5系统的稳定性1

QINGDAOUNIVERSITY青岛大学机电工程学院5.1系统稳定性的初步概念5.2Routh稳定判据5.3Nyquist稳定判据5.4Bode稳定判据5.5系统的相对稳定性第五章系统的稳定性QINGDAOUNIVERSITY青岛大学机电工程学院5.1系统稳定性的初步概念QINGDAOUNIVERSITY青岛大学机电工程学院稳定性定义原来处于平衡状态的系统，在受到扰动作用后都会偏离原来的平衡状态。系统在扰动作用消失后，系统在初始状态的影响下，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零（回复平衡状态），则称该系统为稳定的。反之，若系统在初始状态的影响下，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移而发散，则称该系统不稳定。稳定性是控制系统自身的固有特性，取决于系统本身的结构和参数，与输入无关。QINGDAOUNIVERSITY青岛大学机电工程学院稳定的条件)()()(01)(txatxatxaoonon)()()(01)(txbtxbtxbiimim)()()()()()(sDsNsXsDsMsXio)()()(sDsNsXo其分母多项式为系统传递函数的特征多项式QINGDAOUNIVERSITY青岛大学机电工程学院0)(0111asasasasDnnnn其特征方程为：tAe对于特征方程的单实根-，相应输出为：当-0时，该输出分量指数单调衰减。当-0时，该输出分量指数单调递增。当-=0时，该输出分量为常数。QINGDAOUNIVERSITY青岛大学机电工程学院对于特征方程的一对单复根-+j，相应输出为：)sin()sincos(22tCBetCtBett其中，=arctgB/C。当-0时，该分量为指数衰减的振荡过程。当-0时，该分量为指数发散的振荡过程。当-=0时，该分量为等幅振荡。QINGDAOUNIVERSITY青岛大学机电工程学院)(121rrttataae对于r重实根-，相应的时域分量为：当-0时，该输出分量指数单调衰减。当-0时，该输出分量指数单调递增。当-=0时，该输出分量多项式递增。QINGDAOUNIVERSITY青岛大学机电工程学院kkkrkkkkktrrrrtcbarctgttcbettctccttbtbbe,)sin(sin)(cos)(1122121121对于一对r重复根-+j，相应的时域分量为：当-0时，该分量为指数衰减的振荡过程。当-0时，该分量为指数发散的振荡过程。当-=0时，该分量为多项式发散的振荡过程。QINGDAOUNIVERSITY青岛大学机电工程学院综上所述，不论系统特征方程的特征根为何种形式，线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s平面的左半平面。显然，稳定性与零点无关。李亚普诺夫意义下的稳定性渐进稳定性O.εηQINGDAOUNIVERSITY青岛大学机电工程学院若系统不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态，则称该系统是大范围稳定的；否则系统就是小范围稳定的。对于线性系统，小范围稳定一定意味着大范围稳定，当然此时系统必须工作在其线性范围内。QINGDAOUNIVERSITY青岛大学机电工程学院5.2Routh稳定判据系统稳定的必要条件0)())(()(210111nnnnnnpspspsaasasasasD系统的特征方程为：其中，pi(i=0,1,2,…,n)为系统的特征根。优点：无需求解特征根，直接通过特征方程的系数判别系统的稳定性。QINGDAOUNIVERSITY青岛大学机电工程学院由根与系数的关系可以求得：)()1()()()(210124213213131212211nnnnnnnnnnnnnnnpppaapppppppppaappppppaapppaaQINGDAOUNIVERSITY青岛大学机电工程学院若使全部特征根pi若均具有负实部，则特征方程的各项系数ai(i=0,1,2,…,n)均大于零，即：注意，该条件仅为系统稳定的必要条件。ai0(i=0,1,2,…,n)QINGDAOUNIVERSITY青岛大学机电工程学院系统稳定的充要条件——劳斯稳定判据其中，ai0(i=0,1,2,…,n)，即满足系统稳定的必要条件。0)(0111asasasasDnnnn考虑系统的特征方程：劳斯稳定判据的判别过程如下：QINGDAOUNIVERSITY青岛大学机电工程学院列出劳斯阵列13211nnnnnaaaaab15412nnnnnaaaaab17613nnnnnaaaaab…snanan-2an-4an-6…sn-1an-1an-3an-5an-7…sn-2b1b2b3b4…sn-3c1c2c3c4…sn-4d1d2d3d4………s2e1e2s1f1s0g1QINGDAOUNIVERSITY青岛大学机电工程学院121311bbaabcnn131512bbaabcnn141713bbaabcnn…在上述计算过程中，为了简化数学运算，可以用一个正整数去除或乘某一整行，这时并不改变系统稳定性的结论。121211ccbbcd131312ccbbcd141413ccbbcd………QINGDAOUNIVERSITY青岛大学机电工程学院用劳斯判据判别系统稳定性考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数an、an-1、b1、c1、……的符号相同，则表示系统具有正实部特征根的个数等于零，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。通常an0，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。QINGDAOUNIVERSITY青岛大学机电工程学院例题设系统的特征方程为：05001004)(23ssssD应用劳斯稳定判据判别系统的稳定性。解：劳斯阵列如下：s31100s24500s1-250s05000劳斯阵列第一列中元素符号改变了两次，表明系统具有两个正实部的极点，故系统不稳定。事实上系统包含了三个极点：0.406+j10.185、0.406-j10.185、-4.812QINGDAOUNIVERSITY青岛大学机电工程学院低阶系统的劳斯稳定判据二阶系统0)(0122asasasD劳斯阵列为：s2a2a0s1a10s0a0a00，a10，a20从而，二阶系统稳定的充要条件为：QINGDAOUNIVERSITY青岛大学机电工程学院三阶系统0)(012233asasasasD劳斯阵列为：s3a3a1s2a2a0s10s0a0)(23021aaaaa从而，三阶系统稳定的充要条件为：特征方程的各项系数大于零，且：a1a2-a0a30QINGDAOUNIVERSITY青岛大学机电工程学院例题例1：系统方框图如下，试确定开环增益K为何值时，系统稳定。s1)5)(1(ssKXi(s)Xo(s)解：系统闭环传递函数为：KsssKKsssKs56)5)(1()(23QINGDAOUNIVERSITY青岛大学机电工程学院由三阶系统的稳定条件，有：此系统为三阶系统，特征方程为：056)(23KssssD0560KK即：当0K30时系统稳定。QINGDAOUNIVERSITY青岛大学机电工程学院例2：单位反馈系统的开环传递函数为：求系统稳定时K和T的取值范围，并作出稳定区域图。)15)(1()1()(sTsssKsG解：系统闭环特征方程为：0)1()5(523KsKsTTsQINGDAOUNIVERSITY青岛大学机电工程学院05)1)(5(00TKKTKT系统稳定条件为：54500TTKT00.511.522.533.540102030405060KT稳定域QINGDAOUNIVERSITY青岛大学机电工程学院QINGDAOUNIVERSITY青岛大学机电工程学院劳斯阵列的特殊情况劳斯阵列表某一行中的第一列元素等于零，但其余各项不等于零或不全为零。处理方法：用一个很小的正数代替该行第一列的零，并据此计算出阵列中的其余各项。然后令0，按前述方法进行判别。如果零()上下两项的符号相同，则系统存在一对虚根，处于临界稳定状态；如果零()上下两项的符号不同，则表明有一个符号变化，系统不稳定。QINGDAOUNIVERSITY青岛大学机电工程学院例如：02333)(234sssssDs4132s3330110s22211s1(0)s01劳斯阵列第一列零()上下两项的符号相同，表明系统有一对虚根。系统临界稳定。事实上，系统特征根如下：－1、－2、±jQINGDAOUNIVERSITY青岛大学机电工程学院劳斯阵列表某一行全为零劳斯阵列出现全零行表明系统在s平面有对称分布的根，即存在大小相等符号相反的实根和（或）一对共轭虚根和（或）对称于虚轴的两对共轭复根；j0-aaj0-jajaj0-aa-jbjbQINGDAOUNIVERSITY青岛大学机电工程学院处理方法：利用该零行上面一行元素构成辅助多项式，取辅助多项式导数的系数代替该零行，继续计算劳斯阵列中其余各项。例如：02028124573)(234567ssssssssDQINGDAOUNIVERSITY青岛大学机电工程学院4)(4ssA34)(ssA-1、-1±j2、-1±j、1±j显然，系统不稳定。其特征根如下：s717428s6351220s516/3064/301040s45020104s30040s2(0)4s1-16/s04QINGDAOUNIVERSITY青岛大学机电工程学院用劳斯判据判断系统的相对稳定性系统相对稳定性可通过极点距虚轴的距离来表征。为了使系统具有良好的动态响应，常希望极点与虚轴具有一定的距离。为此，可将原s平面虚轴向左平移期望的最小距离a，即用s–a替换原特征方程中的s，得到新的特征方程，再利用劳斯判据即可判断系统的特征根是否位于垂线s=–a的左边。QINGDAOUNIVERSITY青岛大学机电工程学院例如：已知018189)(23KssssD若要求特征根得实部均小于-1，判断K的取值范围。解：令sz-1：0101836)(231KzzzzD要使D1(z)的特征根实部均小于0，即D(s)的特征根实部均小于－1，须：)1018(1801018KK91495KQINGDAOUNIVERSITY青岛大学机电工程学院5.3Nyquist稳定判据乃奎斯特稳定判据是用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。QINGDAOUNIVERSITY青岛大学机电工程学院F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点都可以在F(s)平面上找到一个相应的点，称为在F(s)平面的映射。sdfdfdsd同样，对于s平面上任意一条不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线，也可在F(s)平面上找到一条与之相对应的封闭曲线（为的映射）。sLfLsL[例]函数为：，则s平面上点（-1，j1），映射到F(s)平面上的点为（0，-j1）,见下图：sssF2)(sdfd)1,1(jds)1