20150422数学是一种活动

福建省教研室王永数学是一种活动现实数学教育的奠基人弗兰登塔尔1967年任国际数学教育大会(ICMI)的主席《数学教育研究》（EducationalStudiesinMathematics）杂志的创始人。国际数学教育最高奖之一Freudenthal奖以他的名字命名1987年曾来中国访问《数学教育杂志》（1968）“……应以一种新的观点来认识作为教育的数学和数学学习。归根到底，数学是一项人类活动，因此作为教育的数学也要作为一项人类活动来看待。……学校中的数学不是那些封闭的系统，而是作为一项人类活动的数学，是从现实生活开始的数学化过程……。”“……体系化体现了数学的巨大功能，……学生应当学习数学的这种功能，但我这里所说的学习是指学习形成这种体系的数学活动过程，而不是系统化的最后结果。因为系统化的最后结果是一个漂亮的封闭系统，封闭到没有入口和出口……。学生所要学习的不是作为一个封闭系统的数学，而是作为一项人类活动的数学，即从现实生活出发的数学化过程。如果需要也可以包括从数学本身出发的数学化过程……。”《作为教育任务的数学》(1973)……“灌输”式的教学是一种类似于把学生训练成计算机的教育，即学生只能被动的执行程序，缺少自己发挥主动性和创造性的空间。其结果，不仅在计算方面人无法与计算机相比，反而极大的抑制了学生主动性和创造性的发展。两种不同的数学“历来，数学被当成一门现成的学科来教。把定义、法则和算法教给学生，然后要求他们按照这些进行学习。”（《数学教育再探》：66）活动的数学——数学课程改革倡导的数学。“把数学当成一种活动，它的一个主要特征：数学化。”（《数学教育再探》：42）“数学化是数学化某些东西——某些非数学的或者还不完全是数学的东西，它们需要更多、更好、更精炼、更敏锐地加以数学化。”（《数学教育再探》：92）现成的数学——传统数学教育所教的数学。数学是一种活动“数学是在内容与形式相互的影响之中，作为一种发现和组织的活动。”（《数学教育再探》：22）横向数学化把生活世界引向符号世界。……在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用，而且是机械地、全面地、互相呼应地；这就是纵向数学化。（《数学教育再探》：57）唱数——数的语音形式（思维形式）数数——数的基数与序数的意义（思维内容）认数——数的书写形式（思维形式）说数——说出与日常生活密切相关的数及其表示的事物（思维内容）例1在形成数概念之前，数是儿童思维对象。儿童的唱数、数数、认数、说数都是以数作为思维对象的活动。思维是语言的内容，语言是思维的形式。思维与语言相互影响；语言推动了抽象的发展。例2：学习加法的数学活动。⒈学生自己解决面临的实际问题；⒉引入算式3+2=5表示上述操作的过程与结果；⒊根据算式3+2=5，说生活中更多的故事。情景问题：2支铅笔和3支铅笔，合起来一共有几支铅笔？把生活世界引向符号世界——横向数学化。横向数学化，发现了加法的现实意义：合并、添加、增加，等。⒋把算式3+2=5作为分析的对象，反思：如何从3+2出发，算出结果？①3+2=3+1+1——重塑符号（为纵向数学化提供手段与工具），生成符号新的意义，把加法运算与计数策略联系起来了；②从3开始，继续往下数2个数，就得到5，（符号被机械而无省察地使用,彼此呼应）。这就是在符号世界里，对符号进行组织和重新组织——纵向数学化，从而发现加法的数学意义：加法就是继续往下数的计数策略。例3观察下面一组算式，有什么发现？0+4=41+4=52+4=63+4=74+4=85+4=96+4=10两个数相加，其中一个加数不变，另一个加数加一个数，和也加同一个数。两个数相加，其中一个加数不变，另一个加数加1，和也加1。两个数相加，其中一个加数不变，另一个加数加2，和也加。发现规律和描述规律的过程，其实就是发现问题和提出问题的过程。这个加法的运算规律名叫加法的单调性。（加法结合律）cbacba)()(cmcbamba)(“这些形式又成为学科的内容，一个核心，像它以前一样，较高层次的内容——再次成为一个重复的过程，一种形式和内容的相互影响，刻划了数学思想的特征。”（《数学教育再探》：15）到了四年级下册，加法的单调性又成为学习的内容，进一步思考：如何用字母表描述这个规律？“这些相互影响包括用数学作为一种结果和一种过程来进行交流的语言学表示。为了有效，新的内容和形式要求新的术语，同时必须在符号和记法方面被精简合理化。在反思的过程中，符号和记法再次成为像以前那样的学科内容而被掌握。虽然组织也是发现的东西，但是第二位的，内容才是原始发现的结果，组织是作为它的形式。……在数学中组织和再组织是一件持续不断的事情，而且最新要求的组织形式，可能又成为在经过如此意义检验过的学科材料新内容。”（《数学教育再探》：15—16）有指导的再创造“‘创造’既包含了内容又包含了形式，既包含了新的发现又包含了组织。创造，照这里的理解，是学习过程中的若干步骤，这些步骤的重要性在于再创造的‘再’，而学习过程的教学环境就是形容词‘有指导的’所指的。”（《数学教育再探》：63）“一旦数学化在教学上转变为再创造，有待数学化的现实就成为学生的现实，成为引导学生进入其中的现实。同时，数学化也就成为学生自己的活动。”（《数学教育再探》：92）例4算法再创造——一位数乘二位数的竖式笔算。这是新世纪小学数学三年级上册第六单元第一课时的情景问题。在学习表内乘法时，已经引入点子图，把它视为乘法的直观模型。【数学活动1】利用点子图探究12×4=？算法1：算法2：算法3：想一想：⒈还有其他直观的算法吗？（算法3是具有普适性的算法）【数学活动2】请设计一个表格来表达算法3。×102440840+8=48⒉上述算法都适合用来计算13×5吗？反思：如何把表格的算法重新组织成一个类似竖式加法那样的算式？12×440……10×48……2×448……40+8反思：上面的乘法竖式能否进一步简化？12×448点子图→表格→竖式→简约的竖式（法则）反思：由点子图直观运算产生的横式笔算与标准的竖式笔算比较，两者之间有何不同？⒈横式笔算的每一步都是精确数值的计算；标准的竖式笔算的每一步都是两个数位上数字之间的运算，每一步的积都必须写在相应的位置上。⒉横式笔算的算法往往不唯一，可以寻找合理简洁的运算途径，有助于培养数感；标准的竖式笔式却是算法唯一的程序性计算，只需机械操作。⒊横式笔算的算理直观；标准的竖式笔算的算理容易被机械化、自动化的算法淹没。实现算法的标准化、程序化、机械化和自动化，最终导致可以用机器代替人进行运算。这也是在计算机时代学习标准的竖式笔算的文化价值。“通过对自己活动的反思，人们发现了范例，它被抽象成心理活动的模式，并且制造了有意识的图式，同时思想沿着新过程的行为被组织起来——成为可接受的图式，那就是考虑到应用的各个方面的，以及相同情况下固定不变的单一目的的图式。由于其固定不变，这些图式可能会指导他们的一生，叫做算法。”（《数学教育再探》：15）再创造算法可能是一个乏味而又费时的活动，它的深奥策略有必要让教师、教科书作者、教育开发者和研究人员相信，最终结果的价值与付出的劳动和花费的时间是相称的。再创造算法涉及到图式化的过程，这个过程被再创造者一再缩短，由他们来探究尽可能适合学习者需要、能力要求和允许范围的标准算法。（《数学教育再探》：81）“我把定义包括在学生有权再创造的事物的范围之内。”（《数学教育再探》：63）例5学习长方形和正方形定义的活动⒈一年级能辨认长方形、正方形等简单图形（为图形取名字是通往意识的第一步）。⒉二年级通过观察、操作，初步认识长方形和正方形的特征。长方形正方形①对边相等；②四个角都是直角。①四条边都相等；②四个角都是直角。长宽边⑴剪下（图1）四个角都是直角的四边形，它的对边相等吗？⑵用（图2）四根小棒摆成一个对边相等的四边形，它的四个角一定都是直角吗？发现：四个角都是直角是长方形的基本特征。反思长方形两个特征之间的联系，寻找长方形的基本特征。图1图2定义：四个角都是直角的四边形，叫作长方形。根据长方形的定义，正方形也是长方形。但是，正方形还具有一般长方形所没有的征——长与宽相等。根据这个特征把所有长方形进行分类，正方形就是其中长与宽相等的一类。所以，定义“长与宽相等的长方形，叫作正方形”。寻找基本特征——本质的定义（长方形）；寻找种属关系——种属的定义（正方形）。反思：正方形的本质特征是什么？谢谢大家！