL122112)12(niiinixnnxL121ln212ln12lnln02.ln122ln1nxndLdnii求参数的矩法估计的步骤：（1）判断未知参数的个数，选着等式建立方程，若一个未知参数选：XEX若两个未知参数选着：XDBEX2，X的式子关于的等是关系，反推参数）建立参数与（XX2求参数的极大似然估计的步骤：a:写出似然函数b:将似然函数两边取对数c:对参数求导，并令导数等于零d:求解方程得极大值点，该极大值点就是所求的参数的极大似然估计。（求参数的极大似然估计就是求似然函数的极大值点的问题。）七、设某产品的某向质量指标服从正态分布，已知它的标准差150，先从一批产品中随机抽取了25个，测得该项指标的平均值为1637，（1）求总体均值的置信水平为0.95的区间估计；（2）在显著性水平05.0下检验假设1600H1600H10：，：。（已知96.164.1025.005,0，）解：（1）150，05.095.0-1代入公式8.1695,2.15785/15096.11637,5/15096.11637/,/2-121nxnx（2）1600H1600H10：，：05.0拒绝区2-1由于1637x，23.10nx96.1，落入接受域，则接受原假设。知识点：一、单个正态总体参数的区间估计1、正态总体均值的区间估计（1）设正态总体2N~X，，0已知，求的区间估计，样本函数1,0~0NnX；对于置信概率为-1，总体均值的置信区间为nXn0202,-X（2）设正态总体2N~X，，未知，求的区间估计，样本函数1~ntnsXt2、正态总体方差2的区间估计（1）设正态总体2N~X，，已知，求2的区间估计样本函数nxni22112~1对于置信概率为-1，总体方差2的置信区间为nxnxniinii221122212,（2）设正态总体2N~X，，未知，求2的区间估计样本函数1~1-n222ns对于置信概率为-1，总体方差2的置信区间为11,112212222nsnnsn二、两个正态总体均值与方差比的区间估计省略课后习题：1：设随机变量X的概率密度为.0,0;0)(xxexfx（1）求1.5}E(X)-Xp{；（2）利用切比雪夫不等式