4.4-共同本征函数

701§4.4共同本征函数1、不确定关系的严格证明能得到确定值。，则不一定。如果测量确定值，并不出现涨落，可以得到的本征态中测量力学量在算符BAAˆ定而其不确定度由下式确不能够同时完全确定，二象性，其位置与动量例如，由于粒子的波粒2/px702对于比较普遍的情况：）（注意：在经典力学中AAA厄米算符。也是，是厄米算符，所以，因为BABAˆˆˆˆ考虑积分积分区间取为整个空间。为实参数0d|)ˆˆ(|)(2BiAIBBBAAAˆˆˆˆ，两个力学量，设有BAˆˆ令展开上式，有703d]ˆˆ[ˆˆ()(**）（）（）BiABiAId)ˆ(ˆd]ˆ)ˆ()ˆ(ˆ[dˆ(ˆ(****2BBBAABiAA）（）（）（））均是厄米算符，所以有，因为BAˆˆdˆd)ˆˆˆˆ(d)ˆ()(2**2*2）（BABBAiAI（利用了厄米性）704ABBAˆˆˆˆ0ˆ)ˆˆˆˆ()ˆ()(222）（BABBAiAI则令KiABBAˆˆˆˆˆ的一元二次方程这是有关实参数ABBAˆˆˆˆ而)ˆ)(ˆ()ˆ)(ˆ(AABBBBAA0ˆˆ)ˆ(222）（BKA则所以得：dˆd)ˆˆˆˆ(d)ˆ()(2**2*2）（BABBAiAI705其有解的条件可由判别式给出，即2||ˆˆKBA简记为或|]ˆˆ[|21ˆˆBABA，这就是测不准关系。2ˆxpx则有4)ˆ()ˆ(222KBAipxx]ˆ[，因为比如706不确定关系,又称做不确定性原理,是微观粒子运动的基本规律,是微观粒子波粒二象性和波函数统计解释导致的必然结果。从这个关系我们可以看出,它根本不涉及测量,只要有波函数的统计解释和力学量的平均值公式,就可以导出不确定原理。最小测不准状态：2ˆˆBA最小波包状态：广泛应用于理论物理各个领域，包括量子光学、统计物理、量子场论、超导理论等方面的相干态理论，其相干态就是最小测不准态。详见《量子力学》，尹鸿钧，中国科技大学出版社707对易关系对测不准关系的意义：同的本征态。或者说它们不能有共不能同时测定和即,BA）不确定（则另一个完全）如果一个完全确定（BA,0一般来说，。不能同时为，不对易，则和若两个力学量0BABA708。同时有确定值，态中，如在0ˆˆ),(00yxLLY是存在的。的特殊情况不对易时，和但当0BABA0ˆˆABABAB反过来说，若两个力学量和对易，则可以找到状态使得，同时为。这样的状态称为，的共同本征态。这实际上就是我们介绍不确定关系的最重要的原因。709谐振子的能量21nEn解：平均能量：222212ˆˆxpH2222121xpHE222()()xnnnxNeHxdxxPxPnn)(ˆ)(*dxxdxdxinn)()(测不准关系的应用利用测不准关系估算一维线性谐振子的零点能0E7010dxxxdxdixxinnnn)()()()(P0P0)(2dxxxxn222222222ˆ()()()()()4PPPPxxxxPxh2224Pxh7011222221280ExxdEdxhmin012EEh故所谓零点能即为测不准关系要求的最小能量，零点能在旧量子理论是没有的。22xh（零点能）7012（1）若两个厄米算符有共同本征态，它们是否就彼此对易？（2）若两个厄米算符不对易，是否一定就没有共同本征态？（3）若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？（4）若=常数，和能否有共同本征态？（5）角动量分量和能否有共同本征态？]ˆ,ˆ[BAAˆBˆyLˆˆxL思考题：7013例1本征态。）的共同讨论动量的三个分量（zyxpppˆ,ˆ,ˆ有共同本征态）可以，，，所有（，由于zyxpppppˆˆˆ0]ˆˆ[即平面波函数)()()()(zyxrzyxpppp具体表示为7014),,(zyxpppp相应的本征值为函数即的共同本征态坐标,),,(zyxr例2)()()()(000000zzyyxxrzyx)(2/3)2(1zyxzpypxpierpie2/3)2(1)()()()(zyxrzyxpppp7015故一般无共同本征态，，但由于0]ˆ,ˆ[2LL，由于其三个分量不对易LiLLˆ]ˆ,ˆ[动量的本征态。般原则以前，先讨论角同本征函数的一在讲述两个力学量的共共同本征态。）的与任一分量（一般取我们可以找出zLLˆˆ27016函数的共同本征函数，球谐，、zLLˆˆ22]sin1)sin(sin1[ˆ22222L222sinˆ)sin(sinzLiˆzL采用球坐标的本征态，也取为的本征函数可以同时考虑到，zzLLLLˆˆ,0]ˆ,ˆ[22即取其交集7017),2,1,0(,e21)(immm写为分离变量，即可以的本征函数实际上可以本征函数，也是的此时，由于22ˆˆ)(LLm)()(),(mY代入本征方程),(),(ˆ22YYL的球坐标表达式代入得用2ˆL无量纲）。的本征值（是22ˆL7018此为球面方程。利用分离变量法及微分方程的幂级数解法，求球面方程在，，区域内的有限单值函数解，可得0202211sin(,)(,)0sinsinYY)()(),(mY将代入球面方程得到7019)0(0)sin()dd(sinddsin122m上式还较为复杂，需要化简。为此令得)1|(|cos0)1(dd1dd222m）（0)1(dd2dd122222m）（或这是缔合勒让德方程。7020以证明，当，其余的均为常点。可个正则奇点区域中，微分方程有两在11||,2,1,0)1(lll时，方程的有界解是一个多项式，称之为Legendre（勒让德）多项式，用下式表示：lmPml||)(由Legendre多项式的正交关系)12(,1,1,0,1,,1,)!()!(122d)()('11'个lllllmmlmllPPllmlml7021可以定义归一化的θ部分的波函数（为实数）)(cos)!(2)!)(12()1()(mlmlmPmlmll并满足归一化关系0''dsinllmllm函数为的正交归一的共同本征这样，)ˆ,ˆ(2zLL7022immlmlmePmlmllY)(cos)!(4)!)(12()1(),(上式就是所谓的球谐函数，满足本征值方程llllml,1,,1,,2,1,0其正交关系为''''200*d),(),(sindmmllmllmYYlmlmzlmlmYmYLYllYLˆ)1(ˆ227023由上述本征值方程可以看出：因为本征函数是不确定的，的本征值是一定的，但，对于给定的2ˆLl些本征态。的本征值来区分这对易的就是用与zlmLLYˆˆ2lm其中称为轨道量子数，称为磁量子数。。的本征值都是量子化的和zLLˆˆ2度简并。共有12,1,,1,lllllm7024讨论:（1）与有共同的本征函数系zLˆ2ˆL),(lmY),()1(),(ˆ22lmlmYllYL),(),(ˆlmlmzYmYL（2）简并情况,2,1,0llm,,2,1,0在求解的本征方程的过程中，出现角量子数和磁量子数m。2ˆLl7025即属于本征值的线性独立本征函数共有个。因此,的本征值是度简并的。的本征值仅由角量子数l确定，而本征函数却由L和m确定。对于一个l值，m可取，这样就有（2l+1）个l值相同而m值不同的本征函数与的同一个本征值对应。2)1(ll2ˆL),(lmY2)1(lll,,2,1,02ˆL)12(l2(1)llh2ˆL)12(l),(lmY2)1(ll2ˆL7026l=2Z0+1m=+2-1-2角动量的空间取向量子化6L2本征值：,...2,1,0,)1(2lllLz本征值：lmmLz,...2,1,0,确定了角动量的大小确定了角动量的方向7027例0,0ml001(,)4Y简并度为120(01)Lh1,0,1mliieYYeYsin83),(cos43),(sin83),(11101122)11(1L简并度为370282,1,0,2ml)1cos3(165),(cossin815),(sin3215),(22021222YeYeYiiz222212sin3215),(cossin815),(iieYeY222(21)Lh简并度为57029般原则、求共同本征函数的一3前面已经说明，两个力学量具有共同本征函数系的充要条件是两个算符对易。征函数系？的共同本，如何求现在设BABAˆ,ˆ0]ˆ,ˆ[态。算符的本征，下面由此寻找的本征值为的本征态，相应是，即若BAAAAnnnnnˆˆˆ7030可知不简并，利用）如果（0]ˆ,ˆ[BAAan)ˆ(ˆˆ)ˆ(ˆnnnnBAABBA代表同一个态。与不简并，所以但由于nnnBAˆnnnBBˆ。，为值分别的共同本征函数，本征，是故nnnBABAˆˆ的本征态。的属于同一本征值也是即nnAABˆˆ，即子记为因子，我们将此因它们至多相差一个常数nB7031•如果一组算符有共同的本征函数完备系，则这组算符对易；•如果一组算符对易，则这组算符有组成完备系的共同本征函数。定理：两个力学量算符有共同完备本征函数系的充要条件是这两个力学量算符对易。注意：两个力学量算符不对易，它们没有共同完备本征函数组，但可以有一些共同的本征函数，但是不能构成完备集。7032是不简并的。已经知道能量本征值，态为一维谐振子的能量本征例nnE1不变，下在算符显然由于xxHˆnHamiltoniannPHHPˆˆˆˆ，有即对能量的本征态n移项得出以没有“影响”，这样可对或者说HPˆˆ，现在引进空间反射算符Pˆ22222212ˆxmdxdmH70330)()ˆˆˆˆ(xPHHPn由此可得0]ˆ,ˆ[HP由前面的论述可知，的本征态。必为Pnˆ宇称。具有nnx)1()(征函数的特性，有事实上，根据谐振子本)()(ˆxxPnn的本征值。符它实际上是空间反射算Pˆ)()1(xnn7034不简并的。是本征态时，角动量量子数002ˆ0YLlzyxLL,,0]ˆˆ[2，，态。）的共同本征（态必为所以zyxLl,,ˆ0nnnnfAA,,2,1ˆ。的本征函数，简并度为属于是即nnnfAAˆ而。它们的本征值均为0有简并，即）设（nAb例27035'')(