第二章习题答案

机械振动基础93习题2-1图示用于风洞试验的翼型剖面由拉伸弹簧k1和扭转弹簧k2支承着，剖面重心G到支承点的距离为e，剖面绕重心的转动惯量为J0。试建立系统运动微分方程。kek120JG题2-1图解：如右图所示，系统的动能为：20221)(21JehmT势能为：22212121khkU代入Lagrange方程后整理，得到矩阵形式的运动微分方程00002120hkkhmeJmemem2-2图示双复摆在(,)uu12平面内微摆动，其中两个刚体质量分别为m1和m2，绕质心C1和C2的转动惯量分别为J1和J2。试建立系统运动微分方程。abluu1212CC题2-2图解：如右图所示，系统的动能为：第2章多自由度系统的振动94)2(21)(21)(2121)(2121212122222221122211222221221121211lbmbmJJlmamJblmJamT势能为：222212121)(21gbmglmgamU代入Lagrange方程后整理，得到矩阵形式的运动微分方程22121112212222222()0000mamlgJmamlmlbmbgmlbJmb2-3求图示系统的固有频率和固有振型。题2-3图解：系统的运动微分方程为：1122043002350uumkkuumkk由关系式2()0KMφ解得系统的两个固有频率分别为：1211,2kkmm从而得两质量块的振幅比为：121,1ss系统的固有振型为：12122211,11φφ2-4图示电车由两节质量均为228104.kg的车厢组成，中间连接器的刚度为286106.N/m。求电车振动的固有频率和固有振型。mmkkkuu12322机械振动基础95题2-4图解：系统的运动微分方程为：11220000uumkkuumkk由关系式2()0KMφ解得系统的两个固有频率分别为：1220,15.84(/)kradsm从而得两质量块的振幅比为：121,1ss系统的固有振型为：12122211,11φφ2-5求图示扭转振动系统的固有频率和固有振型。题2-5图解：系统的运动微分方程为：1122000220uuJkkuuJkk由关系式2()0KMφ解得系统的两个固有频率分别为：12221,122kkJJ从而得两质量块的振幅比为：kmmkkuuJJ221第2章多自由度系统的振动961222,22ss系统的固有振型为：12122222,2211φφ2-6不计刚杆质量，按图示坐标建立运动微分方程，并求出固有频率和固有振型。mmkkllluu212题2-6图解：系统的运动微分方程为：12211212212(2)(2)(4)3(2)mumukuukuumumulkluu写成矩阵的形式为：1122054002450uumkkuumkk由关系式2()0KMφ解得系统的两个固有频率分别为：120.81,2.62kkmm从而得两质量块的振幅比为：122.17,0.92ss系统的固有振型为：1212222.170.92,11φφ2-7已知刚杆质量为m，按图示坐标建立运动微分方程，并求其固有频率和固有振型。机械振动基础97kkul424llC题2-7图解：系统的运动微分方程为：()()24()()2244llmukukullllJkuku写成矩阵的形式为：2202/400/12/45/160mukklumlklkl由关系式2()0KMφ解得系统的两个固有频率分别为：121.282,2.026kkmm从而得两质量块的振幅比为：120.702,0.119slsl系统的固有振型为：1212220.702-0.119,11llφφ2-8图示刚杆质量不计，mmkk12132345210510kgkgN/mN/m,,,。求系统的固有频率和固有振型。lmmkk1212l题2-8图第2章多自由度系统的振动98解：取广义坐标12,系统的运动微分方程为：21111212222221(2)(22)2(2)(22)2mlkllklllmlklll写成矩阵的形式为：112211222220/4000mkkkmkk由关系式2()0KMφ解得系统的两个固有频率分别为：127.338/,48.178/radsrads从而得两质量块的振幅比为：120.946,1.321ss系统的固有振型为：1212220.96-1.321,11φφ2-9图示均匀刚杆质量为m，求系统的固有模态。kabmkm12mmll12题2-9图题2-10图解：取广义坐标,u系统的运动微分方程为：221221()3()makbkauamukua写成矩阵的形式为：222122220/3000kbkakamaukakmu由关系式2()0KMφ解得系统的两个固有频率分别为：机械振动基础9922212112122222112181621691228162169122kkkkkmmkmkkkkkmmkm从而得两质量块的振幅比为：222112211222221221126(3216912)6(3216912)kskkkkkkakskkkkkka系统的固有振型为：12121222,11ssφφ2-10建立图示双单摆的微振动微分方程，并求其固有频率和固有振型。解：系统的动能为：2222222112121211111()()2222222Tmlmllmlmlml势能为：112222112(1cos)(2coscos)2(22)222Umglmglmglmgl代入Lagrange方程后整理，得到矩阵形式的运动微分方程11222120011010gl由关系式2()0KMφ解得系统的两个固有频率分别为：120.7654,1.8478ggll从而得两质量块的振幅比为：120.707,0.707ss系统的固有振型为：1212220.7070.707,11φφ2-11一质点在重力场中被约束在抛物面zxxyy2222内作纯滚动，其中z0是重力方第2章多自由度系统的振动100向。试求质点在平衡位置附近的微振动固有频率及固有振型。解：系统的动能为：2222211()()22Tmxyzmxy势能为：22(22)Umgzmgxxyy代入Lagrange方程后整理，得到矩阵形式的运动微分方程04200220mxxmyy由关系式2()0KMφ解得系统的两个固有频率分别为：120.874,2.288mm从而得两质量块的振幅比为：120.618,1.618ss系统的固有振型为：1212220.6181.618,11φφ2-12考察题2-10中的双单摆系统，若10212(0),(0)0,(0)(0)0，求其自由摆动。解：由题2-10有：固有振型矩阵0.7070.70711系统的两个固有频率分别为：120.7654,1.8478ggll系统的自由振动为11111222sin0cos0()(0)(0)0cossin0ttttt其中00(0),(0)00那么机械振动基础10111200cos0()(0)0cos0.7070.7070.707cos(0.7654)0.707cos(1.8478)11tttggttll2-13图示刚杆质量不计，求系统的固有频率和固有振型。如果将杆向下平移01.l，求突然释放后的自由振动。llkkmmulluuft12121mmsin题2-13图题2-14图解：系统的运动微分方程为：22()()(()())2()(()())mutkutkutltmltklutlt写成矩阵的形式为：222020020mukklumlklkl由关系式2()0KMφ解得系统的两个固有频率分别为：120.437,1.144kkmm系统的固有振型为：120.6181.618,11llφφ系统的初始条件为(0)0.1(0)0,(0)0(0)0ulu系统的自由振动为第2章多自由度系统的振动10211121221122cos0()(0)0cos()(0)cos00.6181.6180.6181.6180.10cos111100.6181.6180.0447cos(0.437)0.724cos(1.14410tututttllllltllkltlm)ktm2-14图示悬臂梁宽b0036.m，厚h25103.m，长2014l.m，材料弹性模量E21102.GPa。梁上安装有两个重块m105.kg和m2025.kg，梁的质量可忽略。(1)求系统的固有频率；(2)当简谐力ft1sin作用于m1时，不计阻尼，求反共振频率fa。解：（1）在12,mm上分别作用单位力，可得到柔度系数3331122122185,,336lllddddEIEIEI柔度矩阵312.52.583lEID那么刚度矩阵31656527EIlK系统的运动微分方程为：111132220165sin605270muuftEImuul解得系统的两个固有频率分别为：12189(rad/s),973.77(rad/s)（2）系统的动刚度矩阵为21332233963077()301277EIEImllZEIEImll对于原点频响函数11()H，反共振频率方程为2112312()07EIZml反共振频率3212443.6(rad/s)7aEIflm