第34届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案

蜗壳教育1/5第34届全国中学生物理竞赛复赛试题一、（40分）一个半径为r、质量为m的均质实心小圆柱被置于一个半径为R、质量为M的薄圆筒中，圆筒和小圆柱的中心轴均水平，横截面如图所示。重力加速度大小为g。试在下述两种情形下，求小圆柱质心在其平衡位置附近做微振动的频率：（1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动；（2）圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内底部附近作无滑滚动。二、（40分）星体P（行星或彗星）绕太阳运动的轨迹为圆锥曲线𝑟=k1+εcos𝜃式中，r是P到太阳S的距离，θ是矢径SP相对于极轴SA的夹角（以逆时针方向为正），𝑘=L2GMm2，L是P相对于太阳的角动量，G=6.67×10-11N·m2/kg2为引力常量，𝑀≈1.99×1030𝑘𝑔为太阳的质量，𝜀=√1+2𝐸𝐿2𝐺2𝑀2𝑚3为偏心率，m和E分别为P的质量和机械能。假设有一颗彗星绕太阳运动的轨道为抛物线，地球绕太阳运动的轨道可近似为圆，两轨道相交于C、D两点，如图所示。已知地球轨道半径𝑅𝐸≈1.49×1011𝑚，彗星轨道近日点A到太阳的距离为地球轨道半径的三分之一，不考虑地球和彗星之间的相互影响。求彗星（1）先后两次穿过地球轨道所用的时间；（2）经过C、D两点时速度的大小。已知积分公式∫xdx√x+a=23(𝑥+𝑎)32−2𝑎(𝑥+𝑎)12+𝐶，式中C是任意常数。蜗壳教育2/5三、（40分）一质量为M的载重卡车A的水平车板上载有一质量为m的重物B，在水平直公路上以速度v0做匀速直线运动，重物与车厢前壁间的距离为L（L0）。因发生紧急情况，卡车突然制动。已知卡车车轮与地面间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为μ1，重物与车厢底板间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为μ2（μ2μ1），若重物与车厢前壁发生碰撞，则假定碰撞时间极短，碰后重物与车厢前壁不分开。重力加速度大小为g。（1）若重物和车厢前壁不发生碰撞，求卡车从制动开始到卡车停止的过程所花的时间和走过的路程、重物从制动开始到重物停止的过程所花的时间和走过的路程，并导出重物B与车厢前壁不发生碰撞的条件；（2）若重物和车厢前壁发生碰撞，求卡车从制动开始到卡车和重物都停止的过程所经历的时间、卡车走过的路程、以及碰撞过程中重物对车厢前壁的冲量。四、（40分）如俯视图，在水平面内有两个分别以O点与O1点为圆心的导电半圆弧内切于M点，半圆O的半径为2a，半圆O1的半径为a；两个半圆弧和圆O的半径ON围成的区域内充满垂直于水平面向下的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为B；其余区域没有磁场。半径OP为一均匀细金属棒，以恒定的角速度ω绕O点顺时针旋转，旋转过程中金属棒OP与两个半圆弧均接触良好。已知金属棒OP电阻为R，两个半圆弧的电阻可忽略。开始时P点与M点重合。在t(0≤t≤𝜋𝜔)时刻，半径OP与半圆O1交于Q点。求蜗壳教育3/5（1）沿回路QPMQ的感应电动势；（2）金属棒OP所受到的原磁场B的作用力的大小。五、（40分）某种回旋加速器的设计方案如俯视图a所示，图中粗黑线段为两个正对的极板，其间存在匀强电场，两极板间电势差为U。两个极板的板面中部各有一狭缝（沿OP方向的狭长区域），带电粒子可通过狭缝穿越极板（见图b）；两细虚线间（除开两极板之间的区域）既无电场也无磁场；其它部分存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面。在离子源S中产生的质量为m、带电量为q（q0）的离子，由静止开始被电场加速，经狭缝中的O点进入磁场区域，O点到极板右端的距离为D，到出射孔P的距离为bD（常数b为大于2的自然数）。已知磁感应强度大小在零到Bmax之间可调，离子从离子源上方的O点射入磁场区域，最终只能从出射孔P射出。假设如果离子打到器壁或离子源外壁则即被吸收。忽略相对论效应。求（1）可能的磁感应强度B的最小值；（2）磁感应强度B的其它所有可能值；（3）出射离子的能量最大值。蜗壳教育4/5六、（40分）1914年，弗兰克-赫兹用电子碰撞原子的方法使原子从低能级激发到高能级，从而证明了原子能级的存在。加速电子碰撞自由的氢原子，使某氢原子从基态激发到激发态。该氢原子仅能发出一条可见光波长范围（400nm~760nm）内的光谱线。仅考虑一维正碰。（1）求该氢原子能发出的可见光的波长；（2）求加速后电子动能Ek的范围；（3）如果将电子改为质子，求加速质子的加速电压的范围。已知hc=1240nm∙eV，其中h为普朗克常数，c为真空中的光速；质子质量近似为电子质量的1836倍，氢原子在碰撞前的速度可忽略。七、（40分）如气体压强-体积图所示，摩尔数为ν的双原子理想气体构成的系统经历一正循环过程（正循环指沿图中箭头所示的循环），其中自A到B为直线过程，自B到A为等温过程。双原子理想气体的定容摩尔热容为5R2，R为气体常量。（1）求直线AB过程中的最高温度；（2）求直线AB过程中气体的摩尔热容量随气体体积变化的关系式，说明气体在直线AB过程各段体积范围内是吸热过程还是放热过程，确定吸热和放热过程发生转变时的温度Tc；（3）求整个直线AB过程中所吸收的净热量和一个正循环过程中气体对外所作的净功。蜗壳教育5/5八、（40分）菲涅尔透镜又称同心圆阶梯透镜，它是由很多个同轴环带套在一起构成的，其迎光面是平面，折射面除中心是一个球冠外，其它环带分别是属于不同球面的球台侧面，其纵剖面如右图所示。这样的结构可以避免普通大口径球面透镜既厚又重的缺点。菲涅尔透镜的设计主要是确定每个环带的齿形（即它所属球面的球半径和球心），各环带都是一个独立的（部分）球面透镜，它们的焦距不同，但必须保证具有共同的焦点（即图中F点）。已知透镜材料的折射率为n，从透镜中心O（球冠的顶点）到焦点F的距离（焦距）为f（平行于光轴的平行光都能经环带折射后会聚到F点），相邻环带的间距为d（d很小，可忽略同一带内的球面像差；d又不是非常小，可忽略衍射效应）。求（1）每个环带所属球面的球半径和球心到焦点的距离；（2）该透镜的有效半径的最大值和有效环带的条数。1第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答2017年9月16日一、（40分）一个半径为r、质量为m的均质实心小圆柱被置于一个半径为R、质量为M的薄圆筒中，圆筒和小圆柱的中心轴均水平，横截面如图所示。重力加速度大小为g。试在下述两种情形下，求小圆柱质心在其平衡位置附近做微振动的频率：（1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动；（2）圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内底部附近作无滑滚动。解：（1）如图，为在某时刻小圆柱质心在其横截面上到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角。小圆柱受三个力作用：重力，圆筒对小圆柱的支持力和静摩擦力。设圆筒对小圆柱的静摩擦力大小为F，方向沿两圆柱切点的切线方向（向右为正）。考虑小圆柱质心的运动，由质心运动定理得sinFmgma①式中，a是小圆柱质心运动的加速度。由于小圆柱与圆筒间作无滑滚动，小圆柱绕其中心轴转过的角度1（规定小圆柱在最低点时10）与之间的关系为1()Rr②由②式得，a与的关系为22122()ddarRrdtdt③考虑小圆柱绕其自身轴的转动，由转动定理得212drFIdt④式中，I是小圆柱绕其自身轴的转动惯量212Imr⑤由①②③④⑤式及小角近似sin⑥得22203()dgdtRr⑦由⑦式知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为1π6()gfRr⑧（2）用F表示小圆柱与圆筒之间的静摩擦力的大小，1和2分别为小圆柱与圆筒转过的角度（规定小圆柱相对于大圆筒向右运动为正方向，开始时小圆柱处于最低点位置120）。对于小圆柱，由转动定理得221212dFrmrdt⑨对于圆筒，同理有2222()dFRMRdt⑩R1R2由⑨⑩式得22122221ddFrRmMdtdt⑪设在圆柱横截面上小圆柱质心到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角，由于小圆柱与圆筒间做无滑滚动，有12()RrR⑫由⑫式得22212222()dddRrrRdtdtdt⑬设小圆柱质心沿运动轨迹切线方向的加速度为a，由质心运动定理得sinFmgma⑭由⑫式得22()daRrdt⑮由⑪⑬⑭⑮式及小角近似sin，得22203dMmgdtMmRr⑯由⑯式可知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为122π3MmgfMmRr⑰评分参考：第（1）问20分，①②式各3分，③式2分，④式3分，⑤⑥式各2分，⑦式3分，⑧式2分；第（2）问20分，⑨⑩⑪式各2分，⑫式3分，⑬⑭⑮式各2分，⑯式3分，⑰式2分。二、（40分）星体P（行星或彗星）绕太阳运动的轨迹为圆锥曲线1coskr式中，r是P到太阳S的距离，是矢径SP相对于极轴SA的夹角（以逆时针方向为正），22LkGMm,L是P相对于太阳的角动量，113126.6710mkgsG为引力常量，301.9910kgM为太阳的质量，222321ELGMm为偏心率，m和E分别为P的质量和机械能。假设有一颗彗星绕太阳运动的轨道为抛物线，地球绕太阳运动的轨道可近似为圆，两轨道相交于C、D两点，如图所示。已知地球轨道半径11E1.4910mR，彗星轨道近日点A到太阳的距离为地球轨道半径的三分之一，不考虑地球和彗星之间的相互影响。求彗星（1）先后两次穿过地球轨道所用的时间；（2）经过C、D两点时速度的大小。已知积分公式3/21/2223xdxxaaxaCxa，式中C是任意常数。SABCRErPD3解：（1）由题设，彗星的运动轨道为抛物线，故1,0E①彗星绕太阳运动的轨道方程为：1coskr②彗星绕太阳运动过程中，机械能守恒2221022LmrVrEmr&③式中MmVrGr④当彗星运动到近日点A时，其径向速度为零，设其到太阳的距离为minr，由③式得2min2minmin2LMmVrGmrr⑤由⑤式和题给条件得2Emin223LRrGMm⑥由③式得2222drGMLdtrmr或2222drdtGMLrmr⑦设彗星由近日点A运动到与地球轨道的交点C所需的时间为t，对⑦式两边积分，并利用⑥式得EEEmin23E221223RRRrdrrdrtGMRGMLrrmr⑧对⑧式应用题给积分公式得EE3E3/21/2EEEEE32E1231223333210327RRrdrtGMRrRRRRRGMRGM⑨由对称性可知，彗星两次穿越地球轨道所用的时间间隔为32E203227RTtGM⑩将题给数据代入⑩式得66.4010sT⑪（2）彗星在运动过程中机械能守恒2102GMmmErv⑫式中v是彗星离太阳的距离为r时的运行速度的大小。由⑫式有42GMrv⑬当彗星经过C、D处时CDErrR⑭由⑬⑭式得，彗星经过C、D两点处的速度的大小为CDE2GMRvv⑮由⑮式和题给数据得4CD4.2210m/svv⑯评分参考：第（1）问28分，①式4分，②式2分，③式4分，④式2分，⑤式4分，⑥⑦⑧⑨⑩⑪式各2分；第（2）问12分，⑫式4分，⑬⑭⑮⑯式各2分。三、（40分）一质量为M的载重卡车A的水平车板上载有一质量为m的重物B，在水平直公路上以速度0v做匀速直线运动，重物与车厢前壁间的距离为L（0L）。因发生紧急情况，卡车突然制动。已知卡车车轮与地面间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为1，重物与车厢底板间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为2（21）。若重物与车厢前壁发生碰撞，则假定碰撞时间极短，碰后重物与车厢前壁不分开。重力加速度大小为g。（1）若重物和车厢前壁不发生碰撞，求卡车从制动开始到卡车停止的过程所花的时间和走过的路程、重物从制