数学一模汇编：几何综合题教师版

12012年北京市中考数学一模分类汇编——几何综合等边三角形、等腰三角形+旋转变换1.（燕山）已知：如图，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边向线段AB的同侧作正△APC和正△BPD，AD和BC交于点M.（1）当△APC和△BPD面积之和最小时，直接写出AP:PB的值和∠AMC的度数；（2）将点P在线段AB上随意固定，再把△BPD按顺时针方向绕点P旋转一个角度α，当α60°时，旋转过程中，∠AMC的度数是否发生变化？证明你的结论.（3）在第（2）小题给出的旋转过程中，若限定60°α120°，∠AMC的大小是否会发生变化？若变化，请写出∠AMC的度数变化范围；若不变化，请写出∠AMC的度数.8.⑴1，60°………………………2分⑵不变化.证明：如图，点E在AP的延长线上，∠BPE=α60°.（只要画出了符合题意的图形即可得分）………3分∵∠BPC=∠CPD+60°,∠DPA=∠CPD+60°,∴∠BPC=∠DPA.在△BPC和△DPA中，又∵BP=DP，PC=PA，∴△BPC≌△DPA.…………4分∴∠BCP=∠DAP.∴∠AMC=180°-∠MCP-∠PCA-∠MAC=120°-∠BCP-∠MAC=120°-（∠DAP+∠MAC）-∠PCA=120°-∠PAC=60°，且与α的大小无关.……………………6分⑶不变化，60°…………………………7分2.（东城）已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连结QE并延长交BP于点F.（1）如图1，若AB=32，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写出结果）；（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；CMDAPBCAPDBME2（3）若AB=32，设BP=x，以QF为边的等边三角形的面积y，求y关于x的函数关系式．24.（本小题满分7分）解：（1）EF=2．……………1分（2）EF=BF．……………2分证明：∵∠BAP=∠BAE-∠EAP=60°-∠EAP，∠EAQ=∠QAP-∠EAP=60°-∠EAP，∴∠BAP=∠EAQ．在△ABP和△AEQ中，AB=AE，∠BAP=∠EAQ，AP=AQ，∴△ABP≌△AEQ．∴∠AEQ=∠ABP=90°．∴∠BEF180180906030AEQAEB．又∵∠EBF=90°-60°=30°，∴EF=BF．……4分(3)在图1中，过点F作FD⊥BE于点D．∵△ABE是等边三角形,∴BE=AB=32．由（2）得EBF30°，在Rt△BDF中，3BD．∴BF=2cos30BG．∴EF=2．∵△ABP≌△AEQ,∴QE=BP=x．∴QF=QE＋EF2x．∴以QF为边的等边三角形的面积y=2233(2)3344xxx3．（顺义）问题：如图1，在Rt△ABC中，90C，30ABC，点D是射线CB上任意一点，△ADE是等边三角形，且点D在ACB的内部，连接BE．探究线段BE与DE之间的数量关系．请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.图1DEBCA3（1）当点D与点C重合时（如图2），请你补全图形．由BAC的度数为，点E落在，容易得出BE与DE之间的数量关系为；（2）当点D在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE与DE之间的数量关系是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．DBCAABC(D)图3图2解：（1）完成画图如图2，由BAC的度数为60°，点E落在AB的中点处，容易得出BE与DE之间的数量关系为BE=DE；……………3分（2）完成画图如图3．猜想：BEDE．证明：取AB的中点F，连结EF．∵90ACB，30ABC，∴160，12CFAFAB．∴△ACF是等边三角形．∴ACAF．①……4分∵△ADE是等边三角形，∴260，ADAE．②∴12．∴12BADBAD．即CADFAE．③……………………5分由①②③得△ACD≌△AFE（SAS）．…………6分∴90ACDAFE．∵F是AB的中点，∴EF是AB的垂直平分线．∴BE=AE.…………………………7分∵△ADE是等边三角形，∴DE=AE.∴BEDE．……………8分4.（延庆）如图1，已知：已知：等边△ABC，点D是边BC上一点（点D不与点B、点C重合），求证：BD+DCAD下面的证法供你参考：把ACD绕点A瞬时间针旋转60得到ABE，连接ED，则有ABEACD,DC=EB∵AD=AE,60DAE∴ADE是等边三角形∴AD=DE在DBE中，BD+EBDE即：BD+DCADCABD图121FEDBCA图34ECABDAED是等腰三角形由全等可得：CAD=BAEEAD=α过A作AFDE于F点则EAF=α2,DF=12DE=12BE+BD()在RtAFD中，DF=AD•sinα2即：12BE+BD()=AD•sinα2实践探索：（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：如图2，点D是等腰直角三角形△ABC边上的点（点D不与B、C重合），求证：BD+DC2AD（2）如果点D运动到等腰直角三角形△ABC外或内时，BD、DC和AD之间又存在怎样的数量关系？直接写出结论.（1）证明：把ACD绕点A瞬时针旋转90得到ABE，连接ED，---1分则有ABEACD,DC=EB∵AD=AE,90DAE∴ADE是等腰直角三角形∴DE=2AD------------------2分在DBE中，BD+EBDE即：BD+DC2AD-------------------3分（2）BD+DC≥2AD---------4分（3）猜想1：BD+DC〈2AD证明：把ACD绕点A顺时针旋转，得到ABE则有ABEACD,DC=EB，∠ACD=∠ABE---------5分∵∠BAC+∠BDC=180º∴∠ABD+∠ACD=180º∴∠ABD+∠ABE=180º即：E、B、D三点共线---------6分∵AD=AE,在ADE中∵AE+ADDE即BD+DC〈2AD---------------------7分或者猜想2：--------7分CABD图2CDAB图3EBACD5间接利用旋转变换添加辅助线5．（密云）已知：正方形ABCD中，45MAN，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．（1）如图1，当MAN绕点A旋转到BMDN时，有BMDNMN．当MAN绕点A旋转到BMDN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BMDN，和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．解：（1）答：（1）中的结论仍然成立，即BMDNMN．证明：如图2，在MB的延长线上截取BE=DN，连结AE．易证ABEADN△≌△（SAS）．∴AE=AN；∠EAB=∠NAD．90,45,45.45.BADNAMBAMNADEABBAM∴EAMNAM．又AM为公共边，∴AEMANM△≌△．MEMN．MNMEBEBMDNBM即DNBMMN．------------------4分（2）猜想：线段BMDN，和MN之间的等量关系为：DNBMMN．证明：如图3，在DN延长线上截取DE=MB，连结AE．6图1图2FODBFODBACACEE易证ABMADE△≌△（SAS）．∴AM=AE；∠MAB=∠EAD．易证AMNAEN△≌△（SAS）．MNEN．∵DNDEEN，∴DNBMMN．--------------7分6．（平谷）如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线ACBD相交于O.（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF=90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF=45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明.(1)222AEAFEF……….…...1分(2)线段AE、BF和EF之间的数量关系：222EFBFAE.………….…...2分证明：过O作OH⊥OF，交AD于点H，连结HE.….…..3分∵∠1=45°，∠AOB90=，∴∠2+∠3=∠2+∠4=45°.∴∠3=∠4.由正方形性质可知，OA=OB，∠5=∠6=45°.∴△AOH≌△BOF.............................4分∴BF=AH，OF=OH.………………5分在△EOH和△EOF中,45,,OEOEEOHEOFHOFO∴△EOH≌△EOF.∴EF=EH……………………………………6分在Rt△AEH中，∵222AEAHEH∴222EFBFAE.………………………7分7．（怀柔）探究：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=21∠BAD”，则（1）问中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由；（3）在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上654321HEOACDBF7（图3）（图2）时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..24．探究：（1）通过观察可知，EF=BE＋DF.………………………1分（2）结论EF=BE＋DF仍然成立（如图2）.…………2分证明:将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到'ABF，∴△ADF≌'ABF，∴∠1=∠2，A'F=AF，'BF=DF.∠'ABF=∠D又∵∠EAF=21∠BAD，即∠4=∠2+∠3.∴∠4=∠1+∠3.又∵∠ABC＋∠D＝180°，∴∠A'BF＋∠ABE=180°，即：'F、B、E共线.在△AEF与△AEF1中，AF=A'F，∠4=∠1+∠3，AE=AE∴△AEF≌△AE'F中，………………………………………3分∴EF=E'F，又E'F=BE＋B'F,即：EF=BE＋DF.…………………………………………4分（3）发生变化.EF、BE、DF之间的关系是EF=BE－DF.……………………5分证明：将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，点F落在BC上点'F处，得到△AB'F，如图3所示.∴△ADF≌△AB'F，∴∠BA'F=∠DAF，A'F=AF，B'F=DF.又∵∠EAF=21∠BAD，且∠BA'F=∠DAF∴∠'FAE=∠FAE.8在△'FAE与△FAE中AF=A'F，∠'FAE=∠FAE,AE=AE,∴△'FAE≌△FAE.…………………………………6分∴EF=E'F，又∵BE=B'F＋E'F，∴E'F=BE－B'F.即EF=BE－DF.…………………………………………7分与中点有关的问题8．（丰台）已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM．（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是；（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．解：（1）BM=DM且BM⊥DM．………2分（2）成立．……………3分理由如下：延长DM至点F，使MF=MD，联结CF、