高考常考的超越函数—双曲函数

高考常考的超越函数—双曲函数戴又发双曲函数是工程技术中的一类常用函数，也是一类最重要的初等函数.尽管在高中数学教学中没有对双曲函数进行系统学习，但随着课程改革的深入，双曲函数越来越成为高中生研究性学习的重要对象，在很多高中数学辅导材料中也都能找到它的身影．近几年，在高考数学试卷中双曲函数也常常成为命题的一个亮点.一．定义我们定义函数2sinhxxeex为双曲正弦函数．函数2coshxxeex为双曲余弦函数．函数xxxxeeeextanh为双曲正切函数．并将它们统称为双曲函数．二．双曲函数的图象与基本性质1．双曲正弦函数2sinhxxeex的图象和基本性质定义域：R；值域：R；单调性：增函数；奇偶性：奇函数，图象关于原点对称；零点：0x；反函数：)1ln(sinh21xxx．2．双曲余弦函数2coshxxeex的图象和基本性质定义域：R；值域：),1[；单调性：在)0,(上单调减函数；在),0(上单调增函数；奇偶性：偶函数；最小值：1．3．双曲正切函数xxxxeeeextanh的图象和基本性质定义域：R；值域：)1,1(；单调性：增函数；奇偶性：奇函数；反函数：xxx11ln21tanh1三．重要关系1．商数关系：xxxcoshsinhtanh；2．平方关系：1sinhcosh22xx3．加法公式：yxyxyxsinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyxsinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyxtanhtanh1tanhtanh)tanh(4．减法公式：yxyxyxsinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyxsinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyxtanhtanh1tanhtanh)tanh(5．二倍数公式：xxxcoshsinh22sinh1sinh21cosh2sinhcosh2cosh2222xxxxxxxx2tanh1tanh22tanh四．导数性质1．xxcosh)(sinh；2．xxsinh)(cosh3．xx2tanh1)(tanh五．高考试卷中的双曲函数例1.【2009年山东理科第6题】函数xxxxeeyee的图像大致为【解析】函数有意义，需使0xxee，其定义域为0|xx，排除C，D，又因为22212111xxxxxxxeeeyeeee，所以当0x时函数为减函数，故选A．答案：A．【命题立意】本题选取双曲正切函数的倒数作为研究对象，这个函数也叫双曲余切函数．考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质．本题的难点在于给出的双曲余切函数比较复杂，需要对其先变形，再在定义域内考察其余的性质．例2.【2015年新课标Ⅰ第13题】若函数)ln()(2xaxxxf为偶函数，则a【解析】因为函数)ln()(2xaxxxf为偶函数，由0)]ln([)ln()()(22xaxxxaxxxfxf，得0)ln()ln(22xaxxax，1xy1OAxyO11BxyO11Cxy11DO0lnln(22axxa）．所以1a．【命题立意】本题已知函数)ln()(2xaxxxf为偶函数，能得到函数)ln()(2xaxxg应为奇函数，而函数)1ln(2xx正是双曲正弦函数2xxee的反函数，且为奇函数，故1a．本题的根仍为双曲函数．例3.【2015年湖北文科卷21】设函数)(xf，)(xg的定义域均为，且)(xf是奇函数，)(xg是偶函数，xexgxf)()(，其中e为自然对数的底数.（Ⅰ）求)(xf，)(xg的解析式，并证明：当0x时，0)(xf，1)(xg；（Ⅱ）设，，证明：当时，)1()()()1()(bxbgxxfaxag.【解析】（Ⅰ）由)(xf，)(xg的奇偶性及xexgxf)()(①得：xexgxf)()(②联立①②解得)(21)(xxeexf，)(21)(xxeexg当0x时，1xe，10xe，故0)(xf③又由基本不等式，有1)(21)(xxxxeeeexg，即1)(xg④（Ⅱ）由（Ⅰ）得)(21)(xxeexf，)(21)(xxeexg)()(21)(xgeexfxx，⑤)()(21)(xfeexgxx，⑥当0x时，)1()()(axagxxf等价于xaxaxgxf)1()()(，⑦)1()()(bxbgxxf等价于xbxbxgxf)1()()(⑧设函数xcxcxgxfxh)1()()()(，由⑤⑥，有)1()()()()(cxcgxgcxxfxhR0x0a1b0x)(]1)()[1()1()()()(xcxfxgccxcgxcxfxg，当0x时，（1）若0c，由③④，得0)(xh，故)(xh在),0[上为增函数，从而0)0()(hxh，即xcxcxgxf)1()()(，故⑦成立（2）若1c，由③④，得0)(xh，故)(xh在),0[上为减函数，从而0)0()(hxh，即xcxcxgxf)1()()(，故⑧成立)1()()()1()(bxbgxxfaxag综合⑦⑧，得)1()()()1()(bxbgxxfaxag.【命题立意】本题正是一道较全面研究双曲正弦函数和双曲余弦函数的试题．涉及双曲函数的奇偶性、单调性、值域和导数性质，是一道综合性较强的试题．例4.【2014年江苏第19题】已知函数xxeexf)(，其中e为自然对数的底数．（1）证明：)(xf是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式1)(mexmfx在),0(上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在),1[0x，使得)3()(0300xxaxf成立，试比较1ae与1ea的大小，并证明你的结论．【解析】（1）函数)(xf的定义域为R，又)()(xfeexfxx，所以，)(xf是R上的偶函数．（2）因为),0(x时，22)(xxxxeeeexf，原不等式可变为1]1)([xexfm，即1]1[xxxeeem，命题转化为：关于x的不等式11xxxeeem在),0(上恒成立．令11)(xxxeeexg，则43)21(111)(2xxxxxeeeeexg，当2lnx时，)(xg取得最小值31，所以实数m的取值范围为31m．（3）要比较1ae与1ea的大小，需先找到正数a的范围．将)3()(0300xxaxf化为0003031xxeexxa．令xxeexxxh3)(3，),1[x，条件等价于max)(1xha．由232)())(3())(33()(xxxxxxeeeexxeexxh，再令))(3())(33()(32xxxxeexxeexxt．))(33())(6()(2xxxxeexeexxt))(3())(33(32xxxxeexxeex))(9(3xxeexx．在),1[x上，))(9(3xxeexx存在零点3x．当31x时，0)(xt，此时0)1()(txt，0)(xh，1max2)1()(eehxh．当3x时，0)(xh，所以1max2)(1eexha，即21eea．要比较两正数1ae与1ea的大小，只需比较ealn)1(与aeln)1(的大小．作函数1ln)(xxxu，则2)1(ln1)(xxxxxu，再令xxxxvln1)(，则22111)(xxxxxv．当1x时，有0)(xv，0)1()(vxv．0)(xu．所以1ln)(xxxu在1x时，为减函数．当eaee21时，1ln1lneeaa，即1ea1ae；当ea时，1ea1ae；当ea时，1ln1lneeaa，即1ea1ae．【命题立意】本题所给函数xxeexf)(正是双曲余弦函数的2倍．涉及双曲函数的奇偶性、单调性和导数的应用，也是一道综合性较强的试题．此外，在很多高考辅导资料或高考模拟试卷中，也常能找到与双曲函数有关的试题．例5.在工程技术中，常常用到双曲正弦函数2xxeeshx和双曲余弦函数2xxeechx，其实双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数相类似，比如关于正、余弦函数有yxyxyxsinsincoscos)cos(成立．而关于双曲正、余弦函数满足shxshychxchyyxch)(．请你类比此关系式，写出关于双曲正、余弦函数的一个新关系式．【解析】这是一道类比推理题．考生可以有很多新关系式可以填，例如shychxchyshxyxsh)(，当然要保证符号不错，考生用类比的方法找到关系式后，需要简单的证明．其实考生可以利用双曲正、余弦函数的奇偶性，在所给关系式中用y代替y，得到yxyxyxsinhsinhcoshcosh)cosh(也可以将替y换成x，得到xxx22sinhcosh2cosh等等．双曲函数是初等函数，也是高考试卷中常出现的一类超越函数．针对学有余力的考生，适当的引导他们寻找一部分高考试题的根，系统研究一下双曲函数，对发展思维，提高能力，搞定那些雷人的高考题是非常必要的．