极限(专升本)

极限的概念与性质一、数列的极限1.数列的概念;,2,,8,4,2;,1nn,,43,32,21;,31,,31,31,31nn3212nnn,,,,u.u()(n1,2,3,)unuuufn数列是按照一定次序排列的一列数简记为数列也可以看作是定义在正整数集合上的函数称为数列的通项或一般项。2、数列的极限（limit）;,2,,8,4,2;,1nn,,43,32,21;,31,,31,31,31nn32nnnn1n0,1,23n1limlimlimn不存在nnnnnnu,uA,A,limuA,uA(n).unnAu定义对于数列如果当无限增大时，通项无限接近于一个常数则称该数列以为极限，或称数列收敛于记作或否则，称数列发散。二、函数的极限将自变量变化过程用下列方式表示：000000000；时”的左侧无限接近于从表示“当；时”的右侧无限接近于从表示“当；时”的左右两侧无限接近于从表示“当；无限减少时”表示“当；无限增大时”表示“当；无限增大时”表示“当xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx1、当x→∞时，函数f(x)的极限yx0xy101)()()(x)(AA)(xlimlimxxxAxfAxfxfxfx例如，，或时的极限，记作当为函数，则称无限趋近于某一常数的值无限增大时，函数如果当定义2、当x→+∞时，函数f(x)的极限yx0xey0)((,)()(A,)(0limlimxxxexAxfAxfxxfAxfxx例如，或时的极限，记作当为函数则称的常数值无限趋近于某一确定的无限增大时，函数当，如果定义3、当x→-∞时，函数f(x)的极限y=arctanxπ/2-π/2yx02-arctanx)()()(-)(AA)(0limlimπ例如，，或时的极限，记作当为函数，则称定的常数的值无限趋近于某一确无限减少时，函数当，如果定义xxxAxfAxfxxfxfxx-+()Alimlimlimxxxfxfxfx定理的充要条件是　＝＝Ａ4、当x→x。时，函数f(x)的极限.0,且是两个实数与设a).,a(U记作,叫做这邻域的中心点a.叫做这邻域的半径.}axax{),a(Uxaaa,邻域的去心的点a.}ax0x{),a(U,}{邻域的称为点数集aaxx邻域:观察函数：定义设函数f(x)在x。的某一去心邻域N(,0x)内有定义，当x无限接近于x。时，函数f（x）无限地接近于某常数A，则称A为函数f(x)当x→x。时的极限，记作)()(,)(0lim0xxAxfAxfxx或注:(a)定义中x→x。表示x以任意方式趋近于x。；（b）当x→x。时,f(x)的变化趋势与f(x)在点x。处有无定义无关。例题：考察并写出下列极限为常数）C(lim0Cxx)1(lim1xx1121limxxx（a）（b）（c）解：（a）设f(x)=C∵x→x。时，f(x)的值（f(x)≡C）CCxfxxlimlim00xx)(21)(xlim1x21)1)(1(11limlim1x21xxxxxx∴(b)（C）21()2111()xxfxxxxfx例题：已知判断当时，的极限时，、当时，、当xx6xx5-00函数f（x）的极限00000000000xx,x)f(x)x,x)xxxf(x)A,AfxfxA,fx(xx)f(xlimxxxA右半邻域（定义设函数在的某一左半邻域（右内有定义，当从侧无限接近于时，函数左右无限地接近于某常数则称为函数（）在处左极限，记作或或000xx0)Af(x)A,f(x)A(x)f(x0)limxA或或000()Alimlimlimxxxxxxfxfxfx＋定理的充要条件是　＝＝Ａ三、单侧极限3)(lim3)(lim)(lim3)2(lim)(lim3)12(lim)(lim)(111122)(1111111xfxfxfxxfxxfxfxxxxxxfxxxxxxx于是解：的极限时，判断当已知例题：)(不存在，左右极限存在但不相等：解的极限时当判断函数例题：)(lim1)1(lim)(lim1)1(lim)(lim0000101)(00000xfxxfxxfxfxxxxxxxfxxxxx1.无穷小定义以零为极限的变量称为无穷小量，简称无穷小，一般用α，β，γ，或α（x）,β（x）,γ（x）等表示无穷小。例如，的无穷小。是则时的无穷小。是则263,06)(31,01limlim2xxxxxxxx四、无穷小与无穷大注：（1）无穷小不是一个很小很小的数；（2）0是唯一可以作为无穷小的数；（3）无穷小是相对于自变量的变化过程的，如1/x是x→∞时的无穷小，但1/x不是x→2的无穷小。2、无穷小的性质性质1有限个无穷小的代数和仍是无穷小；性质2有限个无穷小的积仍是无穷小；性质3有界变量与无穷小的积仍是无穷小。注：（1）、无限个无穷小之和不一定是无穷小。（2）无穷小的商不一定是无穷小。222n2nn12n()nn(1)112=22limlimlimnnnnnn如：.,,,2220200202212,0limlimlimxxxxxxxxxxxxx都是无穷小，但时，如：0sin131sin01:sin1limlimlim,,xxxxxxxxx可知，的性质根据无穷小又解求例题：3、极限与无穷小之间的关系时的无穷小。是α其中α的充要条件是定理)()(A)(A)(0lim0xxxxxfxfxx注：定理中自变量的变化过程换成其他如何一种情形后仍然成立。4、无穷大定义当x→x。时，（自变量x的变化过程可以是其他情形），如果∣f(x)∣无限增大，则称f(x)为这一变化过程中的无穷大量，简称无穷大，记作)()()(0lim0xxxfxfxx或注：（1）、无穷大不是一个很大很大的数；（2）、无穷大是相对于自变量的变化过程的；（3）、“极限为∞”说明这个极限不存在，但极限不存在不一定是“极限为∞”时的无穷大。不是不存在，但而在。时的无穷大，极限不存是即，例如，sinsin011limlim0xxxxxxxx)(1xf)(1xf5、无穷小与无穷大的关系在自变量的同一变化过程中，若f(x)为无穷大，则为无穷小；为无穷大。反之，若f（x）为无穷小，且f(x)≠0,则即：同一变化过程中，二者互为倒量6、无穷小的比较00()()()0()0limlimxxxxxxxx定义设，都是无穷小，即，1.如果00limxx，则称β是比α高阶无穷小记作β=o(α)；2.如果0,limxx则称β是比α低阶无穷小（或α是比β高阶无穷小）；3.如果00,limxxC则称β与α是同阶无穷小。特别地，当C=1时，即则称β与α是等价无穷小，记作β~α。01,limxx000000000xxxxxxxxxxxxxxxx()A,()B,1[()g()]()()AB;(2)[()()]()limlimlimlimlimlimlimlimxxfxgxfxxfxgxfxgxfx下面以为例，其他情形也有同样的结论。定理若则（）000xxxxxx()AB()()A(B0)()()Blimlimlimgxfxfxgxgx；注：上述法则也适合数列极限的情形。五、极限的四则运算法则例求)12(22lim-3xxx222222(231)2318611limlimlimlimxxxxxxxx)()(0xPxPxxlim0解：注：设p(x)为多项式，则例求35-123xxxxlim23322222322222232(1)153(53)15321721033limlimlimlimlimlimlimlimxxxxxxxxxxxxxxxxx解：注：p(x)、q(x)都是多项式，则)()()()(00lim0xqxpxqxPxx9323limxxx2333393(3)(3)1136limlimlimxxxxxxxxx解：”“00例求注：型未定式，约去零因子212354limxxxx例求21540limxxx解：，1,32xxlim1032452xxxxlim1所以4532lim1xxxx2注：分子不是无穷小，而分母是无穷小，先求其倒数的极限，再利用无穷小与无穷大的关系求之。3232342(753limxxxxx例求型）32323334275342335377limlimxxxxxxxxxx解：注：”“型未定式将分子分母同除以分母的最高幂，再求解。101101000limnnnmmxmaxaxabxbxbabmnmnmn一般地，，当时。，当时。，当时。31221212131()113(1)(1)(1)(1)(2)(1)(1)(2)1(1)limlimlimlimxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：3131()11limxxx例求注：一般地，先通分，再求解。“∞-∞”型011limxxx例求0000111111111111211limlimlimlimxxxxxxxxxxxxxx解：（）（）（）（）（）sinlimxxx例求10sin1(sin03limlimxxxxxx解：而有界函数）性质有界变量与无穷小的积仍是无穷小六、两个重要极限0sin1.1(0sinlimxxxxxx）010注：（）该极限是“”型未定时；()0sin()21()lim（）该极限可表示为1)(sin)(3lim0)(）（0sin52limxxx例000sin55sin52255sin55252limlimlimxxxxxxxxx解：0sin3sin7limxxx例0000sin3sin737sin373sin7sin3333sin7777limlimlimlimxxxxxxxxxxxxxx解：0tanlimxxx例0000tansin1cossin11coslimlimlimlimxxxxxxxxxxxx解：0tanxxx1sinlimxxx例11101limsinsinlim1xxxxxx解：201coslimxxx例22200202sin1cos2sin112222limlimlimxxxxxxxxx解：2(01cos)2xxx20sin,tan,1cos2xxxxxxx小结：当时，有利用等价无穷小代换求极限，将给解题带来极大地方便。0220tanlim1coslim22xxxxxxx例3030302301sinsin22lim1sin2sincos2limsin(1cos)lim12lim2xxxxxxxxxxxxxxxxx例exxx.112lim