第3章 线性系统的可控性与可观测性

第3章线性系统的可控性和可观测性1第三章线性系统的可控性与可观测性本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容是关于系统的可控性、可观测性分析。系统的可控、可观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后被证明这是系统的两个基本结构属性。本章首先给出可控性、可观测性的严格的数学定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测性的各种准则，这些判别准则无论在理论分析中还是在实际应用中都是很有用的。第3章线性系统的可控性和可观测性23.1可控性和可观测性的定义3.2线性定常连续系统的可控性判据（※）3.3线性定常连续系统的可观测性判据（※）3.4对偶原理第三章线性系统的可控性与可观测性第3章线性系统的可控性和可观测性33.1可控性和可观测性的定义一．可控性与可观测性的物理概念系统的可控性和可观性，就是指系统内的所有状态是否可以由输入影响和是否可由输出反映。如果系统内部的所有状态的运动都可由输入来影响和控制而由任意的初始状态达到原点，则称系统是可控的，或者更确切的说是状态可控的，否则就称系统为不完全可控的，或简称为系统不可控。如果系统内部所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，否则就称系统为不完全可观测的，或简称为系统不可观测。第3章线性系统的可控性和可观测性4例3-1：给定系统的状态空间描述为1122401052xxuxx1206xyx结构图表明：通过控制量u可以控制状态x1和x2，所以系统完全能控；但输出y只能反映状态变量x2，不能反映状态变量x1，所以系统不完全能观测。图3-1系统结构图第3章线性系统的可控性和可观测性5二．可控性定义1．状态可控考虑n维线性时变系统的状态方程00()()()txAtxBtuxtxtT如果对取定初始时刻的一个非零初始状态x(t0)=x0，存在一个时刻和一个无约束的容许控制u(t)，，使状态由x(t0)=x0转移到t1时的x(t1)=0，则称此x0是在时刻t0可控的.tTt0011,ttTtt],[10ttt第3章线性系统的可控性和可观测性62．系统可控如果状态空间中的所有非零状态都是在t0（）时刻可控的，则称系统在时刻t0是完全可控的，简称系统在时刻t0可控。若系统在所有时刻都是可控的，则称系统是一致可控的。考虑n维线性时变系统的状态方程00()()()txAtxBtuxtxtTtTt0第3章线性系统的可控性和可观测性73．系统不完全可控对于线性时变系统取定初始时刻，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻t0是不可控的，则称系统在时刻t0是不完全可控的，也称为系统是不可控的。00()()()txAtxBtuxtxtTtTt0第3章线性系统的可控性和可观测性84．状态可达与系统可达对于线性时变系统若存在能将状态x(t0)=0转移到x(tf)=xf的控制作用，则称状态xf是t0时刻可达的。若xf对所有时刻都是可达的，则称状态xf为完全可达到或一致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻t0可达的，则称该系统是t0时刻完全可达的，或简称系统是t0时刻可达的。00()()()txAtxBtuxtxtT第3章线性系统的可控性和可观测性9三．可观测性定义1．系统完全可观测对于线性时变系统如果取定初始时刻，存在一个有限时刻,对于所有，系统的输出y(t)能唯一确定状态向量的初值x(t0)，则称系统在[t0,t1]内是完全可观测的，简称可观测。如果对于一切t1t0系统都是可观测的，则称系统在[t0,∞)内是完全可观测的。0ttT110,ttTtt01,ttt000(),(),()txAtxxtxttTyCtx第3章线性系统的可控性和可观测性102．系统不可观测对于线性时变系统如果取定初始时刻，存在一个有限时刻,对于所有，系统的输出y(t)不能唯一确定所有状态的初值xi(t0)，i=0,1,…,n，即至少有一个状态的初值不能被y(t)确定，则称系统在[t0,t1]内是不完全可观测的，简称不可观测。0ttT110,ttTtt01,ttt000,(),()()txAtxxtxttTyCtx第3章线性系统的可控性和可观测性113.2线性定常连续系统的可控性判据(※)一、线性定常连续系统的可控性判据（※）1．格拉姆矩阵判据线性定常系统0()()()(0)0xtAxtButxxt完全可控的充分必要条件是：存在一个有限时刻t10，使如下定义的格拉姆矩阵：为非奇异。注意：在应用该判据时需计算eAt，这在A的维数较高时并非易事，所以此判据主要用于理论分析中。101],0[ttATAtdteBBetWT第3章线性系统的可控性和可观测性12证：充分性：已知W(0,t1)为非奇异，欲证系统为完全可控，采用构造法来证明。对任一非零初始状态x0可构造控制u(t)为：1101()(0,),0,TTAtutBeWtxtt则u(t)作用下系统状态x(t)在t1时刻的结果:1111111111()1001010010110000()()(0,)(0,)(0,)0TtAtAtttAtAtAtTAtAtAtAtAtnxtexeButdtexeeBBedtWtxexeWtWtxexexxR这表明：对任一取定的初始状态x0≠0，都存在有限时刻t10和控制u(t)，使状态由x0转移到t1时刻的状态x(t1)=0，根据定义可知系统为完全可控。第3章线性系统的可控性和可观测性13必要性：已知系统完全可控，欲证W(0,t1)非奇异。反设W(0,t1)为奇异，即存在某个非零向量，使0nxR010(0,)0TxWtx1110100000002000(0,)TTTTtTTAtTAtTtTAtTAttTAtxWtxxeBBexdtBexBexdtBexdt其中||·||为范数，故其必为非负。欲使上式成立，必有010,[0,]TTAtBextt第3章线性系统的可控性和可观测性14因系统完全可控，根据定义对此非零向量应有0x111100()()0tAtAtAtxtexeeButdt100()tAtxeButdt1120000000()()TTttTAtTTAtxxxeButdtxutBexdt020000xx即此结果与假设相矛盾，即W(0,t1)为奇异的反设不成立。因此，若系统完全可控，W(0,t1)必为非奇异。00x第3章线性系统的可控性和可观测性152．秩判据（※）1）凯莱-哈密尔顿定理：设n阶矩阵A的特征多项式为1110()|I|nnnssAsss则矩阵A满足其特征方程，即1110()I0nnnAAAA2）推论1：矩阵A的k(k≥n)次幂可表示为A的(n-1)阶多项式10nkmmmArAkn，注：此推论可用以简化矩阵幂的计算。第3章线性系统的可控性和可观测性163）推论2：矩阵指数函数可表示为A的(n-1)阶多项式10e()nAtmmmtA例3-4：已知，计算A100=?1201A解：A的特征多项式为：2()det(I)21ssAss由凯莱-哈密顿定理，得到2()20AAAII22AA第3章线性系统的可控性和可观测性1732222(2)32AAAAAAIAAI432323(2)243AAAAAAIAAI故根据数学归纳法有I)1(kkAAk所以：100100200990100990100099AAI102001第3章线性系统的可控性和可观测性184）秩判据（※）线性定常系统0()()()(0)0xtAxtButxxt完全可控的充分必要条件是1nrankBABABn其中:n为矩阵A的维数，称为系统的可控性判别阵。1nSBABAB注：秩判据是一种比较方便的判别方法。第3章线性系统的可控性和可观测性19证明：充分性：已知rankS=n，欲证系统完全可控，采用反证法。反设系统为不完全可控，则有：1110(0,),0TtAtTAtWteBBedtt为奇异，这意味着存在某个非零n维常向量α使111000(0,)TtTTAtTAttTTAtTAtWteBBedteBeBdt1,0,TAteBtt0将上式求导直到(n-1)次，再在所得结果中令t=0，则可得到:21,,,,TTTTnBABABAB0000第3章线性系统的可控性和可观测性2021,,,,TTTTnBABABAB000021TnTBABABABS0由于α≠0，所以上式意味着S为行线性相关的，即rankSn。这显然与已知rankS=n相矛盾。因而反设不成立，系统应为完全可控，充分性得证。必要性：已知系统完全可控，欲证rankS=n，采用反证法。反设rankSn，这意味着S为行线性相关，因此必存在一个非零n维常向量α使成立。1TTnSBABAB0第3章线性系统的可控性和可观测性211TTnSBABAB0;0,1,,1TiABin0（由凯莱—哈密尔顿定理）0,0,1,2,TiABi10t1(1)0;0,;0,1,2,!iiiAtBttii第3章线性系统的可控性和可观测性22110(0,)TtTAtTAtTeBBedtWt因为已知α≠0，若上式成立，则格拉姆矩阵W(0,t1)为奇异，即系统为不完全可控，和已知条件相矛盾，所以反设不成立。于是有rankS=n，必要性得证。223322331112311230,TAtTTTTeBIAtAtAtBBABtABtABttt！！！！0第3章线性系统的可控性和可观测性23例3-6：已知判断其能控性。401052xxu2n解：系统阶次，确定出可控判别阵14210SBAB2rankSn，所以系统为完全可控。第3章线性系统的可控性和可观测性24例3-7：判断下列系统的可控性11122233132210201101311xxuxxuxx解：213254112244112244S矩阵S的第二行与第三行线性相关，故rankS=2＜3，系统不可控。第3章线性系统的可控性和可观测性25补充：可控性判别矩阵（※）：npS线性定常连续系统的状态方程0()()()(0)0xtAxtButxxt其中：x为n维状态向量；u为p维输入向量；A和B分别为(n×n)和(n×p)常阵。该线性定常连续系统完全可控的充要条件是：[]npnprankSrankBABABn其中：prankBpp，注：该方法是秩判据的改进，特别适用于多输入系统，可减少不必要的计算。第3章线性系统的可控性和可观测性26例3-8：用可控性判别矩阵判别例3-7所示系统的可控性。npS11122233132210201101311xxuxxuxx解：n=3,系统输入向量是2维的列向量，即p=2。2111211prankBrankp