高等桥梁结构理论课程讲义2014-04

第四讲薄壁箱梁自由扭转及开口截面的约束扭转16/14/202024.1单室闭口箱梁截面杆件的自由扭转一般情况下，薄壁杆件受扭后，杆件轮廓线上各点不仅在其平面内产生相对位移，而且平面还会产生翘曲（凹凸）。可以使杆件轮廓线上各点自由翘曲的扭转称作自由扭转或圣维南扭转。当杆件为等截面直杆时，各截面的翘曲变形u只是截面曲线坐标s的函数)(su，而与纵向坐标z无关，即各截面上同一点s的翘曲位移都相同。纵向线应变0)(zsuz（4-1）故截面正应力为0zzE。1.1.1截面扭转剪力流在小变形条件下，假定杆件外形轮廓在横截面内保持不变（可以发生翘曲）。对于任意截面的杆件，截面上有扭矩KM作用，设扭转中心在1O点，1O点可以任意取，如图4-1所示。6/14/20203图4-1闭口薄壁杆件自由扭转（注：H应改为MK）由于杆件壁很薄，假定自由扭转时剪应力沿壁厚均匀分布。在扭矩KM作用下，截面上将产生剪力流，且)()()(sssq（4-2）式中，)(s为截面s点的剪应力，)(s为截面s点的壁厚。由绕z轴力矩平衡关系可知，dssssMK)()()(（4-3）式中，)(s为扭转中心1O点到轮廓线上某点)(sM的切线垂直距离。6/14/20204将式（4-2）代入（4-3），则qdssqMK)(（4-4）式中，dss)(为外形轮廓线所围面积的两倍，即截面剪力流强度为KMq（4-5）1.1.1截面自由扭转的翘曲位移为了求得纵向翘曲)(su，从杆件中面上任意一点),(szM处取一微元dsdz，其剪切变形的几何物理方程为Gzvsu（4-6）其中，——剪应变；G——剪切模量；u——沿轴向z的位移；v——沿曲线坐标s的位移。由于假定截面外形轮廓线保持不变，则在截面constz上，可以将),(szv写成)()(),(zsszv（4-7）式中，)(z为截面z的扭转角。6/14/20205将式（4-7）及（4-5）代入到式（4-6）中，有GMzssuK)(')(（4-8）在选定曲线坐标s的起算点后（0s），对上式积分，即ssKdsszdsGMzuszu000)()(')(),(（4-9）其中，)(0zu是任意积分函数，其物理意义表示在截面z上0s处的纵向翘曲位移。1.1.1扭率和自由扭转惯性矩对于闭口薄壁杆件，由截面0s处的位移连续条件可得dsszdsGMzuzuK)()(')()(00（4-10）即，dsGMdsGMdssdsGMzKKK2)()('（4-11）6/14/20206令dsJd2（4-12）则式（4-11）可改写为dKGJMz)('（4-13）式中，dJ称为自由扭转惯性矩或扭转常数。式（4-13）表明，当KM一定时，扭率)('z为常量，即杆件沿z轴方向的扭率为一常数，故又称为均匀扭转。式（4-13）对z积分一次，则CzGJMzdK)(（4-14）上式表明，自由扭转时，杆件各截面的扭转角沿纵坐标z按线性变化。故杆件的母线变性后仍为直线。将式（4-13）代入到（4-9），则sdKsKdssGJMdsGMzuszu000)()(),(（4-15）即sdKsKdssGJMdsGMzuszu000)()(),(（4-16）上式右边仅为s的函数，与z无关，表明各截面外形轮廓线上s点的翘曲位移都相同。6/14/20207若式（4-16）右端为零，则0)(00sdKsKdssGJMdsGM（4-17）即sdsdssJds00)(11（4-18）对s求一阶导，并将（4-12）代入，即dss)(（4-19）上式即为截面无翘曲所需满足的条件。当为常数时，)(s亦为常数，则lds（4-20）该式表明，扭转中心取在圆心的等厚圆管的自由扭转截面无翘曲。同样，扭转中心在横截面外接圆圆心的正多边形等厚薄壁杆件的自由扭转也是无翘曲扭转。6/14/202084.2多室闭口箱梁截面杆件的自由扭转对于多室闭口薄壁截面，在扭矩KM作用下，截面上的剪力流属于多次超静定结构，通过变形协调来求解。如图4-2所示闭口薄壁截面，其上作用有外扭矩KM时，假定各室的剪力流),,2,1(niqi。对于自由扭转，各室截面的扭率)('z为常数，故相邻室之间的关系可写为：'1,11,1iiiiiiiiGdsqdsqdsq（4-21）式中，1,1,1,iiiiidsqds分别为第i的左右腹板范围内的积分。利用总扭矩与各室剪力流关系，可得'1dKniiiGJMq（4-22）式中，dJ为整个截面的扭转惯性矩，即'/1GqJniiid；n为箱室数目。6/14/20209图4-2多室闭口薄壁截面6/14/202010【例题2-4】如图4-3所示，单箱三室闭口截面杆件，在两端受到大小相等、方向相反的扭矩KM的作用，求截面上的剪力流分布)3,2,1(iqi和自由扭转常数dJ。图4-3单箱三室薄壁截面示意图（单位：mm）6/14/202011解：假定自左向右各室的剪力流依次为321,,qqq，则根据式（4-21）有第1室：'12,121Gtdsqtdsq（4-23）第2室：'22,13,2312Gtdsqtdsqtdsq（4-24）第3室：'33,223Gtdsqtdsq（4-25）将图2.18中各参数代入上式中，有'24221Gataqtaq（4-26）'242312Gataqtaqtaq（4-27）'24223Gataqtaq（4-28）6/14/202012即tGaq'751tGaq'762tGaq'753taGqJniiid31732'/（4-29）将mma500及mmt10代入上式，即483311014.575714.4732'/mmtataGqJniiid（4-30）采用ANSYS有限元分析软件得到的该截面的扭转常数为48105.57mmJd（如图2.19所示），两者结果相差约0.6%。6/14/202013SECTIONID1DATASUMMARYSectionName=Area=49800Iyy=.228E+10Iyz=.729E-07Izz=.119E+11WarpingConstant=.153E+15TorsionConstant=.575E+10CentroidY=1239.27CentroidZ=711.277ShearCenterY=1239.27ShearCenterZ=711.277ShearCorr.YY=.550105ShearCorr.YZ=-.203E-11ShearCorr.ZZ=.3402721456.277583.777711.277838.777966.277484.27861.77123916171994=Centroid=ShearCenterFile:sample2图4-4薄壁杆件结构自由扭转常数ANSYS计算结果（几何尺寸单位：mm）6/14/202014第五讲薄壁箱梁约束扭转5.1开口截面约束扭转薄壁杆件受扭时，其横截面的纵向翘曲受到约束，则称为约束扭转，如图5-1所示。约束扭转与自由扭转之间的主要区别见表5-1。图5-1薄壁杆件自由扭转与约束扭转变形示意图6/14/202015表5-1薄壁杆件自由扭转与约束扭转主要区别主要指标自由扭转约束扭转边界与荷载形式1.杆端自由；2.大小相等方向相反的扭矩作用于杆件两端不限翘曲位移翘曲位移为)(su，与纵向坐标z无关。翘曲位移为),(zsu，与纵向坐标z有关。正应力正应变0)(zsuz，故正应力0z。正应变0),(zzsuz，故正应力0z。剪应力圣维南扭转剪应力s沿壁厚按直线规律变化，在中面上为零。圣维南扭转剪应力s+附加翘曲剪应力。扭转角变化规律扭转角沿纵坐标z按直线规律变化，扭转率const'。扭转角沿纵坐标z非线性变化，扭转率const'。6/14/2020165.1.1开口截面薄壁杆件约束扭转基本假定a）在小变形条件下，杆件截面外轮廓线在其自身平面内保持刚性，即不变形；在杆件轴向可以翘曲；b）杆件中面上的剪切应变为零。即认为相交于某点的母线与外形轮廓线变形后仍保持为直角。如图5-2所示，杆件截面的外轮廓线中，0M为曲线坐标s点的起始点，切向位移以过M点的正切线方向（逆时针方向）为正，记作),(szv，纵向位移以与z轴方向一致为正，记作),(szu。根据第一条假设，杆件在受力（仅扭转荷载）变形时，其外轮廓线在自身平面内只做刚体转动，而不发生平移。设杆件变形后，截面绕A点旋转了一个角，则M点切向位移),(szv为，)()(),(zsszv（5-1）其中A点为任选扭转中心，也称作极点；)(s是从A点过M点切线的垂直距离，称作极径。从杆件中面上A点附近取出一片dsdz的微元，如图5-3所示。杆件受扭后，M点将产生纵向位移),(szu和切向位移),(szv，与M点相邻的微元的两个顶点处的位移分量将会取一个增量。即6/14/202017图5-2图5-31M点的纵向位移为dzzuu，切向位移为dzzvv；2M点的纵向位移为dssuu，切向位移为dssvv。微元变形后的剪切角即剪应变等于其两边1MM与2MM剪切角之和，即suzvdsudssuudzvdzzvv21（5-2）根据第二条假设，中面上的剪切应变为零，于是有0suzv（5-3）将式（5-1）带入式（5-3），则)()()('),(00zudsszszus（5-4）式中，)(0zu是任意积分函数，其物理意义为在截面z上，0s处的纵向翘曲位移。6/14/202018如图5-4所示，以A点为极点，曲线段的左侧0点为扇性零点，则点M的扇性坐标定义为sdsss0)()(（5-5）式中，sdss0)(为)(s从0点到M点扫过的扇形面积的两倍。从图5-4（b）可以看出，选择不同的扇性零点，其对应的扇性坐标是不同的。根据胡克定律，可以写出薄壁杆件约束扭转正应力为)(')()(0zEuszEw（5-6）图5-4扇性坐标示意图6/14/202019选择合适的主扇性极点与主扇性零点，使式（5-6）中的0)('0zu，且使截面上的轴力、弯矩均为零，则可以得到如下条件：000FyFxFxdFMydFMdFN0)(0)(0)(~FyFxFxdFsJydFsJdFsS（5-7）式（5-7）即为求截面扇性极点和主扇性零点必须满足的条件，其中S~称为截面的扇性静面积矩，xJ、yJ分别为截面关于扇性坐标与直角坐标的惯性积。对于截面直角坐标系与其主坐标重合的情况，截面主扇性零点与主扇性极点的计算公式为:yyDAyxxDAxDJJyyJJxxFSCDD~（5-8）其中，FDDdFS~，FDxydFJD，FDyxdFJD，FxdFyJ2，FydFxJ2；DAxxx，DAyyy。6/14/202020可以证明，对于对称截面，主扇性极点一定在对称轴上，主扇性零点在对称轴与外形轮廓线的交点上。若截面有双对称轴，则主极点在两对称轴的交点上，对称轴与轮廓线的交点均为主零点。习惯上，将薄壁杆件截面的主扇性极点称为截面的剪切中心、扭转中心或弯曲中心，该点在薄壁杆件结构理论中具有重要的意义。其物理意义在于：若薄壁杆件只承受过剪切中心的横向荷载作用，则此杆件处于横向弯曲状态而不发生扭转。5