5.23.2第1课时 解直角三角形

数学新课标（HK）九年级上册23.2解直角三角形及其应用第1课时解直角三角形基础自主学习►学习目标1知道直角三角形的边角关系，能利用它求直角三角形的边或角第1课时解直角三角形1．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，sinA＝35，则AB的长是____cm，AC的长是____cm.108第1课时解直角三角形2762．如图23－2－1，△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝34，则AC的长是____，BC的长是____．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，BC＝32，则∠B＝________，AC＝______________________(用三角函数表示)．75°32×tan75°或32tan15°第1课时解直角三角形c290°acacbcbcabba[归纳]如图23－2－2，Rt△ABC中的六个元素(三边长a，b，c，三角∠A，∠B，∠C)之间的关系：(1)三边关系：a2＋b2＝____；(2)两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝____；(3)边角之间的关系：sinA＝____，cosA＝____，tanA＝____，sinB＝____，cosB＝____，tanB＝____．第1课时解直角三角形►学习目标2知道解直角三角形的概念，能根据所给条件解直角三角形解：在Rt△ABC中，∠A＝180°－90°－60°＝30°.∵cosB＝BCc，∴c＝BCcosB＝6cos60°＝12.同理可得b＝BCtan60°＝63.4．如图23－2－3，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝6，求∠A及b，c.第1课时解直角三角形[归纳]（1）在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．具体解题类型如下表：c2－a2a2＋b290°－∠A90°－∠A第1课时解直角三角形sinA＝acabcosA＝bcsinA＝ac90°－∠A第1课时解直角三角形(2)解直角三角形，必须知道除直角外的两个________，其中至少有一个元素是________，否则直角三角形不可解．元素边例1[教材例1变式题]已知：如图23－2－4，Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝5，∠A＝36°，解这个直角三角形．重难互动探究第1课时解直角三角形探究问题一根据所给条件解直角三角形[解析]已知一边、一锐角，可先根据两锐角互余求出另一锐角，利用正弦、余弦或正切求出其余两边长．尽量利用原始数据，避免误差积累．第1课时解直角三角形解：∵∠C＝90°，∠A＝36°，∴∠B＝90°－36°＝54°.∵sinA＝ac，cosA＝bc，∴a＝csinA＝5sin36°≈2.94，b＝ccosA＝5cos36°≈4.05，即∠B＝54°，a≈2.94，b≈4.05.第1课时解直角三角形[归纳总结]1.已知斜边和一锐角，选择正弦、余弦求两直角边，利用两锐角互余求另一锐角．2．已知一锐角和一直角边，(1)当直角边为锐角的对边时，选择正切求邻边，选择正弦求斜边，进而用勾股定理求第三边；(2)当直角边为锐角的邻边时，选择正切求对边，选择余弦求斜边，进而用勾股定理求第三边．探究问题二将一般三角形转化为直角三角形求解第1课时解直角三角形[解析]过A点作AD垂直BC于D点．因为BC＝CD＋BD，可先由∠B＝60°，AD⊥BC，AB＝10，求得BD＝5，AD＝53.进而在△ADC中根据勾股定理求得CD＝11，即可求出BC的长．例2[教材例2拓展题]如图23－2－5，在△ABC中，AB＝10，AC＝14，∠B＝60°，求BC的长．第1课时解直角三角形解：如图，过A点作AD⊥BC于D点．在Rt△ABD中，AB＝10，∠B＝60°.∵cosB＝BD10，∴cos60°＝BD10，∴BD＝10×cos60°＝5，AD＝AB2－BD2＝53.在Rt△ADC中，AC＝14，∴DC＝AC2－AD2＝11，∴BC＝BD＋CD＝16.故BC的长为16.第1课时解直角三角形[归纳总结]对于非直角三角形，要利用三角函数求未知的边和角，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．课堂小结第1课时解直角三角形第1课时解直角三角形[反思]如何根据已知条件正确地选择三角函数解直角三角形？[答案]涉斜(涉及斜边)选弦(选正弦或余弦)、无“斜”(斜边)选“切”(选正切或余切)、避除(避开除法)就乘(用乘法)、能正(能用正弦或正切)不余(不用余弦)．