求数列通项公式的常用方法

求数列的通项公式一.累加法•数列的递推公式形如𝑎𝑛+1=𝑎𝑛+𝑓(𝑛)，可利用累加法.例1.已知数列𝑎𝑛满足𝑎1=2,𝑎𝑛=𝑎𝑛−1+𝑛(𝑛≥2),则𝑎𝑛=。变式：已知数列𝑎𝑛满足𝑎1=1,𝑎𝑛=𝑎𝑛−1+1𝑛𝑛+1(𝑛≥2),则𝑎𝑛=。二.累乘法•数列的递推公式形如𝑎𝑛+1=𝑎𝑛∙𝑓(𝑛)可用累乘法.例2.已知数列𝑎𝑛中，𝑎1=1,𝑎𝑛+1=2𝑛𝑎𝑛(𝑛∈𝑁∗),则𝑎𝑛=。变式：已知数列𝑎𝑛中，𝑎𝑛+1=𝑛𝑛+2𝑎𝑛,且𝑎1=2，则数列𝑎𝑛的通项公式𝑎𝑛=。三.构造法•1.构造等比，数列的递推公式形如𝑎𝑛+1=𝑘𝑎𝑛+𝜆(其中𝑘、𝜆均为常数)，构造成等比数列：𝑎𝑛+1+𝑥=𝑘𝑎𝑛+𝑥.例3.已知a1=1,an+1=2an+1，求数列{an}的通项公式𝑎𝑛变式：已知数列{an}满足𝑎𝑛+1=2𝑎𝑛−𝑛+1(𝑛∈𝑁∗),𝑎1=3,则数列{an}的通项公式为。•2.构造等比或等差数列，数列的递推公式形如𝑎𝑛+1=𝑘𝑎𝑛+𝑝𝑛(其中k,p均为常数)，可等式两边同除𝑝𝑛+1,构造成熟悉的数列.例4.已知数列𝑎𝑛满足𝑎𝑛+1=2𝑎𝑛+3×5𝑛,𝑎1=2,求数列的通项公式𝑎𝑛.•3.倒数法，递推公式形如𝑎𝑛+1=𝑘𝑎𝑛𝑝𝑎𝑛+𝑞(其中𝑘、𝑝、𝑞为常数)，两边可同时取倒数得1𝑎𝑛+1=𝑞𝑘∙1𝑎𝑛+𝑝𝑘.例5.已知数列𝑎𝑛满足，𝑎1=1,且𝑎𝑛+1=𝑎𝑛2𝑎𝑛+1,则通项公式𝑎𝑛=.变式：已知数列𝑎𝑛满足，𝑎1=1,且𝑎𝑛+1=𝑎𝑛𝑎𝑛+3,则通项公式𝑎𝑛=.四.用n项和做差法•若已知关于数列的前n项和𝑆n，则𝑎𝑛=𝑆1,𝑛=1𝑆𝑛−𝑆𝑛−1,𝑛≥2.例5.设各项均为正数的数列𝑎𝑛的前n项和为𝑆n，且𝑆n满足2𝑆𝑛2−3𝑛2−𝑛−4𝑆𝑛−23𝑛2−𝑛=0,则数列的通项公式𝑎𝑛=.变式：若数列𝑎𝑛的前n项和为𝑆n满足𝑆𝑛=23𝑎𝑛+13,则数列的通项公式𝑎𝑛=.•例6.数列𝑎𝑛满足𝑎1+3𝑎2+⋯+2𝑛−1𝑎𝑛=2𝑛,求数列𝑎𝑛的通项公式.变式：数列𝑎𝑛满足𝑎1+3𝑎2+32𝑎3+⋯+3𝑛−1𝑎𝑛=𝑛3,求数列𝑎𝑛的通项公式.五.取对数法•例7.已知数列𝑎𝑛中，𝑎1=1,点𝑎𝑛,𝑎𝑛+1在函数𝑦=9𝑥3的图像上，则数列𝑎𝑛的通项公式𝑎𝑛.