21.3-格林公式·曲线积分与路线的无关性--数学分析课件(华师大-四版)-高教社ppt-华东师大教

一、格林公式二、曲线积分与路线的无关性在计算定积分时,牛顿-莱布尼茨公式反映了区间上的定积分与其端点上的原函数值之间的联系;本节中的格林公式则反映了平面区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线积分之间的联系.§3格林公式·曲线积分与路线的无关性数学分析第二十一章重积分*点击以上标题可直接前往对应内容数学分析第二十一章重积分高等教育出版社设区域D的边界L是由一条或几条光滑曲线所组成.规定为:时,区域D总在它的左边,如图21-12所示.2112图LD.L为负方向,记为§3格林公式·曲线积分与路线的无关性格林公式曲线积分与路线的无关性格林公式边界曲线的正方向当人沿边界行走与上述规定的方向相反的方向称数学分析第二十一章重积分高等教育出版社定理20.1若函数(,),(,)PxyQxy在闭区域D上有连续的一阶偏导数,则有ddd,LDQPPxQyxy(1)这里L为区域D的边界曲线,并取正方向.公式(1)称为格林公式.证根据区域D的不同形状,这里对以下三种情形(i)若D既是x型又是y型区域(图21-13),作出证明:§3格林公式·曲线积分与路线的无关性格林公式曲线积分与路线的无关性数学分析第二十一章重积分高等教育出版社12()(),,xyxaxb又可表为12()(),.yxyy1()yx2()yx这里和分CAE分别是曲线和CBE的方程.ACBAEB别为曲线和的方程,Ox1()xAbEaBC2()xyD图21-13§3格林公式·曲线积分与路线的无关性格林公式曲线积分与路线的无关性则D可表为1()xy2()xy和则而数学分析第二十一章重积分高等教育出版社dDQx21((),)d((),)dQyyyQyyy(,)d(,)dCBECAEQxyyQxyy(,)d(,)dCBEEACQxyyQxyy(,)d.LQxyy§3格林公式·曲线积分与路线的无关性格林公式曲线积分与路线的无关性于是,21()()ddyyQyxx数学分析第二十一章重积分高等教育出版社d(,)d.LDPPxyxy将上述两个结果相加即得ddd.LDQPPxQyxy(ii)若区域D是由一条按段光滑的闭曲线围成,且可用几段光滑曲线将D分成有限个既是x型§3格林公式·曲线积分与路线的无关性格林公式曲线积分与路线的无关性同理又可证得又是y型的子区域,格林公式,然后相加即可.则可逐块按(i)得到它们的数学分析第二十一章重积分高等教育出版社如图21-14所示的区域D,是y型的区域123,,.DDDdDQPxy123dddDDDQPQPQPxyxyxy§3格林公式·曲线积分与路线的无关性格林公式曲线积分与路线的无关性于是可将它分成三个既是x型又2114图3L1D2L1L3D2D123ddddddLLLPxQyPxQyPxQydd.LPxQy数学分析第二十一章重积分高等教育出版社(iii)若区域D由几条闭曲线所围成,如图21-15所示.把区域化为(ii)的情形来处2115图1LD3L2LCABEFG时可适当添加线段,,ABCE理.后,D的边界则由23,,,,,,ABLBAAFCCELECCE§3格林公式·曲线积分与路线的无关性格林公式曲线积分与路线的无关性这在图21-15中添加了,AB及构成.由(ii)知CGA数学分析第二十一章重积分高等教育出版社dDQPxy23(dd)ABLBAAFCCELECCGAPxQy231(dd)LLLPxQydd.LPxQy注1并非任何单连通区域都可分解为有限多个既是xy型又是型区域的并集,§3格林公式·曲线积分与路线的无关性格林公式曲线积分与路线的无关性31sin,(0,1];1;0;1yxxyxxx所围成的区域便是如此.例如由数学分析第二十一章重积分高等教育出版社注2为便于记忆,格林公式(1)也可写成下述形式:ddd.LDxyPQPxQy注3应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算.请看以下二例:§3格林公式·曲线积分与路线的无关性格林公式曲线积分与路线的无关性数学分析第二十一章重积分高等教育出版社第一象限部分(图21-16).解对半径为r的四分之一圆域D,应用格林公式:ddLDxyddd.OAABBOxyxyxy由于d0,d0,OABOxyxyddABDxy例1计算d,ABxy其中曲线是半径为r的圆在ABOx2116图BLADy§3格林公式·曲线积分与路线的无关性格林公式曲线积分与路线的无关性因此21π.4r数学分析第二十一章重积分高等教育出版社例2计算22dd,LxyyxIxy其中L为任一不包含原点的闭区域D的边界线.解因为2222222,()xyxxxyxy2222222,()yyxyxyxy于是，由格林公式§3格林公式·曲线积分与路线的无关性格林公式曲线积分与路线的无关性2222=d0,Dxyxxyyxy22ddLxyyxxy数学分析第二十一章重积分高等教育出版社在格林公式中,令,,PyQx则得到一个计算平面区域D的面积SD的公式:1ddd.2DLDSxyyx(2)§3格林公式·曲线积分与路线的无关性格林公式曲线积分与路线的无关性数学分析第二十一章重积分高等教育出版社例3计算抛物线2()(0)xyaxa与x轴所围图形的面积(图21-17).解曲线AMO由函数,[0,]yaxxxa表示,ONA0,y为直线于是1dd2DSxyyxx2117图O(,0)AaNMy11dddd22ONAAMOxyyxxyyx§3格林公式·曲线积分与路线的无关性格林公式曲线积分与路线的无关性数学分析第二十一章重积分高等教育出版社1dd2AMOxyyx011()d22aaxaxxxax020111dd.2246aaaaxxxxa§3格林公式·曲线积分与路线的无关性格林公式曲线积分与路线的无关性数学分析第二十一章重积分高等教育出版社在第二十章§2中计算第二型曲线积分的开始两个例子中,B为终点的曲线积分,若所沿的路线不同,则其积分值也不同,点有关,与路线的选取无关.什么条件下,它的值与所沿路线的选取无关.首先介绍单连通区域的概念.若对于平面区域D内任一封闭曲线,皆可不经过D§3格林公式·曲线积分与路线的无关性格林公式曲线积分与路线的无关性曲线积分与路线的无关性读者可能已经注意到,在例1中,以A为起点但在例2中的曲线积分值只与起点和终本段将讨论曲线积分在数学分析第二十一章重积分高等教育出版社以外的点而连续收缩于属于D的某一点,面区域为单连通区域;否则称为复连通区域.2118图1D4D3D2D1D2D3D4D在图21-18中,与是单连通区域,而与则是复连通区域.一封闭曲线所围成的区域只含有D中的点.§3格林公式·曲线积分与路线的无关性格林公式曲线积分与路线的无关性则称此平单连通区域也可以这样叙述:D内任数学分析第二十一章重积分高等教育出版社定理21.12更通俗地说,单连通区域就是没有“洞”的区域,复连通区域则是有“洞”的区域.设D是单连通闭区域.若函数(,),Pxy(,)Qxy在D内连续,且具有一阶连续偏导数,下四个条件等价:(i)沿D内任一按段光滑封闭曲线L,有dd0;LPxQy(ii)对D中任一按段光滑曲线L,曲线积分§3格林公式·曲线积分与路线的无关性格林公式曲线积分与路线的无关性ddLPxQy则以与路线无关,只与L的起点及终点有关;数学分析第二十一章重积分高等教育出版社定理21.12ddPxQy(,)uxy(iii)是D内某一函数的全微分,即在D内有ddd;uPxQy(iv)在D内处处成立.PQyx§3格林公式·曲线积分与路线的无关性格林公式曲线积分与路线的无关性数学分析第二十一章重积分高等教育出版社ddddARBBSAPxQyPxQydd0,ARBSAPxQy所以dddd.ARBASBPxQyPxQy§3格林公式·曲线积分与路线的无关性格林公式曲线积分与路线的无关性ddddARBASBPxQyPxQy2119图BARS(i)沿D内任一按段光滑封闭曲线L,有dd0;LPxQy(ii)对D中任一按段光滑曲线L,曲线积分ddLPxQy与路线无关,只与L的起点及终点有关;ARBASB证(i)(ii)如图21-19,设与为联结点A,B的任意两条按段光滑曲线,由(i)可推得数学分析第二十一章重积分高等教育出版社D内任意一点.ddABPxQy故当(,)Bxy在D内变动时,其积分值是(,)Bxy的函数,(,)dd.ABuxyPxQy取x充分小,使(,),CxxyD则函数(,)uxy对于x的偏增量(图21-20)00(,)Axy(,)Bxy(ii)(iii)设为D内某一定点,为§3格林公式·曲线积分与路线的无关性格林公式曲线积分与路线的无关性与路线的选择无关,由(ii),曲线积分即有Ox2120图B0xADCxxx0yyy数学分析第二十一章重积分高等教育出版社(,)(,)xuuxxyuxydddd.ACABPxQyPxQy因为在D内曲线积分与路线无关,ddACPxQy因直线段BC平行于x轴,故d0,y§3格林公式·曲线积分与路线的无关性格林公式曲线积分与路线的无关性dddd.ABBCPxQyPxQyOx2120图B0xADCxxx0yyy(ii)对D中任一按段光滑曲线L,曲线积分ddLPxQy与路线无关,只与L的起点及终点有关;ddPxQy(,)uxy(iii)是D内某一函数的全微分,即在D内有ddd;uPxQy从而由积分中值定理可得数学分析第二十一章重积分高等教育出版社00limlim(,)(,).xxxuuPxxyPxyxx同理可证(,).uQxyy所以证得ddd.uPxQy§3格林公式·曲线积分与路线的无关性格林公式曲线积分与路线的无关性ddxBCuPxQy(,)d(,),xxxPtytPxxyx01.其中(,)Pxy根据在D上连续,于是有(ii)对D中任一按段光滑曲线L,曲线积分ddLPxQy与路线无关,只与L的起点及终点有关;ddPxQy(,)uxy(iii)是D内某一函数的全微分,即在D内有ddd;uPxQy数学分析第二十一章重积分高等教育出版社(,),uxy(iii)(iv)设存在函数使得ddd,uPxQy因此(,)(,),(,)(,).xyPxyuxyQxyuxy于是由(,),(,),xyyxPQuxyuxyyx以及P,Q具有一阶连续偏导数,便可知道在D内每一点处都有(,)(,),xyyxuxyuxy§3格林公式·曲线积分与路线的无关性格林公式曲线积分与路线的无关性ddPxQy(,)uxy(iii)是D内某一函数的全微分,即在D内有ddd;uPxQy(iv)在D内处处成立.PQyx.PQyx即数学分析第二十一章重积分高等教育出版社(iv)(i)设L为D内任一按段光滑封闭曲线,所围的区域为.含在D内.的条件,就得到§3格林公式·曲线积分与路线的无关性格林公式曲线积分与路线的无关性由于D为单连通区域,所以区域ddd0.LQP