曲线运动章末整合

v＝ωrv2rω2r2πrT2πT专题一曲线运动和运动的合成与分解1．曲线运动：(1)条件：物体所受合外力的方向与速度的方向不在同一直线上，或物体的加速度的方向与速度的方向不在同一直线上．(2)现象：物体运动的轨迹为曲线，曲线向受力的方向一侧弯曲，或合外力的方向指向轨迹的凹侧．(3)分类：①若物体所受的合外力为变力，则物体做一般的曲线运动；②若物体所受的合外力为恒力，则物体做匀变速曲线运动．(4)合外力对速度大小的影响：①合外力F与速度v之间的夹角为锐角时，速度增大；②合外力F与速度v的方向总垂直时，速度大小不变；③合外力F与速度v之间的夹角为钝角时，速度减小．2.运动合成的常见类型：(1)不在一条直线上的两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动．(2)不在一条直线上的两个分运动，一个为匀速直线运动，另一个为匀变速直线运动，其合运动一定是匀变速曲线运动．(3)不在一条直线上的两个分运动，分别做匀变速直线运动，其合运动可能是匀变速直线运动，也可能是匀变速曲线运动．(4)判断是否为直线运动的关键是确定合运动的速度和合加速度(恒定)之间的方向关系，两者如果在一条直线上则做匀变速直线运动，否则就做匀变速曲线运动．【例1】在光滑水平面上有一质量为2kg的物体，受到几个共点力的作用做匀速直线运动．现突然将与速度方向相反的2N的力水平旋转90°，则下列关于物体运动情况的叙述正确的是()A．物体做速度大小不变的曲线运动B．物体做加速度为m/s2的匀变速曲线运动C．物体做速度越来越大的曲线运动D．物体做非匀变速曲线运动，其速度越来越大2图5－1答案：BC解析：物体原来所受到的合外力为零，当将与速度方向相反的2N的力水平旋转90°后，其受力情况如图5－1所示，其中F是Fx、Fy的合力，即F＝22N，且大小、方向都不变，是恒力，那么物体的加速度为a＝Fm＝22N2kg＝2m/s2，又因为F与v的夹角θ90°，所以物体做速度越来越大、加速度恒为2m/s2的匀变速曲线运动，故B、C正确．【例2】一艘小船在100m宽的河中横渡到对岸，已知水流速度v1＝3m/s，小船在静水中的速度v2＝4m/s.问：(1)欲使船渡河时间最短，船应该怎样渡河？最短时间是多少？船经过的位移多大？(2)欲使航行距离最短，船应该怎样渡河？渡河时间多长？解：(1)欲使船渡河时间最短，船头的方向应该垂直于河岸，如图5－1－6所示．船经过的位移大小图5－1－6图5－1－7渡河最短时间tmin＝dv2＝1004s＝25ss＝vt＝v21＋v22·tmin＝32＋42×25m＝125m.(2)船渡河的最短位移即为河宽，船的合速度的方向应垂直于河岸，如图5－1－7所示．船的合速度v＝v22－v21＝42－32m/s＝7m/s船头实际航行方向与河岸夹角的余弦值为cosθ＝v1v2＝34渡河时间t＝dv＝1007s＝38s.d规律延伸当v船方向与合速度v方向垂直时，有最短渡河位移lmin。v船v水最短位移：t=vlmincosθ=v水v船v水lminlmin=cosθdBCDEAv船θθθ渡河时间：vv船【例3】如图5－2所示，在水平地面上做匀速直线运动的汽车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若汽车和被吊物体在)同一时刻的速度分别为v1和v2，则下列说法正确的是(A．物体做匀速运动，且v2＝v1B．物体做加速运动，且v2v1C．物体做加速运动，且v2v1D．物体做减速运动，且v2v1图5－2解析：汽车向左运动，这是汽车的实际运动，故为汽车的合运动．汽车的运动导致两个效果：一是滑轮到汽车之间的绳变长了；二是滑轮到汽车之间的绳与竖直方向的夹角变大了．显然汽车的运动是由沿绳方向的直线运动和垂直于绳改变绳与竖直方向的夹角的运动合成的，故应分解车的速度，如图5－3所示，沿绳方向上有速度v2＝v1sinθ.由于v1是恒量，而θ逐渐增大，所以v2逐渐增大，故被吊物体做加速运动，且v2＜v1，C正确．答案：C图5－3【触类旁通】1．(2011年上海卷)如图5－4所示，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进．此过程中绳始终与水面平行，当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为()图5－4A．vsinαB.vsinαC．vcosαD.vcosα解析：依题意，船沿着绳子的方向前进，即船的速度总是沿着绳子的，根据绳子两端连接的物体在绳子方向上的投影速度相同，可知人的速度v在绳子方向上的分量等于船速，故v船＝vcosα，C正确．答案：C2．(2011年江苏卷)如图5－5所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且OA＝OB.若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t甲、)图5－5t乙的大小关系为(A．t甲t乙B．t甲＝t乙C．t甲t乙D．无法确定答案：C图4解析：设游速为v，水速为v0，OA＝OB＝l，则t甲＝lv＋v0＋lv－v0；乙沿OB运动，乙的速度矢量图如图4所示，合速度必须沿OB方向，则t乙＝2·lv2－v20，联立解得t甲t乙，C正确．1．平抛运动的条件：(1)物体具有水平方向上的初速度．(2)仅受重力作用，即F合＝G.2．平抛运动的性质：由于做平抛运动的物体只受重力作用，由牛顿第二定律知，其加速度恒为g，是匀变速运动，又因为重力与速度不在同一直线上，物体做曲线运动，因此平抛运动是匀变速曲线运动．专题二抛体运动的特征和解题方法3．平抛运动的规律：如图5－2－2所示，物体从O点以水平初速度v0抛出，P为经过时间t后轨迹上的一点，位移为s，速度为v，α、θ分别为s、v与水平方向的夹角．图5－2－2(1)位移关系：(2)速度关系：(3)加速度：(4)轨迹方程：平抛运动的轨迹为抛物线，其轨迹方程为y＝12gt2＝12gxv02＝g2v20x2.(4)任意时间内的速度变化量为Δv＝gΔt，方向竖直向下．4．平抛运动的结论：(1)平抛运动的时间t＝2hg，只由高度决定，与初速度无关．(2)水平位移x＝v0t＝v02hg，由初速度和高度共同决定．(3)速度vt＝v2x＋v2y＝v20＋gt2＝v20＋2gh，与水平方向的夹角有tanθ＝vyv0＝2ghv0，落地速度由初速度和高度共同决定．5．斜抛运动规律(在竖直方向以向上为正方向，如图所示)：图5－2－6(1)速度：vx＝v0cosθ；vy＝v0sinθ－gt.(2)位移：x＝v0tcosθ；y＝v0tsinθ－12gt2.(3)落回同一水平面的时间：t′＝2v0sinθg，由竖直方向上的运动决定．(4)射程和射高：①射程：水平射程为x′＝vxt′＝v20sin2θg，当θ＝45°时有最大值xmax＝v20g.②射高：竖直上抛的最大高度，为y′＝v20sin2θ2g.常见的几种解题方法介绍如下：(1)利用平抛运动的时间特点解题：平抛运动可分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，只要抛出的时间相同，下落的高度和竖直分速度就相同．(2)利用平抛运动的偏转角度解题：图5－6设做平抛运动的物体，当下落高度为h时，水平位移为s，速度vA与初速度v0的夹角为θ，则由图5－6可得tanθ＝vyvx＝gtv0＝v0gtv20＝gsv20①①②两式揭示了偏转角和其他各物理量的关系，是平抛运动的一个规律，运用这个规律能巧解平抛运动的问题．将vA反向延长与s相交于O点，设A′O＝d，则有tanθ＝hd＝12gsv02d，代入①式解得d＝12stanθ＝hd，tanα＝hs＝h2d，所以tanθ＝2tanα②(3)利用平抛运动的轨迹解题：平抛运动的轨迹是一条抛物线，已知抛物线上任一段的运动情况，就可求出水平初速度，其他物理量也就迎刃而解了．设图5－7为某小球做平抛运动的一段轨迹，在轨迹上任取两点A和B，分别过A点作竖直线和过B点作水平线相交于C点，然后过BC的中点D作垂线交轨迹于E点，过E点再作水平线交AC于F点，由于小球经过AE和EB的时间相等，设为单位时间T，则有T＝Δyg＝FC－AFg，v0＝FET＝FEgFC－AF.图5－7【例1】(2011年执信中学模拟)如图5－2－3所示，在同一平台上的O点水平抛出三个物体，分别落到a、b、c三点，则三个物体运动的初速度va、vb、vc和运动的时间ta、tb、tc的关系分别是()图5－2－3A．vavbvc，tatbtcB．vavbvc，ta＝tb＝tcC．vavbvc，tatbtcD．vavbvc，tatbtc答案：C解析：根据y＝12gt2、x＝vt可知，a、b、c在同一高度时，t相同，则水平位移越大，初速度越大，因此有va＜vb＜vc；由于竖直方向做自由落体运动，因此下落高度越大，下落时间越长，所以有ta＞tb＞tc，C正确．【例2】如图5－8所示为一物体做平抛运动的x－y图象，物体从O点抛出，x、y分别表示其水平位移和竖直位移．在物体运动过程中的某一点P(a，b)，其速度的反向延长线交于x轴)图5－8的A点(A点未画出)，则OA的长度为(A．aB．0.5aC．0.3aD．不能确定答案：B图5－9解析：作出图示(如图5－9所示)，设v与竖直方向的夹角为α，根据几何关系得tanα＝v0vy①由平抛运动得水平方向有a＝v0t②竖直方向有b＝12vyt③由①②③式得tanα＝a2b在Rt△AEP中，AE＝btanα＝a2，所以OA＝a2.1．一个物体以30m/s的速度水平抛出，落地时的速度大小是50m/s，取g＝10m/s2，则()BDA．物体落地的时间为2sB．物体落地的时间为4sC．抛出点的高度为20mD．抛出点的高度为80m解析：小球落地时竖直方向的速度为vy＝v2－v20＝40m/s，则落地的时间为t＝vyg＝4s，抛出点的高度为h＝12gt2＝80m.【触类旁通】2．(2010年全国卷Ⅰ)一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图5－10中虚线所示．小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为()图5－10A．tanθB．2tanθC.1tanθD.12tanθ图5答案：D解析：如图5所示，平抛的末速度与竖直方向的夹角等于斜面倾角θ，有tanθ＝v0gt，则下落高度与水平射程之比为yx＝12gt2v0t＝gt2v0＝12tanθ，D正确．3．在同一水平直线上的两位置分别沿相同方向抛出两小球A和B，其运动轨迹如图5－2－4所示，不计空气阻力，要使)图5－2－4两球在空中相遇，则必须(A．先抛出A球B．先抛出B球C．同时抛出两球D．使两球质量相等＝—gt2可以判断两球下落的时间相同，即应同时抛出两球，C解析：由于相遇时A、B做平抛运动的竖直位移相同，由h12正确，A、B错误．物体做平抛运动的水平位移和竖直位移与质量无关，D错误．答案：C)4．关于斜抛运动，下列说法正确的是(A．斜抛运动是匀变速曲线运动AB．斜抛运动是非匀变速曲线运动C．斜抛运动是加速度逐渐增大的曲线运动D．斜抛运动是加速度逐渐减小的曲线运动解析：斜抛运动只有重力作用，故加速度恒为g，是匀变速运动，又因为斜抛运动的初速度与重力不在同一直线上，故斜抛运动是曲线运动，A正确．5．(2011年海南卷)如图5－11所示，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆，ab为沿水平方向的直径．若在a点以初速度v0沿ab方向抛出一小球，小球会击中坑壁上的c点．已知c点与水平地面的距离为坑半径的一半，求坑的半径．图5－11解：设坑的半径为r，由于小球做平抛运动，则x＝v0t①y＝0.5r＝12gt2②过c点作cd⊥ab于d点，则有Rt△acd∽Rt△cbd可得cd2＝ad·db即为(r2)2＝x(2r－x)③又因为xr，联立①②③式解得r＝47－43gv20.6．在“研究平抛运动”的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长L＝1.6cm，若小球在平抛运动途中的几个位置如图5－3－5中的a、b、c、d所示，则小球的平抛初速度的