类比思想与抽象函数解法

类比思想与抽象函数解法导言：当你站在几十层的高楼下，仰视它时，你会感到它的高大，当你站在高于建筑物几倍高的地方俯视它时，它就会显得矮小。站在数学思想方法的高度来研究数学，俯视数学问题，一个个数学难题将会变得容易了。初、高中阶段主要学习研究了一次（含正比例）函数、二次函数、简单的高次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数的以上函数复合而成的复合函数等。它们的“法则”与“形式”都是具体的，而在解题的过程中会遇到一些函数，它的对应法则或形式不是具体的，即所谓的抽象函数，对这一类函数教材中并没有明确的定义，没有作多的研究，但考试中频频出现。对于具体函数学习与研究同学们已深感其“抽象”和难于理解，这些抽象函数问题当然就更加“抽象”和难于理解，因此，解决抽象函数问题就成为高中阶段的一个难点。但我们通过研究，会发现题目中的抽象函数满足的运算律往往与我们学过的具体的某一个（或某一类）函数运算律相类似，或者说某一个（或某一类）具体函数是该抽象函数的一个特例。在研究解决数学问题中我们也经常强调要坚持“抽象问题具体化”的原则，以及类比的思想方法。这一原则与思想方法指引我们利用类比思想，通过研究与题目中抽象函数相类似的具体函数，解决抽象函数问题，使抽象函数问题的解决就变得比较容易了。下面我们通过一些例子体验类比思想解决抽象函数问题中的奥妙，体会数学思想方法的强大威力。一、常见抽象函数模型：1、满足)()()(yfxfyxf函数模型：正比例函数)0(,kkxy2、满足xyyfxfyxf)()()(函数模型：二次函数bxaxy23、满足)()()(yfxfxyf（或)()()(yfxfyxf）函数模型：对数函数xyalog4、满足)()()(yfxfyxf函数模型：指数函数xay5、满足)()(xfxf，)()(xfxf函数模型：正弦函数xysin二、例题解析：1、若函数)(xf满足)()()(yfxfyxf),(Ryx则下列各式中不恒成立的是（）A0)0(f；B)1(3)3(ff；C)1(21)21(ff；D0)()(xfxf。解：利用xxf)(进行判断，2)()()(xxxxfxf0x时0)()(xfxf不成立。故0)()(xfxf不恒成立，选D2、若函数)(xf满足对任意实数yx,恒有)()()(yfxfyxf，求证：)(xf为奇函数（正比例函数模型）。3、定义在R上的函数)(xfy具有下述性质①对于Rx均有)()(33xfxf还可考虑xy符合题中条件①、②，有0)0(f1)1(f1)1(f0)1()1()0(fff。②对Rxx21,21xx都有)()(21xfxf则：)1()1()0(fff的值是（）A0；B1；C－1；D不能确定。解：01)0()0()0()0()0(233fffff1,1,0)0(f同理，在)()(33xfxf中令1,1x可得1,1,0)1(f1,1,0)1(f考虑到条件②)0()1()1(fff则0)1()1()0(fff4、设)(xfy是定义在R上的函数且对于Rba,都有：abbaff)]([则______|)1999(|f，______)1994(2f。解；观察abbaff)]([，易联想到xxf)(易知1999|)1999(|f1994)1994(2f（从复合函数角度出发，设)(baft则)(bfta∴tbbftfbbfttf)()()()(令tb则22)(ttf∴ttf)(（即xxf)(或xxf)(）。5、Rxxf)((满足)()()(yfxfyxf，若4)16(f，则______)2003(f解：易见kxxf)(满足题设条件)()()(yfxfyxf，又4)16(f∴xxfkk41)(41416∴42003)2003(f（或)()()()()()(fxkfxfxfxfxxxfkxfkk个个∴)1(2003)2003(ff而41)1(4)1(16)16(fff，∴42003412003)2003(f或令0yx则)0()0(ff∴0)0(f令xy则0)()()0(xfxff∴)(xf为奇函数。令xy2则)(2)2(xfxf∴)16(2)2(2)2(2)22()2(42211xfxfxfxfxfnnnnn当1x时nnnff241)16(2)2(4即013511222222003∴42003)2()2()2()2()2()2003(013511ffffff注：与)()(xkfkxf及)(2)2()16(2)2(1xfxfxfxfnnnn即类似的还有：)(1)1(xfkxkf)1()1()(xkkfxkkfxf)()(xfmnxmnf)(1)1()1()(xfmnxmnfxmnfxmnf6、函数)(xf对任意实数yx,都满足)(2)()(22yfxfyxf且0)1(f则______)1998(f解：令0yx得0)0()0(2)0()0(2ffff设kxxf)()()(22yxkyxf)2(2)(2)(2222kyxkykkxyfxf显然21k时xxf21)(符合)(2)()(22yfxfyxf∴999)1998(f7．))(12(Rxxfy是奇函数)(xgy与)(xfy关于xy对称，则________)()(xgxg。A2；B0；C1；D-1。解：设xxf)12(（xy为简单奇函数）则2121)(xxf12)(xxg，12)(xxg2)()(xgxg8．已知)(xf的定义域为R，当0x时1)(xf对于Rba,恒有)()()(bfafbaf（1）求证：1)0(f；（2）求证：)(xf在R上为增函数；（3）若2)1(f},,2)2(|),{(2ZnmmmnfnmA},,16)(|),{(ZnmmnfnmB求BA。解：（1），（2）解略。（3）由关系式)()()(bfafbaf自然联想到xaxf)(由2)1(f可推出2a即xxf2)(令2122xx即2)21(f同理16)4(f虽然以上分析不能做为解题过程，但为解决问题指明方向，即证)21(2f)4(16f由函数式)()()(bfafbaf得2)21()21()21()2121()1(2fffff∵0x时1)(xf∴2)21(f16)1()2()22()4(42ffff则2122mmnA①4mnB②求BA即求①，②组成的不等式组的解由①，②得07622mm又Zm解得0m，1，2，3即40nm51nm62nm73nm∴)}7,3(),6,2(),5,1(),4,0{(BA。9．设))((Rxxf为奇函数21)1(f)2()()2(fxfxf则______)5(f。A0；B1；C25；D5。解一、)2()()2(fxfxf显然是)()()(yfxfyxf当2y时的特殊形式，∴kxxf)(又∵21)1(f∴21k故25)5(f选C解二、令1x，则有)2()1()21(fff即)2()1()1(fff∴1)2(f25)2()2()1()2()3()23()5(ffffffff10．已知))((Rxxf满足：对于实数nm,都有)()(1)(nfmfnmf且0)21(f当21x时0)(xf（1）证明数列)}({nf为等差数列并求*))(()2()1(Nnnfff（2）判断)(xf在),(上的单调性并说明理由。分析：)()(1)(nfmfnmf是，由)()()(nfmfnmf变形而来，可猜想题中所给的函数模型为一次函数令1)0(0fnm∴图象过)0,21)(1,0(两点，其斜率为2211k∴直线方程为12xy1)(2)(nmnmf2)(2)()(nmnfmf12)(xxf显然满足21x时0)(xf且为减函数。证明)}({nff为等差数列，即证danfn)1(（为常数）。解：（1）证明：令1m则1)1()()1(fnfnf令21nm则1)1(0)21(21)1(fff∴)}({2)()1(nfnfnf为等差数列。（2）设Rxx21]21)[(1)21()(1)()(1)()()(])[()()(1212121112111212xxffxxfxxfxfxfxxfxfxxxfxfxf∵2121)(12xx∴0]21)[(12xxf∴0)()(12xfxf∴)()(21xfxf故)(xf在R上为减函数。11．已知定义域为)1,0[的函数)(xf同时满足（1）对于]1,0[x总有0)(xf；（2）1)1(f（3）若1,0,02121xxxx则有)()()(2121xfxfxxf①试求)0(f②判断)(xf的增减性并求)(xf的最大值。解①∵]1,0[x总有0)(xf令021xx则由)()()(2121xfxfxxf得0)0(f∴0)0(f②设1021xx∴1012xx)()()]()([)(])[()()(121112111212xxfxfxfxxfxfxxxfxfxf又]1,0[x总有0)(xf∴)()()(12xfxfxf在[0，1]上为增函数。12．))((Rxxf满足)()()(2121xfxfxxf其中Rxx21,（1）判断)(xf的奇偶性并加以证明。（2）若0x时，0)(xf判断)(xf的单调性并加以证明。（3）在（2）的基础上追加条件1)2(f试问)(xf在[-6，6]上是否存在最大值和最小值，若存在求之，不存在说明理由。13、设函数)(xfy的定义域为R，且对任意正数yx,都有：)()()(yfxfxyf，3)8(f，则)2(f的值等于（21）解：对数函数，不论从运算律（法则）还是定义域角度都显然满足)()()(yfxfxyf的要求，可以说对数函数是本题中抽象函数的一个特例，故可设xxfalog)(3)8(f∴238logaa即xxf2log)(∴21)2(f14、若函数)(xf对任意正数yx,恒有)()()(yfxfxyf，则下列错误的是（C）A0)1(f；B)(2)(2xfxf；C1)(xf)0(x；D)(21)(xfxf)0(x。15、设函数)(xfyRx(且)0x对任意实数（非零）21,xx，满足)()()(2121xfxfxxf，求证)(xf是偶函数。分析：条件)()()(2121xfxfxxf与对数函数的运算法规律完全相同，这一性质的类比使我们联想到对数函数xyalog，但题中的函数的定义域与它不符，因此，要对xaylog进行适当的变换，以适合题中的函数的定义域，考虑到结论，自然要联想到函数||logxya，该函数完全符合条件中的任何要求。具体证明如下：令121xx则有)1()1()1(fff∴0)1(f令121xx则有)1()1()1(fff∴0)1(f即)()1()(xffxf∴)()(xfxf16．已知)(xf的定义域是),0(，当1x时0)(xf且)()()(yfx