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第一章数和数的运算一、概念(一)整数1、整数的意义自然数和0都是整数。2、自然数我们在数物体的时候,用来表示物体个数的1,2,3……叫做自然数。一个物体也没有,用0表示。0也是自然数。3、计数单位个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。4、数位计数单位按照一定的顺序排列起来,它们所占的位置叫做数位。个位、十位、百位……5、整数的读法:①从高位到低位,一级一级地读。②读亿级、万级时,先按照个级的读法去读,再在后面加一个“亿”或“万”字。③每一级末尾的0都不读出来,其它数位连续有几个0都只读一个零。6、整数的写法:从高位到低位,一级一级地写,哪一个数位上一个单位也没有,就在那个数位上写0。7、一个较大的多位数,为了读写方便,常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要,省略这个数某一位后面的数,写成近似数。(二)小数1、小数的读法:读小数的时候,整数部分按照整数的读法读,小数点读作“点”,小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。2、小数的写法:写小数的时候,整数部分按照整数的写法来写,小数点写在个位右下角,小数部分顺次写出每一个数位上的数字。3、比较小数的大小:先看它们的整数部分,,整数部分大的那个数就大;整数部分相同的,十分位上的数大的那个数就大;十分位上的数也相同的,百分位上的数大的那个数就大……4、小数的分类⑴有限小数:小数部分的数位是有限的小数,叫做有限小数。例如:41.7、25.3、0.23都是有限小数。⑵无限小数:小数部分的数位是无限的小数,叫做无限小数。例如:4.33……3.1415926……⑶无限不循环小数:一个数的小数部分,数字排列无规律且位数无限,这样的小数叫做无限不循环小数。例如:л⑷循环小数:一个数的小数部分,有一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这个数叫做循环小数。(三)分数1、分数的意义把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数叫做分数。把单位“1”平均分成若干份,表示其中的一份的数,叫做分数单位。2、分数的读法:读分数时,先读分母再读“分之”然后读分子,分子和分母按照整数的读法来读。3、分数的写法:先写分数线,再写分母,最后写分子,按照整数的写法来写。4、比较分数的大小:⑴分母相同的分数,分子大的那个分数就大。⑵分子相同的分数,分母小的那个分数就大。⑶分母和分子都不同的分数,通常是先通分,转化成通分母的分数,再比较大小。⑷如果被比较的分数是带分数,先要比较它们的整数部分,整数部分大的那个带分数就大;如果整数部分相同,再比较它们的分数部分,分数部分大的那个带分数就大。5、分数的分类⑴真分数:分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。⑵假分数:分子比分母大或者分子和分母相等的分数,叫做假分数。假分数大于或等于1。⑶带分数:假分数可以写成整数与真分数合成的数,通常叫做带分数。6、分数和除法的关系及分数的基本性质⑴除法是一种运算,有运算符号;分数是一种数。因此,一般应叙述为被除数相当于分子,而不能说成被除数就是分子。⑵由于分数和除法有密切的关系,根据除法中“商不变”的性质可得出分数的基本性质。⑶分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数(0除外),分数的大小不变,这叫做分数的基本性质,它是约分和通分的依据。7、约分和通分⑴分子、分母是互质数的分数,叫做最简分数。⑵把一个分数化成同它相等但分子、分母都比较小的分数,叫做约分。⑶约分的方法:用分子和分母的公约数(1除外)去除分子、分母;通常要除到得出最简分数为止。⑷把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数,叫做通分。⑸通分的方法:先求出原来几个分母的最小公倍数,然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。8、倒数⑴乘积是1的两个数互为倒数。⑵求一个数(0除外)的倒数,只要把这个数的分子、分母调换位置。⑶1的倒数是1,0没有倒数(四)百分数1、百分数的意义表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。百分数通常用%来表示。百分号是表示百分数的符号。2、百分数的读法:读百分数时,先读百分之,再读百分号前面的数,读数时按照整数的读法来读。3、百分数的写法:百分数通常不写成分数形式,而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。5、数的互化⑴小数化成分数:原来有几位小数,就在1的后面写几个零作分母,把原来的小数去掉小数点作分子,能约分的要约分。⑵分数化成小数:用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数,有的不能除尽,不能化成有限小数的,一般保留三位小数。⑶一个最简分数,如果分母中除了2和5以外,不含有其他的质因数,这个分数就能化成有限小数;如果分母中含有2和5以外的质因数,这个分数就不能化成有限小数。⑷小数化成百分数:只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。⑸百分数化成小数:把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位。⑹分数化成百分数:通常先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数。⑺百分数化成小数:先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数。(五)数的整除1、因数和倍数⑴如果数a能被数b(b≠0)整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的因数。倍数和因数是相互依存的。⑵一个数的因数的个数是有限的,其中最小的约数是1,最大的因数是它本身。⑶一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。2、奇数和偶数自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。①能被2整除的数叫做偶数。0也是偶数。②不能被2整除的数叫做奇数。3、质数和合数⑴一个数,如果只有1和它本身两个约数,这样的数叫做质数(或素数),20以内的质数有:2、3、5、7、11、13、17、19。⑵一个数,如果除了1和它本身还有别的约数,这样的数叫做合数,例如4、6、8、9、12都是合数。⑶1不是质数也不是合数,自然数除了1外,不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类,可分为质数、合数和1。4、分解质因数⑴质因数每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的质因数,例如15=3×5,3和5叫做15的质因数。⑵分解质因数把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。通常用短除法来分解质因数。先用能整除这个合数的质数去除,一直除到商是质数为止,再把除数和商写成连乘的形式。⑶公因数几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫这几个数的最大公因数。公因数只有1的两个数,叫做互质数。成互质关系的两个数,有下列几种情况:①和任何自然数互质;②相邻的两个自然数互质;③当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质;④两个合数的公约数只有1时,这两个合数互质,如果几个数中任意两个都互质,就说这几个数两两互质。如果较小数是较大数的因数,那么较小数就是这两个数的最大公因数。如果两个数是互质数,它们的最大公因数就是1。⑷公倍数①几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。其中最大的一个叫这几个数的最大公倍数。求几个数的最大公约数的方法是:先用这几个数的公约数连续去除,一直除到所得的商只有公约数1为止,然后把所有的除数连乘求积,这个积就是这几个数的的最大公约数。②几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。求几个数的最小公倍数的方法是:先用这几个数(或其中的部分数)的公约数去除,一直除到互质(或两两互质)为止,然后把所有的除数和商连乘求积,这个积就是这几个数的最小公倍数。如果较大数是较小数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数是互质数,那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。几个数的公约数的个数是有限的,而几个数的公倍数的个数是无限的。二、性质和规律(一)商不变的规律商不变的规律:在除法里,被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍,商不变。(二)小数的性质小数的性质:在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。(三)小数点位置的移动引起小数大小的变化1、小数点向右移动一位,原来的数就扩大10倍;小数点向右移动两位,原来的数就扩大100倍;小数点向右移动三位,原来的数就扩大1000倍……2、小数点向左移动一位,原来的数就缩小10倍;小数点向左移动两位,原来的数就缩小100倍;小数点向左移动三位,原来的数就缩小1000倍……3、小数点向左移或者向右移位数不够时,要用“0补足位。(四)分数的基本性质分数的基本性质:分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数(零除外),分数的大小不变。(五)分数与除法的关系1、被除数÷除数=被除数/除数2、因为零不能作除数,所以分数的分母不能为零。3、被除数相当于分子,除数相当于分母。三、运算法则(一)四则运算的法则1、加法:把两个数合并成一个数的运算叫做加法。在加法里,相加的数叫做加数,加得的数叫做和。加数是部分数,和是总数。加数+加数=和一个加数=和-另一个加数2、减法:已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算叫做减法。在减法里,已知的和叫做被减数,已知的加数叫做减数,未知的加数叫做差。被减数是总数,减数和差分别是部分数。加法和减法互为逆运算。3、乘法:求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。在乘法里,相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。在乘法里,0和任何数相乘都得0.1和任何数相乘都的任何数。一个因数×一个因数=积一个因数=积÷另一个因数4、除法:已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算叫做除法。在除法里,已知的积叫做被除数,已知的一个因数叫做除数,所求的因数叫做商。乘法和除法互为逆运算。在除法里,0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0,所以任何一个数除以0,均得不到一个确定的商。被除数÷除数=商除数=被除数÷商被除数=商×除数(二)运算定律1、加法运算定律⑴加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变,即a+b=b+a。⑵加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数;或者先把后两个数相加,再和第一个数相加它们的和不变,即(a+b)+c=a+(b+c)。2、乘法运算定律⑴乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置它们的积不变,即a×b=b×a。⑵乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,再乘以第三个数;或者先把后两个数相乘,再和第一个数相乘,它们的积不变,即(a×b)×c=a×(b×c)。⑶乘法分配律:两个数的和与一个数相乘,可以把两个加数分别与这个数相乘,再把两个积相加,即(a+b)×c=a×c+b×c。⑷乘法分配律扩展:两个数的差与一数相乘,可以先把它们与这个数分别相乘,再相减,即(a-b)×c=a×c-b×c3、积的变化规律:①一个因数不变,另一个因数乘以或除以几(0除外),积也乘以(或除以)几。②积不变的规律:一个因数乘以几,另一个因数除以几,积不变。4、商的变化规律:①被除数不变,除数乘以(除以)几,商反而除以(乘以)几。②除数不变,被除数乘以(除以)几,商也乘以(除以)几。③商不变的规律:被除数和除数同时乘以(或除以)相同的数,商不变。(五)计算方法1、整数加法计算方法:相同数位对齐,从个位加起,哪一位上的数相加满十,就向前一位进一。2、整数减法计算方法:相同数位对齐,从个位加起,哪一位上的数不够减,就从它的前一位退一作十,和本位上的数合并在一起,再减。3、整数乘法计算方法:先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数,用因数哪一位上的数去乘,乘得的数的末尾就对齐哪一位,然后把各次乘得的数加起来。4、整数除法计算方法:①从被除数的最高位除起,除数是几位数,就先用除数试除被除数的前几位;如果不够除,就多看一位;②除到被除数的哪一位,就在哪一位的上面写商。③如果哪一位上不够商1,要0占位。每次除得的余数要小于除数。5、小数乘法方法:①先按照整数乘法的计算法则算出积,再点上小数点。②点小数点时,看因数中共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点。③如果位数不够,就用“0”补足。6、除数是整数的小数除法计算方法:先按照整数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