重庆市荣昌县2015届中考数学考点复习课件：第14讲++二次函数的图像和性质(共19张PPT)

数学第14讲二次函数的图像和性质二次函数的定义形如y＝__________________(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．二次函数的图象及性质•1．图象：二次函数的图象是________．•2．抛物线的开口与最值：当a＞0时，抛物线的开口向________，顶点的纵坐标是函数的________值；当a＜0时，抛物线的开口向________，顶点的纵坐标是函数的________值．•3．性质：当a＞0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而________，在对称轴的右侧，y随x的增大而________；当a＜0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而________，在对称轴的右侧，y随x的增大而________．•4．抛物线y＝a(x－h)2＋k是由抛物线y＝ax2通过平移得到的，平移后的顶点坐标为(h，k)．二次函数的解析式1．一般式：y＝________.2．顶点式：y＝________.3．交点式：y＝________.二次函数与一元二次方程b2－4ac＞0⇔抛物线与x轴有________个交点；b2－4ac＝0⇔抛物线与x轴有且只有________公共点；b2－4ac＜0⇔抛物线与x轴________公共点．二次函数的图象和性质将二次函数的解析式化成顶点式，作出草图，根据二次函数的性质即可解答，数形结合是解决此类问题的常用方法．【例1】(1)(2014·新疆)对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，下列说法正确的是()A．开口向下B．对称轴是x＝－1C．顶点坐标是(1，2)D．与x轴有两个交点(2)已知二次函数y＝－12x2－7x＋152.若自变量x分别取x1，x2，x3且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是()A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y3＞y1D．y2＜y3＜y1CA•【例2】已知y关于x的函数y＝(k－1)x2－2kx＋k＋2的图象与x轴有交点．•(1)求k的取值范围；•(2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2.•①求k的值；•②当k≤x≤k＋2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．二次函数与一元二次方程解：(1)当k＝1时，函数为一次函数y＝－2x＋3，其图象与x轴有一个交点；当k≠1时，Δ＝(－2k)2－4(k－1)(k＋2)≥0，解得k≤2，即k≤2且k≠1.综上可知，k的取值范围是k≤2(2)①∵x1≠x2，则由(1)知k＜2且k≠1.由题意得(k－1)x12＋(k＋2)＝2kx1，将其代入(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2中，得2k(x1＋x2)＝4x1x2.∵x1＋x2＝2kk－1，x1x2＝k＋2k－1，∴2k·2kk－1＝4·k＋2k－1，解得k1＝－1，k2＝2(不合题意，舍去)，故所求k值为－1•二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2，即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根．②如图，∵k＝－1，y＝－2x2＋2x＋1＝－2(x－12)2＋32且－1≤x≤1，∴由图象可知：当x＝－1时，y最小＝－3；当x＝12时，y最大＝32，∴y的最大值为32，最小值为－3确定二次函数的解析式【例3】(2014·呼和浩特)如图，已知直线l的解析式为y＝12x－1，抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A(m，0)，B(2，0)，D(1，54)三点．(1)求抛物线的解析式及A点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象；(2)已知点P(x，y)为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点P作PE垂直x轴于点E，延长PE与直线l交于点F，请你将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数，并求出S的最大值及S最大时点P的坐标；(3)将(2)中S最大时的点P与点B相连，求证：直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上．解：(1)y＝－14x2－12x＋2，A(－4，0)，图象略(2)S＝12AB·PF＝12×6×[(－14x2－12x＋2)－(12x－1)]＝－34x2－3x＋9＝－34(x＋2)2＋12，其中－4＜x＜0，∴S最大＝12，P(－2，2)(3)∵直线PB过P(－2，2)和B(2，0)，可求直线PB为y＝－12x＋1，设Q(a，12a－1)是直线y＝12x－1上任一点，∴Q关于x轴对称点为(a，1－12a)，将(a，1－12a)代入y＝－12x＋1，成立，∴一定在PB所在直线上(1)将B，D两点坐标代入，可求出a，b的值；(2)由S四边形PAFB＝AB·PF可得S与x关系式，确定最大值；(3)求直线PB解析式，再将对称点的坐标代入检验，得出结论．真题热身•1．(2014·海南)将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝(x＋2)2，则这个平移过程正确的是()•A．向左平移2个单位•B．向右平移2个单位•C．向上平移2个单位•D．向下平移2个单位A2．(2013·昭通)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是()A．a＞0B．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根C．a＋b＋c＝0D．当x＜1时，y随x的增大而减小B•3．(2014·淄博)如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点B(0，－2)，它与反比例函数y＝－的图象交于点A(m，4)，则这个二次函数的解析式为()•A．y＝x2－x－2B．y＝x2－x＋2•C．y＝x2＋x－2D．y＝x2＋x＋2A4．(2014·东营)若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋12m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为()A．0B．0或2C．2或－2D．0，2或－2D•5．(2014·天津)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，且关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－m＝0没有实数根，有下列结论：①b2－4ac＞0；②abc＜0；③m＞2.其中，正确结论的个数是•()•A．0B．1C．2D．3D•6．(2014·北京)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2＋mx＋n经过点A(0，－2)，B(3，4)．•(1)求抛物线的表达式及对称轴；•(2)设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G(包含A，B两点)．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．•解：(1)y＝2x2－4x－2，对称轴x＝1•(2)由题意可知C(－3，－4)，二次函数y＝2x2－4x－2的最小值为－4，由图象可以看出D点纵坐标最小值即为－4，最大值即BC与对称轴交点的纵坐标，易求直线BC的解析式y＝43x，当x＝1时y＝43，－4≤t≤43•请完成本节对应练习