2013届高考文科数学一轮复习考案2.8 函数与方程

§2.8函数与方程真题探究考纲解读知识盘点典例精析例题备选命题预测基础拾遗技巧归纳考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选考点考纲解读1函数零点与方程根结合二次函数的图象,了解函数零点与方程根的联系.2综合应用判断一元二次方程根的存在性及根的个数.  以基本函数为命题对象,结合函数的单调性考查零点的存在性,零点所在的区间.而零点所在的区间问题与用二分法求方程的近似解联系紧密.将函数的零点与方程的根、不等式的解,函数的交点综合在一起考查,需借助函数关系才能加以解决.一般为选择题、填空题或解答题的某一问,解题时要注意数形结合的运用.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选 1.对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.事实上,函数y=f(x)的零点就是f(x)=0的实数根.2.方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.3.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续曲线,且有f(a)·f(b)0,那么函数y=f(x)在区间[a,b]内有零点,即存在x0∈[a,b],使得f(x0)=0,此时x0是方程f(x)=0的根.4.对于在区间[a,b]上连续,且有f(a)·f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数y=f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐渐逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选1.(2011年长春实验中学)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是 ()(A)(-2,-1).(B)(-1,0).(C)(1,2).(D)(0,1).【解析】f(0)=1+0-2=-10,f(1)=e+1-20,∴f(x)在区间(0,1)存在零点.故选D.【答案】D考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选2.若关于x的方程 =kx+2只有一个实数根,则k的取值范围为 ()(A)k=0.(B)k=0或k1.(C)k1或k-1.(D)k=0或k1或k-1.【解析】作直线y=kx+2的图象和半圆y= ,从图中可以看出:k的取值范围应选D.注:求与方程实数根个数有关的问题常用图解法.24x24x【答案】D考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选3.(湖南省怀化市2011年高三第一次模拟)在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,已经将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为.【解析】令f(x)=x3-2x-1,f(1)=1-2-1=-20,f(2)=8-4-1=30,f( )= -4-1=- 0,f( )·f(2)0,则下一步可断定该根所在的区间为( ,2).【答案】( ,2)32278138323232考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选4.(湖南省岳阳市2011届高三教学质量检测二)函数f(x)= 则方程f(x)-x=0的解集为.【解析】当-1x2时,方程f(x)-x=0等价于1-x=0,∴x=1;当x≤-1或x≥2时,方程f(x)-x=0等价于x2-x-1-x=0,∴x2-2x-1=0.∵x≤-1或x≥2,∴x=1+ .综上:方程f(x)-x=0的解集为{1,1+ }.【答案】{1,1+ }21(12),1(12),xxxxx或222考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选题型1函数与方程问题 例1(1)(2011年福建福州三中)函数f(x)=ln - 的零点一定位于下列哪个区间 ()(A)(1,2).(B)(2,3).(C)(3,4).(D)(4,5).32x2x(2)(2011年贵州铜仁一中)设函数f(x)= 若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为 ()2,0,4,0,xbxcxx(A)1.(B)2.(C)3.(D)4.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(3)下列分别为四个函数的图象,其中能用二分法求函数零点的是 () 【分析】(1)确定零点所在的区间的问题需借助端点值去分析;(2)分段函数求零点一般需要分区间求出对应零点;(3)能用二分法求函数的零点,必须满足在函数在[a,b](ab)上是连续函数且f(a)·f(b)0.【解析】(1)f(1)=ln -20,f(2)=ln3-10,∴f(x)在区间(1,2)上存在零点,故选A.32考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(2)∵f(-4)=f(0),f(-2)=-2,∴16-4b+c=c,且4-2b+c=-2,∴b=4,c=2,∴f(x)= 当x0时,x=4;当x≤0时,x2+4x+2=x,∴x=-1或x=-2.∴f(x)=x的解的个数为3.(3)根据图象可知只有B才可能使f(a)·f(b)0.【答案】(1)A(2)C(3)B【点评】本题包含3个小题,属于简单的函数与方程问题,只需紧扣242,0,4,0,xxxx定义.其中(1)考查判断零点区间的问题,(2)考查分段函数求零点问题,(3)考查二分法运用的条件.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选变式训练1(1)函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为 ()(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.(2)已知函数f(x)= 则关于x的方程[f(x)]2+bf(x)+c=0有5个不同实数解的充要条件是 ()(A)b-2且c0.(B)b-2且c0.(C)b-2且c=0.(D)b≥-2且c=0.1||,0,0,0,xxxx考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(3)设m∈N,若函数f(x)=2x-m -m+10存在整数零点,则m的取值集合为.【解析】(1)当x≥2时,f(x)=x-2-lnx,f'(x)=1- = 0,∴f(x)在[2,+∞)上是增函数.当0x2时,f(x)=-x+2-lnx,∴f(x)在(0,2)上是减函数.f(2)=-ln20,而f(e-2)=2-e-2+20,f(e2)=e2-2-20,∴f(x)在定义域内有2个零点.10x1x1xx考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(2)f(x)为偶函数,当x≠0时,f(x)≥2.因为关于x的方程[f(x)]2+bf(x)+c=0有5个不同实数解,所以[f(x)]2+bf(x)+c=0等价于x2+bx+c=0的解为x1=0,x22, 所以b-2,且c=0.故选C.(3)由题中m∈N,若函数f(x)=2x-m -m+10知,-5≤x≤10,又因为当m≠0时 ∈Z,于是x只能取0,6,1,10这四个数字,代入求的m∈{3,14,30};当m=0时,x=-5也符合题意,于是m的取值集合为{0,3,14,30}.【答案】(1)C(2)C(3){0,3,14,30}12122,0,xxbxxc10x10x考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选 例2已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.题型2二次方程根的问题(1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求实数m的取值范围;(2)若方程的根均在(0,1)内,求实数m的取值范围.【分析】利用根所在的区间结合二次函数的图象分析参数的取值范围,注意端点处的值是否有等号.【解析】(1)令f(x)=x2+2mx+2m+1,函数f(x)开口向上,∵方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选∴ ∴ ∴- m- .∴实数m的取值范围为(- ,- ).(0)210,(1)20,(1)420,(2)650,fmffmfm1,2R,1,25,6mmmm56125612(2)方程的两根均在(0,1)内,函数f(x)的对称轴为x=-m,∴ 即 (0)0,(1)0,0,01,ffΔm2210,420,4(21)0,10,mmΔmmm考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选∴- m≤1- ,∴实数m的取值范围为(- ,1- ].122122∴ 1,21,21212,10,mmmmm或【点评】一元二次方程与二次函数的联系体现了方程与函数的结合,从二次函数的开口方向,与x轴的交点,对称轴的位置,区间端点处的函数值符号四个方面去列式,再通过解不等式组求出相应参数的取值范围.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选变式训练2已知关于x的方程2ax2+2x-3-a=0(a∈R)在区间[-1,1]上有解,求实数a的取值范围.【解析】当a=0时,方程为2x-3=0,即x= ∉[-1,1],∴a≠0.当a≠0时,令函数f(x)=2ax2+2x-3-a(a∈R),对称轴为x=- .Δ=4+8a(3+a)=4(2a2+6a+1)≥0,∴a≥ 或a≤ ,3212a372372∴f(-1)·f(1)≤0或 或 0,(1)0,(1)0,0,1112affΔa0,(1)0,(1)0,0,111.2affΔa考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选∴1≤x≤5或 或0,50,10,3737,221122aaaaaaa或或 ∴a≤ 或a≥1,∴实数a的取值范围为(-∞, )∪[1,+∞).0,50,10,3737,2211.22aaaaaaa或或372372考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选 例3函数f(x)是以2为周期的偶函数,且当x∈[0,1]时,f(x)=x.若在区间[-1,3]上,函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,求实数k的取值范围.【分析】根据函数f(x)是以2为周期的偶函数,作出函数在[-1,3]上的图象.函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,可以转化为函数f(x)与y=kx+k图象的交点问题.【解析】函数f(x)是以2为周期的偶函数.且当x∈[0,1]时,f(x)=x.题型3函数的零点考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选在区间[-1,3]上,f(x)的图象如图所示,函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,∴f(x)与直线y=kx+k有4个交点.直线y=kx+k过定点(-1,0),∴k0,且3k+k≤1;∴0k≤ .∴实数k的取值范围为(0, ].【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性以及运用数形结合的方法解决函数零点的问题.需要把函数g(x)的零点转化为两个函数的图象的交点问题.从而通过数形结合解决问题,需要转化的能力,同时1414还要抓住y=kx+k过定点来控制直线的图象.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选变式训练3分析函数f(x)=|1-x|-kx的零点个数.【解析】设y=|1-x|,y=kx,则函数y=|1-x|的图象与y=kx的图象交点的个数就是函数f(x)=|1-x|-kx的零点个数.由右边图象可知:考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选当-1≤k0时,两函数图象没有交点;当k=0或k-1或k≥1时,两函数图象只有一个交点;当0k1时,两函数图象有两个不同的交