高三数学数列的极限3

学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网！数列的极限1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a（即|an－a|无限地接近于0），那么就说数列{an}以a为极限.注：a不一定是｛an｝中的项.2.几个常用的极限：①nlimC=C（C为常数）;②nlimn1=0;③nlimqn=0（|q|＜1）.3.数列极限的四则运算法则：设数列｛an｝、｛bn｝，当nliman=a,nlimbn=b时，nlim（an±bn）=a±b;nlim（an·bn）=a·b;nlimnnba=ba（b≠0）.●点击双基1.下列极限正确的个数是①nlimn1=0（α＞0）②nlimqn=0③nlimnnnn3232=－1④nlimC=C（C为常数）A.2B.3C.4D.都不正确解析:①③④正确.答案:B2.nlim［n（1－31）（1－41）（1－51）…（1－21n）］等于A.0B.1C.2D.3解析:nlim［n（1－31）（1－41）（1－51）…（1－21n）］学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网！=nlim［n×32×43×54×…×21nn］=nlim22nn=2.答案:C●典例剖析【例1】求下列极限：（1）nlim757222nnn;（2）nlim（nn2－n）;（3）nlim（22n+24n+…+22nn）.剖析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n2后再求极限；（2）因nn2与n都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限.解:（1）nlim757222nnn=nlim2275712nnn=52.（2）nlim（nn2－n）=nlimnnnn2=nlim1111n=21.（3）原式=nlim22642nn=nlim2)1(nnn=nlim（1+n1）=1.评述:对于（1）要避免下面两种错误：①原式=)75(lim)72(lim22nnnnn==1,②∵nlim（2n2+n+7）,nlim（5n2+7）不存在，∴原式无极限.对于（2）要避免出现下面两种错误：①nlim（nn2－n）=nlimnn2－nlimn=∞－∞=0;②原式=nlimnn2－nlimn=∞－∞不存在.学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网！对于（3）要避免出现原式=nlim22n+nlim24n+…+nlim22nn=0+0+…+0=0这样的错误.【例2】已知数列｛an｝是由正数构成的数列，a1＝3，且满足lgan＝lgan－1＋lgc，其中n是大于1的整数，c是正数．（1）求数列｛an｝的通项公式及前n和Sn；（2）求nlim1122nnnnaa的值．解:（1）由已知得an＝ｃ·an－1,∴｛an｝是以a1＝3，公比为c的等比数列，则an＝3·ｃn－1.∴Sn＝).10(1)1(3)1(3cccccnn且（2）nlim1122nnnnaa＝nlimnnnncc323211.①当c=2时，原式＝－41;②当ｃ＞2时，原式＝nlimcccnn3)2(23)2(11＝－c1;③当0＜ｃ＜2时，原式=nlim11)2(32)2(31nnccc＝21.评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用.【例3】已知直线l:x－ny=0（n∈N*）,圆M:（x+1）2+（y+1）2=1,抛物线:y=（x－1）2,又l与M交于点A、B，l与交于点C、D，求nlim22||||CDAB.学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网！剖析:要求nlim22||||CDAB的值，必须先求它与n的关系.解:设圆心M（－1,－1）到直线l的距离为d,则d2=1)1(22nn.又r=1,∴|AB|2=4（1－d2）=218nn.设点C（x1,y1）,D（x2,y2），由2)1(0xynyxnx2－（2n+1）x+n=0,∴x1+x2=nn12,x1·x2=1.∵（x1－x2）2=（x1+x2）2－4x1x2=214nn,（y1－y2）2=（nx1－nx2）2=414nn,∴|CD|2=（x1－x2）2+（y1－y2）2=41n（4n+1）（n2+1）.∴nlim22||||CDAB=nlim225)1)(14(8nnn=nlim2)11)(14(8nn=2.评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题.要求极限，需先求22||||CDAB,这就要求掌握求弦长的方法.【例4】若数列{an}的首项为a1=1,且对任意n∈N*,an与an+1恰为方程x2－bnx+cn=0的两根,其中0＜|c|＜1,当nlim（b1+b2+…+bn）≤3,求c的取值范围.解:首先,由题意对任意n∈N*,an·an+1=cn恒成立.∴121nnnnaaaa=nnaa2=nncc1=c.又a1·a2=a2=c.学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网！∴a1,a3,a5,…,a2n－1,…是首项为1,公比为c的等比数列,a2,a4,a6,…,a2n,…是首项为c,公比为c的等比数列.其次,由于对任意n∈N*,an+an+1=bn恒成立.∴nnbb2=132nnnnaaaa=c.又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c,∴b1,b3,b5,…,b2n－1,…是首项为1+c,公比为c的等比数列,b2,b4,b6,…,b2n,…是首项为2c,公比为c的等比数列,∴nlim（b1+b2+b3+…+bn）=nlim（b1+b3+b5+…）+nlim（b2+b4+…）=cc11+cc12≤3.解得c≤31或c＞1.∵0＜|c|＜1,∴0＜c≤31或－1＜c＜0.故c的取值范围是（－1,0）∪（0,31］.评述:本题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于c的不等式,即将{bn}的各项和表示为关于c的解析式,显然“桥梁”应是一元二次方程根与系数的关系,故以根与系数的关系为突破口.●闯关训练夯实基础1.已知a、b、c是实常数，且nlimcbncan=2,nlimbcncbn22=3,则nlimacncan22的值是A.2B.3C.21D.6解析:由nlimcbncan=2,得a=2b.由nlimbcncbn22=3,得b=3c,∴c=31b.学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网！∴ca=6.∴nlimacncan22=nlim22nacnca=ca=6.答案:D2.（2003年北京）若数列{an}的通项公式是an=2)23()1(23nnnnn,n=1,2,…,则nlim（a1+a2+…+an）等于A.2411B.2417C.2419D.2425解析:an=),(22323),(2)23(23为偶数为奇数nnnnnnnnnn即an=).3),(2(为偶数为奇数nnnn∴a1+a2+…+an=（2－1+2－3+2－5+…）+（3－2+3－4+3－6+…）.∴nlim（a1+a2+…+an）=411213132122221+91191=.2419答案:C3.（2004年春季上海）在数列{an}中，a1=3，且对任意大于1的正整数n,点（na,1na）在直线x－y－3=0上，则nlim2)1(nan=__________________.解析:由题意得na－1na=3（n≥2）.∴{na}是公差为3的等差数列，1a=3.∴na=3+（n－1）·3=3n.学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网！∴an=3n2.∴nlim2)1(nan=nlim12322nnn=nlim21213nn=3.答案:34.（2004年上海,4）设等比数列{an}（n∈N）的公比q=－21,且nlim（a1+a3+a5+…+a2n－1）=38,则a1=_________________.解析:∵q=－21,∴nlim（a1+a3+a5+…+a2n－1）=4111a=38.∴a1=2.答案:25.（2004年湖南,理8）数列{an}中,a1=51,an+an+1=156n,n∈N*,则nlim（a1+a2+…+an）等于A.52B.72C.41D.254解析:2（a1+a2+…+an）=a1+［（a1+a2）+（a2+a3）+（a3+a4）+…+（an－1+an）］+an=51+[256+356+…+n56]+an.∴原式=21［51+511256+nliman］=21（51+103+nliman）.∵an+an+1=156n,∴nliman+nliman+1=0.∴nliman=0.答案:C6.已知数列｛an｝满足（n－1）an+1=（n+1）（an－1）且a2=6,设学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网！bn=an+n（n∈N*）.（1）求{bn}的通项公式；（2）求nlim（212b+213b+214b+…+21nb）的值.解:（1）n=1时，由（n－1）an+1=（n+1）（an－1）,得a1=1.n=2时，a2=6代入得a3=15.同理a4=28,再代入bn=an+n,有b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,由此猜想bn=2n2.要证bn=2n2,只需证an=2n2－n.①当n=1时，a1=2×12－1=1成立.②假设当n=k时，ak=2k2－k成立.那么当n=k+1时，由（k－1）ak+1=（k+1）（ak－1）,得ak+1=11kk（ak－1）=11kk（2k2－k－1）=11kk（2k+1）（k－1）=（k+1）（2k+1）=2（k+1）2－（k+1）.∴当n=k+1时，an=2n2－n正确，从而bn=2n2.（2）nlim（212b+213b+…+21nb）=nlim（61+161+…+2212n）=21nlim［311+421+…+)1)(1(1nn］=41nlim［1－31+21－41+…+11n－11n］=41nlim［1+21－n1－11n］=83.培养能力7.已知数列{an}、{bn}都是无穷等差数列,其中a1=3,b1=2,b2是a2与a3的等差中项,且学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网！nlimnnba=21,求极限