第22讲 圆的有关概念和性质

数学第22讲圆的有关概念和性质圆的有关概念1．圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，________所形成的图形．2．弧：圆上任意两点间的________叫做圆弧，简称弧．3．弦：连接圆上任意两点的________叫做弦，经过________的弦叫做直径．4．圆心角：顶点在________的角叫做圆心角．5．圆周角：顶点在________，两边都与圆________的角．圆的有关性质1．对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形．2．垂径定理：垂直于弦的直径________弦，并且________所对的两条弧．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．3．弦、弧、圆心角之间的关系：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量________，它们所对应的其余各组量________．4．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角________，都等于该弧所对的圆心角的________．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是________；90°的圆周角所对的弦是________．5．圆内接四边形的对角________．垂径定理及推论【例1】(2013·潍坊)如图，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP∶AP＝1∶5，则CD的长为()连接OC，由已知条件可求OP，由垂径定理得PC＝PD，在Rt△OCP中由勾股定理求出PC.A．42B．82C．25D．45D弦、弧、圆心角之间的关系【例2】如图，在⊙O中，弦AD＝BC，试写出三个不同类型的正确结论．解：答案不唯一，如∠D＝∠B(或∠A＝∠C)，AD︵＝BC︵(或AB︵＝CD︵)，AB＝CD(或AE＝CE)等本题属结论开放型问题，由弦AD＝BC推出AD︵＝BC︵，DC︵＝AB︵，从而推出其他结论：角等或弦等．圆周角定理及推论【例3】(2013·常州)如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD为⊙O的直径，AD＝6，则DC＝___________23由圆周角定理及推论―→∠BDA＝∠ADC＝30°，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°.解答圆的问题时应认真理解题意，需分类讨论的问题，应分类以免出现遗漏情况．【例4】(2013·泸州)已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为()A．25cmB．45cmC．25cm或45cmD．23cm或43cm本题无图，AB⊥CD―→确定位置作图，应有两种情况．C真题热身1．(2013·宜昌)如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是()A.AD︵＝BD︵B．AF＝BFC．OF＝CFD．∠DBC＝90°2．(2014·湖州)如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A＝35°，则∠B的度数是()A．35°B．45°C．55°D．65°CC3．(2014·温州)如图，已知A，B，C在⊙O上，ACB︵为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是()A．2∠CB．4∠BC．4∠AD．∠B＋∠C4．(2014·北京)如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为()A．22B．4C．42D．8AC5．(2014·陕西)如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A，B两点，M，N是⊙O上两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是_______________426．(2014·湖州)如图，已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D.(1)求证：AC＝BD；(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．解：(1)作OE⊥AB于E，则有AE＝BE，CE＝DE，∴AC＝BD(2)∵由(1)可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，∴OE＝6，∴CE＝OC2－OE2＝82－62＝27，AE＝OA2－OE2＝102－62＝8，∴AC＝AE－CE＝8－27请完成本节对应练习