高一年级第二学期数学试题(立体几何)

高一数学试题第1页共4页2018~2019学年度第二学期期末抽测高一年级数学试题（立体几何）一、填空题（每小题5分，共70分）1.一个圆台的母线长是上、下底面半径的和的一半，且侧面积为8π，那么母线长为________．2.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是________．3.若两球表面积之比是4∶9，则其体积之比为________．4.各棱长都等于4，且侧棱垂直于底面的三棱柱的表面积为________．5.如右图在所有棱长均为2的正三棱柱ABC－A1B1C1中，三棱锥B－A1C1C的体积是________．6.中心角为135°，面积为A的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为B，则A∶B＝________.7.如果一个圆柱、一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，则圆柱、球、圆锥的体积之比为________．8.如右图正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为______．9.三棱柱ABC－A′B′C′的底面是边长为1cm的正三角形，侧面是长方形，侧棱长为4cm，一个小虫从A点出发沿表面一圈到达A′点，则小虫所行的最短路程为________cm.10.在三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，则三棱锥A1－ABC，B－A1B1C，C－A1B1C1的体积之比为________．11.如图，设P为正四面体A－BCD表面(含棱)上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有________个．12.设a，b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的序号为________．高一数学试题第2页共4页①存在唯一直线l，使得l⊥a，且l⊥b；②存在唯一直线l，使得l∥a，且l⊥b；③存在唯一平面α，使得a⊂α，且b∥α；④存在唯一平面α，使得a⊂α，且b⊥α.13.如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，则AO与A′C′所成角的度数为________．14.已知在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是线段AB，AD，AA1的中点，又P，Q分别在线段A1B1，A1D1上，且A1P＝A1Q＝x(0x1)．设平面MEF∩平面MPQ＝l，现有下列结论：①l∥平面ABCD；②l⊥AC；③直线l与平面BCC1B1不垂直；④当x变化时，l不是定直线．其中不成立的结论有__________．二、解答题（每小题18分，共90分）15.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥底面ABCD，且∠ABC＝π2.（1）求证：B1C1∥平面BCD1；（2）求证：平面A1ABB1⊥平面BCD1.高一数学试题第3页共4页16.如图，矩形ACQP所在的平面与菱形ABCD所在的平面相互垂直，交线为AC，若AC＝2AP，E，F分别是PQ，CQ的中点．（1）求证：CE∥平面PBD；（2）求证：平面FBD⊥平面PBD.17.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，点M为棱A1B1的中点．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面C1CM⊥平面A1B1C.高一数学试题第4页共4页18.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N.（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线CD与平面ACM所成角的正弦值．19.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD＝1，D1D＝2，点P为棱CC1的中点．（1）设二面角A－A1B－P的大小为θ，求sinθ的值；（2）设M为线段A1B上的一点，求AMMP的取值范围．高一数学试题答案第1页共5页2018~2019学年度第二学期期末抽测高一年级数学试题（立体几何）参考答案1．22．2π3．8∶274．48＋835．2336．8∶117．3∶2∶18．16三棱锥D1－EDF的体积即为三棱锥F－DD1E的体积．因为E，F分别为AA1，B1C上的点，所以在正方体ABCD－A1B1C1D1中，△EDD1的面积为定值12，F到平面AA1D1D的距离为定值1，所以V三棱锥D1－EDF＝V三棱锥F－DD1E＝13×12×1＝16.9．5三棱柱ABC－A′B′C′侧面展开是长4cm，宽为3cm的矩形，所以小虫从A点出发沿表面一圈到达A′点，小虫所行的最短路程为矩形的对角线长，应为5cm.10．1∶2∶4如图，三棱锥B－A1B1C可看作棱台减去两个三棱锥A1－ABC和C－A1B1C1后剩余的几何体，分别求几何体的体积，然后相比即可．设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S，∵VA1－ABC＝13S△ABC·h＝13Sh，VC－A1B1C1＝13S△A1B1C1·h＝43Sh，又V台＝13h(S＋4S＋2S)＝73sh，∴VB－A1B1C＝V台－VA1－ABC－VC－A1B1C1＝73Sh－13Sh－43Sh＝23Sh.∴所求体积之比为1∶2∶4.11．10解析分两种情况讨论：①点P到其中两个点的距离相等，到另外两个点的距高一数学试题答案第2页共5页离相等，且这两个距离不相等，此时点P位于正四面体各棱的中点，符合条件的点有6个；②点P到其中三个点的距离相等，到另外一个点的距离与它到其他三个点的距离不相等，此时点P在正四面体各侧面的中心，符合条件的点有4个．综上，满足题意的点共有10个．12．③解析a，b是互不垂直的两条异面直线，把它放入长方体中如图，由图可知①不正确；由l∥a，且l⊥b，可得a⊥b，与题设矛盾，故②不正确；由a⊂α，且b⊥α，可得a⊥b，与题设矛盾，故④不正确．13．30°解析∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.∵OC⊂平面BB′C′C，AB⊥平面BB′C′C，∴OC⊥AB.又OC⊥OB，AB∩BO＝B，AB，BO⊂平面ABO，∴OC⊥平面ABO.又AO⊂平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝22，AC＝2，sin∠OAC＝OCAC＝12，∴∠OAC＝30°.即AO与A′C′所成角的度数为30°.14．④解析连结BD，B1D1，∵A1P＝A1Q＝x，∴PQ∥B1D1∥BD∥EF，易证PQ∥平面MEF，又平面MEF∩平面MPQ＝l，∴PQ∥l，l∥EF，∴l∥平面ABCD，故①成立；又EF⊥AC，∴l⊥AC，故②成立；∵l∥EF∥BD，∴易知直线l与平面BCC1B1不垂直，故③成立；当x变化时，l是过点M且与直线EF平行的定直线，故④不成立．高一数学试题答案第3页共5页15．证明(1)在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，B1C1∥BC.又B1C1⊄平面BCD1，BC⊂平面BCD1，所以B1C1∥平面BCD1.(2)因为平面A1ABB1⊥底面ABCD，平面A1ABB1∩平面ABCD＝AB，BC⊂底面ABCD，且BC⊥AB，所以BC⊥平面A1ABB1，又因为BC⊂平面BCD1，所以平面A1ABB1⊥平面BCD1.16.(1)证明如图，设AC∩BD＝O，连结PO，因为O是AC的中点，E是PQ的中点，所以PE＝OC，PE∥OC，所以四边形POCE是平行四边形，所以CE∥PO.因为CE⊄平面PBD，PO⊂平面PBD，所以CE∥平面PBD.(2)证明因为平面ACQP⊥平面ABCD，平面ACQP∩平面ABCD＝AC，BD⊥AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面ACQP.因为PO⊂平面ACQP，所以BD⊥PO.连结AQ，OF，在矩形ACPQ中，由AC＝2AP，得APAC＝AOQC＝12，所以△APO∽△CAQ，所以AQ⊥PO.因为F是CQ的中点，O是AC的中点，所以OF∥AQ，所以OF⊥PO.因为BD∩OF＝O，BD，OF⊂平面FBD，所以PO⊥平面FBD.因为PO⊂平面PBD，所以平面FBD⊥平面PBD.17．证明(1)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，高一数学试题答案第4页共5页又AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面A1B1C1，又A1B1⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1B1.因为AC＝BC，所以A1C1＝B1C1.又因为点M为棱A1B1的中点，所以C1M⊥A1B1.又CC1∩C1M＝C1，CC1，C1M⊂平面C1CM，所以A1B1⊥平面C1CM.又A1B1⊂平面A1B1C，所以平面C1CM⊥平面A1B1C.18．(1)证明由AC是所作球的直径，得AM⊥MC.因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD，又因为AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM，又因为CD∩MC＝C，CD，MC⊂平面PCD，所以AM⊥平面PCD，又AM⊂平面ABM，所以平面ABM⊥平面PCD.(2)解以点A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，由(1)知，AM⊥PD，又PA＝AD＝4，所以M为PD的中点．则A(0,0,0)，P(0,0,4)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0，4,0)，M(0,2,2).AC→＝(2,4,0)，AM→＝(0,2,2)，CD→＝(－2,0,0)，高一数学试题答案第5页共5页设平面ACM的法向量为n＝(x，y，z)，由n⊥AC→，n⊥AM→，可知2x＋4y＝0，2y＋2z＝0，令z＝1，则n＝(2，－1,1)．设直线CD与平面ACM所成的角为α，则sinα＝|cos〈CD→，n〉|＝|CD→·n||CD→||n|＝63.即直线CD与平面ACM所成角的正弦值为63.19．解(1)如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D－xyz.则A(1,0,0)，A1(1,0,2)，P(0,1,1)，B(1,1,0)，所以PA1→＝(1，－1,1)，PB→＝(1,0，－1)，设平面PA1B的法向量为m＝(x，y，z)，则m·PA1→＝x－y＋z＝0，m·PB→＝x－z＝0，令x＝1，得y＝2，z＝1，所以m＝(1,2,1)，易知，平面AA1B的一个法向量n＝(1,0,0)．高一数学试题答案第6页共5页所以cos〈n，m〉＝n·m|n||m|＝66，所以sinθ＝306.(2)设M(a，b，c)，因为M为线段BA1上的一点，所以设BM→＝λBA1→(0≤λ≤1)，即(a－1，b－1，c)＝λ(0，－1,2)，所以M(1,1－λ，2λ)，MA→＝(0，λ－1，－2λ)，MP→＝(－1，λ，1－2λ)，AMMP＝λ－12＋4λ21＋λ2＋1－2λ2＝5λ2－2λ＋15λ2－4λ＋2＝1＋2λ－15λ2－4λ＋2，令2λ－1＝t，则t∈[－1,1]，且2λ－15λ2－4λ＋2＝4t5t2＋2t＋5，当t∈[－1,0)时，4t5t2＋2t＋5＝45t＋1t＋2∈－12，0，当t∈(0,1]时，4t5t2＋2t＋5＝45t＋1t＋2∈0，13，当t＝0时，4t5t2＋2t＋5＝0，所以4t5t2＋2t＋5∈－12，13，则AMMP∈22，233.