高三数学数形结合思想

第2讲数形结合思想感悟高考明确考向(2010·全国)已知函数f(x)＝|lgx|，0x≤10，－12x＋6，x10，若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是()A．(1,10)B．(5,6)C．(10,12)D．(20,24)解析作出f(x)的大致图象．由图象知，要使f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨设abc，则－lga＝lgb＝－12c＋6.∴lga＋lgb＝0，∴ab＝1，∴abc＝c.由图知10c12，∴abc∈(10,12)．答案C考题分析本小题考查了分段函数的特征及性质．考查了对数函数及其运算．重点考查了解决问题的方法即数形结合的思想方法．体现了对知识和能力的双重考查．易错提醒(1)找不到问题解决的突破口．即想不到用数形结合．(2)f(x)的图象的特征不清，忽视对(1,0)和(10,1)这两个特殊点的分析．(3)不会借助图形进行分析．思想方法概述1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．(2)双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．(3)简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．3．数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；(5)构建立体几何模型研究代数问题；(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；(7)构建方程模型，求根的个数；(8)研究图形的形状、位置关系、性质等．4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解．5．在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：(1)要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；(2)要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；(3)要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；(4)精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解．很多数学概念都具有明显的几何意义，善于利用这些几何意义，往往能收到事半功倍的效果．热点分类突破题型一数形结合思想在解决方程的根的个数、不等式解集的问题中的应用例1(1)已知：函数f(x)满足下面关系．①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2.则方程f(x)＝lgx解的个数是()A．5B．7C．9D．10(2)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式f(x)－f(－x)x0的解集为()A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,0)∪(0,1)思维启迪(1)在同一坐标系中画出y＝f(x)和y＝lgx的图象，由它们交点个数判断方程的解的个数；(2)f(x)－f(－x)＝2f(x)，画出y＝2f(x)的大致图象，f(x)与x异号的区间，即为不等式的解集．解析(1)由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0,1]的函数．又f(x)＝lgx，则x∈(0,10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．又∵lg10＝1，故当x10时，无交点．∴由图象可知共9个交点．(2)∵f(x)为奇函数，∴f(x)－f(－x)＝2f(x)画出y＝2f(x)的大致图象．如图，则f(x)与x异号的区间如图阴影所示，∴解集为(－1,0)∪(0,1)，故选D.答案(1)C(2)D探究提高(1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．(2)解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．(3)函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值(值域)经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标．变式训练1已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0x3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cosx0的解集是()A．(－3，－π2)∪(0,1)∪(π2，3)B．(－π2，－1)∪(0,1)∪(π2，3)C．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3)D．(－3，－π2)∪(0,1)∪(1,3)解析不等式f(x)cosx0等价于f(x)0，cosx0，或f(x)0，cosx0.画出f(x)在(－3,3)上的图象，cosx的图象又熟知，运用数形结合，如图所示，从“形”中找出图象分别在x轴上、下部分的对应“数”的区间为(－π2，－1)∪(0,1)∪(π2，3)．B题型二数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用例2已知a是实数，函数f(x)＝2a|x|＋2x－a，若函数y＝f(x)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是__________________．思维启迪函数零点→方程的根→函数图象交点→数形结合．解析易知a≠0，f(x)＝0，即2a|x|＋2x－a＝0，变形得|x|－12＝－1ax，分别画出函数y1＝|x|－12，y2＝－1ax的图象(如图所示)，由图易知：当0－1a1或－1－1a0时，y1和y2的图象有两个不同的交点，∴当a－1或a1时，函数y＝f(x)有且仅有两个零点，即实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案(－∞，－1)∪(1，＋∞)探究提高解决函数的零点问题，通常是转化为方程的根，进而转化为函数的图象的交点问题．在解决函数图象的交点问题时，常用数形结合，以“形”助“数”，直观简洁．变式训练2(2009·江西)若不等式9－x2≤k(x＋2)－2的解集为区间[a，b]，且b－a＝2，则k＝____.解析令y1＝9－x2，y2＝k(x＋2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－x2≤k(x＋2)－2的解集为[a，b]且b－a＝2.结合图象知b＝3，a＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,22)．∴k＝22＋21＋2＝2.2题型三数形结合思想在几何中的应用例3已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值．思维启迪在同一坐标系中画出直线与圆．作出圆的切线PA、PB，则四边形PACB的面积S四边形PACB＝S△PAC＋S△PBC＝2S△PAC.把S四边形PACB转化为2倍的S△PAC可以有以下多条数形结合的思路．画出对应图形→利用数形结合明确所求→求解得结果解方法一从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或向右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRt△PAC＝12|PA|·|AC|＝12|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时|PC|＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|PA|＝|PC|2－|AC|2＝22.∴(S四边形PACB)min＝2×12×|PA|×|AC|＝22.这是运动变化的思想帮助我们打开了解题的思路．方法二利用等价转化的思想，设点P坐标为(x，y)，则|PC|＝(x－1)2＋(y－1)2，由勾股定理及|AC|＝1，得|PA|＝|PC|2－|AC|2＝(x－1)2＋(y－1)2－1，从而S四边形PACB＝2S△PAC＝2·12|PA|·|AC|＝|PA|＝(x－1)2＋(y－1)2－1，从而欲求S四边形PACB的最小值，只需求|PA|的最小值，只需求|PC|2＝(x－1)2＋(y－1)2的最小值，即定点C(1,1)与直线上动点P(x，y)距离的平方的最小值，它也就是点C(1,1)到直线3x＋4y＋8＝0的距离的平方，这个最小值d2＝(|3×1＋4×1＋8|32＋42)2＝9，∴(S四边形PACB)min＝9－1＝22.方法三利用函数思想，将方法二中S四边形PACB＝(x－1)2＋(y－1)2－1中的y由3x＋4y＋8＝0中解出，代入化为关于x的一元函数，进而用配方法求最值，也可得(S四边形PACB)min＝22.探究提高本题的解答运用了多种数学思想方法：数形结合思想，运动变化的思想，等价转化的思想以及配方法，灵活运用数学思想方法，能使数学问题快速得以解决．变式训练3已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A．(14，－1)B．(14，1)C．(1,2)D．(1，－2)解析定点Q(2，－1)在抛物线内部，由抛物线的定义知，动点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，问题转化为当点P到点Q和到抛物线的准线距离之和最小时，求点P的坐标，显然点P是直线y＝－1和抛物线y2＝4x的交点，解得这个点的坐标是(14，－1)．A规律方法总结1．利用数形结合解题，只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象．2．数形结合思想是解决高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别在解选择题、填空题时更方便，可以提高解题速度．3．数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)，点到直线的距离公式等.知能提升演练一、选择题1．设全集I是实数集R.M＝{x|x24}与N＝{x|2x－1≥1}都是I的子集(如图所示)，则阴影部分所表示的集合为()A．{x|x2}B．{x|－2≤x1}C．{x|1x≤2}D．{x|－2≤x≤2}解析M＝{x|x2或x－2}，N＝{x|1x≤3}，观察图形阴影部分表示的集合为：(∁IM)∩N＝{x|1x≤2}故选C.C2．设函数f(x)＝2－x－1，x≤0，x，x＞0.若f(x0)＞1，则x0的取值范围是()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－2)∪(0，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析方法一因为f(x0)＞1，当x≤0时，－1＞1,＞2，－x0＞1，∴x0＜－1；当x0＞0时，＞1，∴x0＞1.综上，x0的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)02x02x210x21方法二首先画出函数y＝f(x)与y＝1的图象(如