【名校专题攻略】2012高考专题复习第一部分 专题一 第2讲 函数的图象及其性质

本部分内容的主要考点是：函数的表示方法、分段函数、函数的定义域和值域、函数的单调性、函数的奇偶性、本部分在高考试卷中一般以选择题或填空题的形式出现，考查的重点是函数的性质和图象的应用，重在检测考生对该部分的基础知识和基本方法的掌握程度.复习该部分以基础知识为主，注意培养用函数性质和函数图象分析问题和解决问题的能力.1．(2010·全国卷Ⅱ)函数y＝1＋ln(x－1)(x＞1)的反函数是()A．y＝ex＋1－1(x＞0)B．y＝ex－1＋1(x＞0)C．y＝ex＋1－1(x∈R)D．y＝ex－1＋1(x∈R)答案：D解析：由y＝1＋ln(x－1)(x＞1)，得ey－1＝x－1，即x＝ey－1＋1，故所求反函数为y＝ex－1＋1(x∈R)．2．(2010·重庆高考)函数y＝的值域是()A．[0，＋∞)B．[0,4]C．[0,4)D．(0,4)答案：C解析：由已知得0≤16－4x＜16,0≤16－4x＜16＝4，即函数y＝16－4x的值域是[0,4)．3．(2010·四川高考)函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()A．m＝－2B．m＝2C．m＝－1D．m＝1解析：当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，对称轴为x＝1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.答案：A4．(2010·广东高考)若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则()A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数解析：由f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)可知f(x)为偶函数，由g(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－g(x)可知g(x)为奇函数．答案：B5．(2010·安徽高考)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()解析：若a＞0，b＜0，c＜0，则对称轴x＝－＞0，函数f(x)的图象与y轴的交点(0，c)在x轴下方．答案：D1．函数的单调性对于定义域内某一区间D内任意的x1，x2且x1＜x2(或Δx＝x1－x2＜0)(1)若f(x1)＜f(x2)(或Δy＝f(x1)－f(x2)＜0)恒成立⇔f(x)在D上．(2)若f(x1)＞f(x2)(或Δy＝f(x1)－f(x2)＞0)恒成立⇔f(x)在D上．单调递增单调递减2．函数的奇偶性的性质(1)函数y＝f(x)是偶函数⇔y＝f(x)的图象关于对称．函数y＝f(x)是奇函数⇔y＝f(x)的图象关于对称．(2)奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性，且在x＝0处有定义时必有f(0)＝，即f(x)的图象过．(3)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性．y轴原点相同0(0,0)相反3．函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图、用图．(2)作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．1.定义域的求法当函数是由解析式给出时，求函数的定义域，就是由函数的解析式中所有式子都有意义的自变量x组成的不等式(组)的解集；当函数是由具体问题给出时，则不仅要考虑使解析式有意义，还应考虑它的实际意义．2．求函数值域的常用方法观察法、不等式法、图象法、换元法、单调性法等．3．函数的表示法函数的表示法：解析法、图象法和列表法．当一个函数在定义域的不同区间上具有不同的对应关系时，在不同的定义域区间上的函数解析式也不同，就要用分段函数来表示．分段函数是一个函数．[例1](1)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是()A．[0,1]B．[0,1)C．[0,1)∪(1,4]D．(0,1)(2)若函数y＝f(x)的值域是[12，3]，则函数F(x)＝f(x＋1)＋1fx＋1的值域是()A．[12，3]B．[2，103]C．[52，103]D．[3，103][思路点拨](1)根据已知函数的定义域和所求函数，列出关于x的不等式求解．(2)由f(x)的值域得f(x＋1)的值域，再令t＝f(t)．转化为关于t的函数．[自主解答](1)因为f(x)的定义域为[0,2]，所以对g(x)，0≤2x≤2且x0，x≠1，故x∈(0,1)．(2)因函数y＝f(x)的值域是[12，3]，则y＝f(x＋1)的值域也是[12，3]，令t＝f(x＋1)，则F(x)的值域就是函数g(t)＝t＋1t(t∈[12，3])的值域，这个函数在[12，1]上单调递减，在[1,3]上单调递增，检验端点值得值域为[2，103]．[答案](1)D(2)B1.存在反函数的条件是对于原函数值域中的任一个y值，都有唯一的x值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立．2．求反函数的步骤：(1)反求x；(2)互换x、y；(3)注明反函数的定义域(原函数的值域)．[例2]若函数y＝f(x－1)的图象与函数y＝lnx＋1的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝()A．e2x－1B．e2xC．e2x＋1D．e2x＋2[思路点拨]先求已知函数的反函数，再转化为f(x)．[自主解答]因为y＝f(x－1)的图象与函数y＝lnx＋1的图象关于直线y＝x对称，所以y＝f(x－1)与y＝lnx＋1互为反函数．由y＝lnx＋1得x＝(ey－1)2＝e2y－2，于是f(x－1)＝e2(x－1)，从而f(x)＝e2x.[答案]B1.解决该类问题要熟练掌握基本初等函数的图象和性质，善于利用函数的性质来作图，要合理利用图象的三种变换．2.在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系、结合图象研究．[例3]已知f(x)＝x＋1，x∈[－1，0x2＋1，x∈[0，1]，则下列函数的图象错误的是()[思路点拨]首先作出f(x)的图象，再利用函数的图象变换进行验证．[自主解答]先作出f(x)的图象如右图．A对．f(x－1)的图象由f(x)图象向右平移一个单位而得，故A符合要求．B对．f(－x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，故B符合要求．C对．f(|x|)的图象，在x≥0时与f(x)的图象重合．又因为f(|x|)是偶函数，则f(|x|)图象关于y轴对称，故C符合要求．D错．依题意|f(x)|与f(x)的图象应重合，显然D不符合要求．[答案]D(1)函数的奇偶性：紧扣函数奇偶性的定义和函数的定义域区间关于坐标原点对称、函数图象的对称性等对问题进行分析转化，特别注意“奇函数若在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0，偶函数一定有f(|x|)＝f(x)”在解题中的应用．(2)函数的单调性：一是紧扣定义；二是充分利用函数的奇偶性、函数的周期性和函数图象的直观性进行分析转化．函数的单调性往往与不等式的解、方程的解等问题交汇，要注意这些知识的综合运用．[例4](1)(2010·安徽高考)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝()A．－1B．1C．－2D．2(2)动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是(12，32)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是()A．[0,1]B．[1,7]C．[7,12]D．[0,1]和[7,12][思路点拨](1)题利用函数的周期性找f(3)、f(4)与f(1)、f(2)的关系，(2)题借助数形结合求解．[自主解答](1)由于函数f(x)的周期为5，所以f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)，又f(x)为R上的奇函数，∴f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝－2＋1＝－1.∴f(3)－f(4)＝－1(2)由已知可得该函数的最小正周期为T＝12，则ω＝2πT＝π6，又当t＝0时，A的坐标为(12，32)，∴此函数为y＝sin(π6t＋π3)，t∈[0,12]，可解得此函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．[答案](1)A(2)D(1)对函数性质理解不透彻，不能有效地利用函数的周期性与奇偶性准确实现函数值的f(3)，f(4)到f(2)，f(1)的过渡，这是失误的主要原因．(2)不能将实际问题抽象成函数问题，是(2)题的一个思维障碍点，也是易误点．例4(2)题的条件不变，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的周期为________．f(2)的值为________．答案：1232排除法将每个选择肢的结论同题干条件相验证，将得出矛盾或不成立的选择肢排除掉的方法称为排除法，在用排除法时，如果不能将不符合要求的选项全部排除掉，可以进一步借直接法求解．[例5](2010·山东高考)函数y＝2x－x2的图象大致是()[解析]画出函数y＝2x，y＝x2的图象可知两个函数图象有三个交点，所以函数y＝2x－x2的图象与x轴有三个交点，故排除B、C；当x→－∞时2x－x20，排除D.[答案]A[解法心得]这种选择函数图象的题目往往是很难直接作出函数的图象，因此，只能借助于函数的性质，与x轴，y轴的交点情况用排除法求解．(2010·江西高考)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S′(t)的图象大致为()答案：A解析：由导数的定义知，S′(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率．如图，正五角星薄片中首先露出水面的区域Ⅰ，此时其面积S(t)在逐渐增大，且增长速度越来越快，故其瞬时变化率S′(t)也应逐渐增大；当露出的是区域Ⅱ时，此时的S(t)应突然增大，然后增长速度减慢，但仍为增函数，故其瞬时变化率S′(t)也随之突然变大，再逐渐变小，但S′(t)0(故可排除B)；当五角星薄片全部露出水面后，S(t)的值不再变化，故其导数值S′(t)最终应等于0，符合上述特征的只有选项A.点击此图片进入“专题训练”