第12章衍生品

第12章布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型（Black-Scholes-Merton,BSM）目录BSM期权定价模型的基本思路股票价格的变化过程BSM期权定价公式BSM期权定价公式的精确度评价与拓展基本思路股票价格服从的随机过程由Itô引理可得期权价格相应服从的随机过程BSM微分方程BSM期权定价公式dSSdtSdz222212ffffdfSSdtSdzStSS222212fffrSSrftSS12rTtcSNdXeNd标准布朗运动（维纳过程）布朗运动（BrownianMotion）起源于英国植物学家布郎对水杯中的花粉粒子的运动轨迹的描述。标准布朗运动的两大特征：◦特征1：∆z=ε∆t（标准正态分布）◦特征2：对于任何两个不同时间间隔∆t，∆z的值相互独立。（独立增量）维纳过程的性质也服从正态分布◦均值等于0◦方差等于T−t◦标准差等于◦方差可加性1niiZTZttZTZtTt为何使用布朗运动？正态分布：经验事实证明，股票价格的连续复利收益率近似地服从正态分布数学上可以证明，具备特征1和特征2的维纳过程是一个马尔可夫随机过程，从而与弱式EMH相符。维纳过程在数学上对时间处处不可导和二次变分（QuadraticVariation）不为零的性质，与股票收益率在时间上存在转折尖点等性质也是相符的市场有效理论与随机过程普通布朗运动：标准布朗运动的扩展遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过程：或者◦adt为确定项，漂移率a意味着每单位时间内x漂移a；◦bdz是随机项，代表着对x的时间趋势过程所添加的噪音，使变量x围绕着确定趋势上下随机波动，且这种噪音是由维纳过程的b倍给出的，称为方差率，b称为波动率。zdxadtbd0xtxatbzt2b对普通布朗运动的理解普通布朗运动的离差形式为◦∆x具有正态分布特征，其均值为，标准差为，方差为◦在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为aT，标准差为，方差为。标准布朗运动为普通布朗运动的特例。xatbtatbt2tbbT2bT伊藤过程（ItôProcess）伊藤过程其中，是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为。dz000,,ttdxaxtdtbxtdzxtxadsbdz2b几何布朗运动（GeometricBrownianMotion）几何布朗运动其中µ和σ均为常数一般用几何布朗运动来描述股票价格的随机过程◦可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾的问题◦几何布朗运动意味着股票连续复利收益率服从正态分布，这与实际较为吻合dSSdtSdz伊藤引理（ItôLemma）若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：其中，是一个标准布朗运动。22212GGGGdGabdtbdzxtxxdz泰勒展开式G的泰勒展开式为：22222221212GGGGxtxxtxGGxttxtt忽略比∆t高阶的项在常微分中，我们得到在随机微分中，我们得到：GGGxtxt222212GGGGGxtxxtxtxxt将∆x代入将代入最后二项，并忽略∆t2的项，则由于而和的方差和同阶，可以忽略，因此有xatbt3222222221122GGGGGxtbtbbtxtxx223222~0,1,0,11,,0EEEEEttEt因此22212GGGGxtbtxtx2t2t32t取极限取极限代入可得22212GGGdGdxdtbdtxtxdxadtbdz22212GGGGdGabdtbdzxtxx伊藤引理的运用如果我们知道x遵循的伊藤过程，通过伊藤引理可以推导出G(x,t)遵循的随机过程。由于衍生产品价格是标的资产价格和时间的函数，因此伊藤引理在衍生产品分析中扮演重要的角色。案例1：lnS所遵循的随机过程假设变量S服从几何布朗运动令，则运用伊藤引理可得所遵循的随机过程为说明连续复利收益率服从期望值方差为的正态分布。注意：dSSdtSdzlnGS22211,,0GGGSSSStlnGS2ln2dGdSdtdzlndS22dt2dtlndSdSS案例2：F所遵循的随机过程假设变量S服从几何布朗运动由于，则运用伊藤引理可得说明期货价格的漂移率比标的资产小r。期货价格的期望增长率是dSSdtSdzrTtFSe22,0,rTtFFFerFSStdFrFdtFdzr股票价格的变化过程：几何布朗运动I股票价格服从几何布朗运动意味着几何布朗运动具有如下性质：dSSdtSdz2ln2dGdSdtdz股票价格的变化过程：几何布朗运动IIS不会为负，这与有限责任下股票价格不可能为负是一致的。股票连续复利收益率服从正态分布。◦T−t期间年化的连续复利收益率可以表示为◦可知随机变量η服从正态分布◦σ是股票连续复利收益率的年化标准差，也被称为股票价格对数的波动率（Volatility）lnlnTtSSTt2~,2Tt股票价格的变化过程：几何布朗运动III股票价格的对数服从普通布朗运动，特定时刻的股票价格服从对数正态分布。其中，µ是∆t时间内股票价格百分比的年化预期收益率。22222lnln~,2ln|~ln,21TtTttTttTtTtTttTtSSTtTtSISTtTtESSeVarSSee百分比收益率与对数收益率短时间内几何布朗运动只意味着短时间内的股票价格百分比收益率服从正态分布，长期间内股价百分比收益率正态分布的性质不再存在，但连续复利收益率始终服从正态分布。SttS样本间隔对收益率与波动率估计的影响案例3：几何布朗运动下股票价格的概率分布I设A股票的当前价格为50元，预期收益率为每年18%，波动率为每年20%，假设该股票价格遵循几何布朗运动且该股票在6个月内不付红利。请问该股票6个月后的价格的概率分布如何？A股票在6个月后股票价格的期望值和标准差分别是多少？TS预期收益率µµ为∆t时间内股票的年化期望收益率，股票的连续复利收益率。根据资本资产定价原理，µ取决于该证券的系统性风险、无风险利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素，因此其决定本身就较复杂。然而幸运的是，在无套利条件下，衍生证券的定价与标的资产的预期收益率是无关的。22波动率σ证券价格对数的年波动率，是股票价格对数收益率的年化标准差人们常常从历史的证券价格数据中计算出样本对数收益率的标准差，再对时间标准化，得到年标准差，即为波动率的估计值。在计算中，一般情况下时间距离计算时越近越好；但时间窗口也不宜太短；一般采用交易天数计算波动率而不采用日历天数。衍生品价格所服从的随机过程当股票价格服从几何布朗运动根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：衍生证券价格G和股票价格S都受同一个不确定性来源dz的影响dSSdtSdz222212GGGGdGSSdtSdzStSS假设证券价格遵循几何布朗运动，即µ和σ为常数；允许卖空标的证券；没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分；衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付；不存在无风险套利机会；证券交易是连续的，价格变动也是连续的；衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。BSM微分分程的推导I由于假设股票价格S遵循几何布朗运动，因此有：在一个小的时间间隔∆t中，S的变化值∆S为：dSSdtSdzSStSzBSM微分分程的推导II设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的函数，根据伊藤引理可得：在一个小的时间间隔∆t中，f的变化值∆f满足：222212ffffdfSSdtSdzStSS222212fffffSStSzStSSBSM微分分程的推导III为了消除风险源∆z，可以构建一个包括一单位衍生证券空头和单位标的证券多头的组合。令Π代表该投资组合的价值，则：在∆t时间后，该投资组合的价值变化∆Π为：fsffSxffSxBSM微分分程的推导IV代入∆f和∆S可得由于消除了风险，组合Π必须获得无风险收益，即222212ffSttSrtBSM微分分程的推导V因此化简可得：这就是著名的BSM微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。222212fffStrfSttSS222212fffrSSrftSS风险中性定价原理I观察BSM微分方程可以发现，受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。这意味着，无论风险收益偏好状态如何，都不会对f的值产生影响。因此我们可以作出一个可以大大简化我们工作的假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。风险中性定价原理II在所有投资者都是风险中性的条件下（有时我们称之为进入了一个“风险中性世界”）：◦所有证券的预期收益率都等于无风险利率r，因为风险中性的投资者并不需要额外的收益来吸引他们承担风险。◦同样，在风险中性条件下，所有现金流都应该使用无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。理解风险中性定价I假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市价。若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。理解风险中性定价II为了找出该期权的价值，我们可构建一个由1单位看涨期权空头和∆单位的标的股票多头组成的组合。若3个月后股票价格等于11元，该组合价值等于(11∆−0.5)元；若3个月后该股票价格等于9元，该组合价值等于9∆元。由于11∆−0.5=9∆⇒∆=0.25因此，一个无风险组合应包括1份看涨期权空头和0.25股标的股票。无论3个月后股票价格等于11元还是9元，该组合价值都将等于2.25元。理解风险中性定价III假设现在的无风险年利率为10%，则该组合现值为因此这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否则就会存在无风险套利机会。0.10.252.252.19e100.25f2.19f0.31元理解风险中性定价IV可以看出，在确定期权价值时，我们并不需要知道股票价格在真实世界中上涨到11元的概率和下降到9元的概率。也就是说，我们并不需要了解真实世界中股票未来价格的期望值，而期望值的确定正与投资者的主观风险偏好相联系。因此我们可以在假设风险中性的前提下为期权定价。理解风险中性定价V投资者厌恶风险程度、股票的预期收益率和股票升跌概率