第5讲--实数的完备性

1第五讲实数的完备性I基本概念与主要结果一实数空间1无理数的定义人类最先只知道自然数，由于减法使人类认识了负整数，又由除法认识了有理数，最后由于开方与不可公度问题①发现了无理数，可惜的是无理数不能用有理数的开方形式主义来定义．事实上，有理数开方所得到的无理数只占无理数中很小的一部分．为了让实数与数轴上的点一一对应起来，充满全数轴，必须用别的方法．方法之一是用无限小数，我们知道任何有理数都可表为无限循环小数，这样可以把无限不循环小数定义为无理数．一个无限不循环小数x，取其n位小数的不足近似值n与过剩近似值n，n与n均为有理数，且0101nnn（n），nnnx,．可见以无限不循环小数定义无理数等价于承认：以有理数为端点的闭区间套，必有且仅有唯一的公共点，此乃区间套定理，即承认它是正确的．历史上引进无理数的传统方法有两种：戴德金（Dedekind）分割法和康托（Cantor）的有理数列的基本序列法．戴德金分割法具有很强的直观性，其思想是：每个有理数在数轴上已有一个确定的位置，假如在数轴上任意一点处将数轴截成两段，那么全体有理数被分为左、右两个子集BA,．如果折断处是有理点，那么它不在左子集，就在右子集，这样分割就确定了一个有理数，即A的最大数或B的最小数．如果A中没有最大数，B中也没有最小数，这个分割就确定了直线上的一个“空隙”，称之为无理数，显然它是有序的，可定义其四则运算（可参见北京大学数学系沈燮昌编写的《数学分析》，高等教育出版社，1986年）．康托用有理数基本序列的等价类来定义实数，其方法虽没有分割法直观，但其思想在近代数学中是十分有用的，影响深远②．定义1有理数列nx称为是基本列，若0，0N，当Nnm,时，有①毕达哥拉斯（公元前约580~约500）：古希腊数学家、唯心主义哲学家，其招收300门徒组织了一个“联盟”，后称之为“毕达哥拉斯学派”，宣扬神秘宗教和唯心主义．在西方首次提出勾股定理，并把数的概念神秘化，认为“万物皆数”，即数是万物的原型，也构成宇宙的“秩序”，这里的数指的是自然然及自然数之比，即“有理数”，而且这种思想一直占统治地位，然而勾股定理的提出，导致这种理想的破灭，即以1为直角边的等腰直角三角形的斜边长是多少？这一问题后来称之为“不可公度”问题，引起整个世界（哲学界和数学界）的恐慌，称之为第一次数学危机，此问题直到十九世纪末才被解决．②从古至今，数学的发展大致经历了五个时期：（1）萌芽时期（公元前600年以前）；（2）初等数学时期（公元前600年到17世纪中叶）：欧氏几何、算术、初等代数、三角等；（3）变量数学时期（17世纪中叶到19世纪20年代）：微积分的建立、解析几何、运动观点等；（4）近代数学时期（19世纪20年代到20世纪40年代）；（日前大学中的主要数学课程）（5）现代数学时期（20世纪40年代以来）：显著特点：计算机的广泛应用．2nmxx（1）定义2两个有理数基本序列nx和nx称为是等价的，若0limnnnxx（2）将相互等价的基本列作为一类，称为一等价类．有理数a可表为基本列的极限，如常数列1na．这样可以认为：一个等价类与一个实数对应，当此序列对应的不是有理数时，称之为无理数．此定义的实质是：让每个基本列（有理数）都有极限，这样保证了极限运算的封闭性，称这种性质为完备性．2实数空间的定义公理1（域公理）Rzyx,,，有（1）交换律：xyyx，xyyx；（2）结合律：zyxzyx，zyxzyx；（3）分配律：zxyxzyx；（4）两个特殊元素0与1：Rx，有xx0，xx1；（5）每个Rx，关于“+”的逆元x，关于“·”的逆元1x（此时0x），有0xx，11xx公理2（全序公理）与“+”、“·”运算相容的全序公理（1）Ryx,，下列三种关系yx，yx，yx有且仅有一个成立；（2）传递性：若yx，zy，则zx；（3）与“+”相容性：若yx，则Rz，有zyzx；（4）与“·”相容性：若yx，0z，则zyzx．公理3（阿基米德（Archimedes）公理）0x，0y，Nn，使得ynx．公理4（完备性公理）有上界非空数集必有上确界．由此可定义：定义3实数空间是这样的集合R，在其上定义了“+”、“·”运算，以及序关系“”，满足上述四组公理，R中的元素称为实数．二实数基本定理1基本定理定理1（Dedekind确界定理）任何非空数集E，若它有上界，则必有上确界；若有下界，则必有下确界．定理2（单调有界定理）单调有界数列必收敛．定理3（Cauchy收敛准则）数列nx收敛的充要条件是：0，0N，当Nnm,3时，有nmxx．定理4（Bolzano-Weierstrass致密性定理）有界数列必有收敛子列．定理5（Weierstrass聚点定理）有界无穷点集至少有一个聚点．定理6（Cantor区间套定理）任何闭区间套必有唯一的公共点．定理7（Heine-Borel有限覆盖定理）闭区间上的任一开覆盖，必存在有限子覆盖．说明：定理1~6属于同一类型，它们都指出：在一定条件下，便有某一种“点”的存在．这种点分别是：确界（点）、极限点、某子列收敛点、聚点、公共点．定理7属于另一类型，它是前六个定理的逆否形式，不论用前6个定理来分别证明定理7，还是用定理7分别证明前6个定理，都可用反证法来证明，而前6个定理都可以直接推出．2重要概念定义1（确界）设RS，若R满足：（1）Rx，x，即是S的上界；（2）0，Sx0，使得0x，即不是S的上界．则称是S的上确界，记为Ssup．若R，满足：（1）Sx，有x；（2）0，Sx0，有0x；则称是S的下确界，记作Sinf．即：上确界是最小的上界，下确界是最大的下界．定义2设闭区间列nnba,具有如下性质：（1）11,,nnnnbaba，,3,2,1n；（2）0limnnnab；则称nnba,为闭区间套，简称区间套．定义3设RS，若R，使的任何邻域,U均含有S中无穷多个点，称为S的一个聚点．定义3＇设RS，R，若的任何去心领域内都含有S中异于的点，即,0US，称是S的一个聚点．定义3〃设RS，若存在彼此互异的点列Sxn，使得nnxlim，称为S的一个聚点．定义4设RS，H为开区间构成的集合．若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内，即Sx，HI，使Ix，称H是S的一个开覆盖，或称H覆盖S．若H中开区间的个数是无限（有限）的，称H为S的一个无限开覆盖（有限开覆盖）．3七个定理的环路证明例1确界定理单调有界定理．证不妨设数列na是单调增有上界，由确界定理知具有上确界，记为nasup，4显然就是其极限．事实上，0，由上确界定义知，Na，使Na，由单增性知，当Nn时，有nNaa，na，即nnalim．例2单调有界定理闭区间套定理．证设nnba,是一区间套，则na单增有上界，由单调有界定理知na有极限，且na，,2,1n．由区间套的定义知nnblim，又nb单减有下界，所以nb，,2,1n．此说明nnba，,2,1n．下证是唯一的，设1变满足上式，即nnba1，,2,1n，则有01nnab（n）．即1．例3闭区间套定理有限覆盖定理．证设H为ba,的一个无限开覆盖，假设定理结论不成立，即不能用H中有限个开区间覆盖ba,．将ba,等分成两个子区间，则其中至少有一个半区间不能被H中有限个区间覆盖，记之为11,ba，将11,ba等分成两个小区间，则其中至少有一个半区间不能被H中有限个区间覆盖，记之为],[22ba，如此下去便得一闭区间套1,nnnba，其中每一个区间不能被H中有限个开区间所覆盖．由闭区间套定理，存在唯一的点nnba,，,2,1n．由于H是ba,的覆盖，故H,，使得,，由保序性立得：当n充分大时，nnba，即,,nnba，这与nnba,的构造相矛盾，故命题为真．例4有限覆盖定理聚点定理．证设RS是有界无限点集，则Rba,，ba,为有限实常数，使得baS,．若S存在聚点，则该聚点必属于ba,（容易证明ba,之外任何一点都不是S的聚点，因此只需证明：若S不存在聚点，则矛盾．事实上，假设S不存在聚点，即ba,中任一点都不是S的聚点，由聚点定义，bax,，0x，使得xxU,中只含有S中有限个点，记baxxUHx,,，显然H是ba,的一个开覆盖，由有限覆盖定理知，存在有限个邻域覆盖ba,，从而亦覆盖了S．由xxU,的性质立得S中只有有限个点，矛盾．例5聚点定理柯西收敛准则．证设nx是R中任一数列，满足条件：0，0N，Nmn,，有mnxx．（3）由此易证nx是有界的（事实上，对,0,11N当1Nn时，有111Nnxx，从而111Nnxx，取M1,,,max1121NNxxxx，则.1,nMxn），记5,2,1nxSn，则S为有界集．若S为有限集，则S中至少有一个元素在nx中出现无限多次，取此构成一常数子列knx，则它是收敛的，设其极限为a，即axkn，由条件（3）可得数列nx收敛于a．若S是无限集，则由聚点定理知S至少有一个聚点，设为，则有mnxlim．事实上，由聚点的等价定义知，存在S中彼此互异的点列（从而是nx的一子列）knx，有knkxlim．又kknnnnxxxx，由（3）式立得nnxlim．例6聚点定理致密性定理．证设nx是有界数列，记,2,1nxSn，若S为有限集，则由例5的证明过程知存在收敛子列．若S为无限集，则存在聚点，由聚点的等价定义立明（过程如例5）．例7致密性定理柯西收敛准则．证设nx满足柯西收敛准则中的条件，则nx是有界数列，则必存在收敛子列，由此可证整个数列收敛（参见例5）．例8柯西收敛准则确界定理．证设S为非空有上界数列，由实数的阿基米德性质，对任何正数，存在整数k，使得k为S的上界，而1k不是S的上界，即S，使得1k．今分别取n1，,2,1n，则存在n，使得n为S的上界，但nn1不是S的上界．于是，Sa，na，,2,1n（4）Zn，na，有nannn1，,2,1n（5）由此易得nmnm1,1max，于是，0，0N，Nmn,，有mn，由柯西收敛准则知n收敛，记nnlim．下证是S上确界．由（4）易得是其上界．其次，0，由01n得0N，当Nn，有21nnn，由（5）知：S，有nn1．此说明为S的上确界．4闭区间上连续函数性质的证明6定理1（有界性定理）若函数xf在ba,上连续，则f在ba,上有界．证由连续函数的局部有界定理：bax,，xxU,及0xM，有xMxf，baxUxx,,，构造开覆盖baxxUHx,,，由有限覆盖定理立明．定理2（最值定理）若函数f在ba,上连续，则f在ba,上有最大、最小值．证由