八年级第一学期(上海版)垂直平分线和角平分线复习和经典习题

八年级垂直平分线和角平分线复习一、知识要点1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若点C在直线m上，则AC＝BC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若AC＝BC，则点C在直线m上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,ijk分别是△ABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线,,ijk相交于一点O，且OA＝OB＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.m图1DABCm图2DABCjik图3OBCA2/7角平分线知识要点详解4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图4，已知OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，若CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，则CF＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.定理的数学表示：如图5，已知点P在∠AOB的内部，且PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，若PC＝PD，则点P在∠AOB的平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，那么：①AP、BQ、CR相交于一点I；②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.图4CDOABFE图5CDOABP图6EFDIPRQBCA3/7二、垂直平分线典习题1.如图1在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长是12cm，AC=5cm，则△ABC的周长是______cm.2.如图2,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=15°，DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于E，则∠AEC=______度。3.如图3,在锐角三角形ABC中,∠A=50°，AC、BC的垂直平分线交于点O，则∠BOC=______°4.如果三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部,那么,这个三角形是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形5.如图4，等腰△ABC中，BC=8cm，腰AB的垂直平分线MN交AC于D，△DBC的周长是20cm，则AB=______cm.6.如图5,在Rt△ABC中,∠C=90°，DE为AB边上的垂直平分线，分别交AB、BC于点D.E，若∠EAC:∠EAB=4:7，则∠B=°7.如图6，在等边△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，OB，OC的垂直平分线交BC于点E，F，如果AB=12，那么EF=8.已知△ABC是边长为1的等边三角形，△DBC是以BC为斜边的等腰直角三角形，那么点B到直线AD的距离为___.9.已知A和B两点在线段EF的中垂线上,且∠EAF=100°，∠EBF=70°，则∠AEB=.10.下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB.）其中正确的个数有（)A.1个B.2个C.3个D.4个图1图2图3图4图5图64/711.如图8，已知,AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交BC的延长线于E，交AD于F。求证:∠BAE=∠ACE.12.已知：如图,在△ABC中,∠C=120°，边AC的垂直平分线DE与AC、AB分别交于点D和点E.。(1)作出边AC的垂直平分线DE；(2)当AE=BC时，求∠A的度数。13.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,AC=BC,D为BC边上的中点,CE⊥AD于点E,BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF.图85/7三、角平分线典型习题1.如图1,在△ABC中,D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F,如果∠DEF=∠DFE=23°，那么∠DAC=°2.如图2，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC，垂足为E，△DEB周长为16cm，则BC=______cm.3.如图3，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O．若∠OBC+∠OCB＝70°，则∠BAO=°4.在RT△ABC中,已知∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,如果BC=40cm,BD:CD=5:3,求点D到AB的距离是cm.5.已知，△ABC的周长为18cm，∠A和∠B的角平分线的交点到AB的距离为3cm，那么△ABC的面积为________.6.如图4，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠CBE、∠BCF的平分线，那么∠BDC与∠A满足的数量关系式：。7.如图5，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E.F，FG⊥AB，垂足为G，若CF=3cm，EF=2.5cm，则CE=______cm.8.如图6，∠B=∠C=90°,E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，则∠EAB=°9.如图7,在△ABC中,∠ABC=150°,点D是AB延长线和AC垂直平分线的交点,连接DC,这时BC恰好平分∠DCA,则∠A=°图1图2图3图4图5图6图76/710.如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，交BD于点O。求证点O到EB与ED的距离相等11.如图,在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BE⊥AC，垂足为点E，AD平分∠BAC，DF∥BE，EF=4，求点F到BC的距离12.已知：如图，点D是△ABC的边AC上的一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，E.F为垂足，再过点D作DG∥AB，交BC于点G，且DE=DF.(1)求证：DG=BG；(2)求证：BD垂直平分EF.7/713.如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于O.求证：点O到三边AB、BC、CA的距离相等。14.Rt△ABC中,AD是斜边BC上的高,BE平分∠ABC交AD于E,交AC于F,EG∥BC交AC于点G.求证：AF=GC15.如图,在△ABC中,OE,OF分别是AB,AC边的垂直平分线,∠OBC,∠OCB的平分线相交于点G,判断OG与BC的位置关系,并证明