高中数学选修2-2：1.1.2导数的概念

1.1.2导数的概念回顾引申求平均变化率的基本步骤：1.计算函数的增量：00()()yfxxfxVV2.求函数的平均变化率：00()()fxxfxyxxVVVV回顾引申高台跳水中，运动员在不同的时刻速度是不同的平均速度不一定能反映出运动员某一时刻的瞬时速度，如何将求平均速度的方法，升华为求运动员的瞬时速度？在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10hto求ｔ＝2时的瞬时速度？2我们先考察ｔ＝2附近的情况。任取一个时刻2＋△ｔ，△ｔ是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.当△ｔ＜0时，在2之前；当△ｔ＞0时，在2之后。△ｔ＜0时2＋△ｔ△ｔ＞0时2＋△ｔ2,22,2,ttv计算区间和区间内平均速度可以得到如下表格三、探究发现△t0时,在[2+△t,2]这段时间内△t0时,在[2,2+△t]这段时间内1.139.4tv1.139.4tv13.051v当△t=–0.01时,13.149v当△t=0.01时,0951.13v当△t=–0.001时,1049.13v当△t=0.001时,13.09951v当△t=–0.0001时,13.10049v当△t=0.0001时,099951.13v△t=–0.00001,100049.13v△t=0.00001,13.0999951v△t=–0.000001,13.1000049v△t=0.000001,…………105.69.4)(2ttth当△t趋近0时，平均速度有怎样的变化趋势？v平均速度趋近于确定值-13.1四、拓展升华从物理角度来看，时间间隔△t无限变小时，平均速度就无限趋近于t=2时的瞬时速度.因此，运动员在t=2时的瞬时速度是-13.1m/sv00(2)(2)limlim13.1tthhthttVVVVVV表示“当t=2，△t趋近于0时，平均速度趋近于确定值-13.1”v读作：△t趋近于0时，的极限为-13.1htVV四、拓展升华1.运动员在某一时刻的瞬时速度表示为：2.函数在处瞬时变化率怎样表示？0000()()limlimtthtththttVVVVVV0t()fx0xx0000()()limlimxxfxxfxyxxVVVVVV分子叫做函数的增量，分母叫做自变量的增量五、新授概念0000()()limlimxxfxxfxyxxVVVVVV称它为函数在处的导数()yfx0xx一般地，函数在处的瞬时变化率是：()yfx0xx记做或'0()fx0'xxy'0000()()()limxfxxfxfxxVVV表示趋近于0时,以为自变量的函数所趋向的确定的值xVxV00()()fxxfxxVV六、概念深化0000()()limlimxxfxxfxyxxVVVVVV称它为函数在处的导数()yfx0xx一般地，函数在处的瞬时变化率是：()yfx0xx函数在处的导数释义：就是在该点的函数的改变量（函数增量）与自变量的改变量（自变量增量）比的极限.()yfx0xx00()()yfxxfxVVxV六、概念深化0000()()limlimxxfxxfxyxxVVVVVV称它为函数在处的导数()yfx0xx一般地，函数在处的瞬时变化率是：()yfx0xx思考：'0000()()lim()?xfxxfxfxxVVV与'0000()()lim()?3xfxxfxfxxVVV与13七、求导数的规范步骤1.计算函数的增量：00()()yfxxfxVV2.求函数的平均变化率：00()()fxxfxyxxVVVV3.求平均变化率的极限：'0000()()()limxfxxfxfxxVVV八、示范例题21.()(1),'(2).fxxf例已知求解：00()()yfxxfxVV22(2)(2)(2)1(21)yfxfxQVVV22()xxVV22()2yxxxxxVVVVVV0'(2)limxyfxVVV0lim(2)xxVV2九、学以致用练习1：2(),'(4).fxxf已知由定义求222(4)(4)(4)48()yfxfxxxQVVVVV解：28()8yxxxxxVVVVVV0limxyxVVV0lim(8)8xxVV'(4)8f'0000()()()limxfxxfxfxxVVV十、应用实例例2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第xh时,原油的温度(单位:)为f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).计算第2h和第6h,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.0C解:在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是)2(f).6(f和xfxf)2()2(根据导数的定义,37)(42xxxxx所以,同理可得.5)6(f在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.它说明在第2h附近,原油温度大约以3/h的速率下降;在第6h附近,原油温度大约以5/h的速率上升.CCyx00(2)limlim(3)3.xxyfxx十、应用实例f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8)仿此计算第3h时原油温度的瞬时变化率0000()()limlimxxfxxfxyxxVVVVVV称它为函数在处的导数()yfx0xx记做或'0()fx0'xxy'0000()()()limxfxxfxfxxVVV十一、小结1.导数的概念：2.利用导数求瞬时变化率1.计算函数的增量：00()()yfxxfxVV2.求函数的平均变化率：00()()fxxfxyxxVVVV3.求平均变化率的极限：'0000()()()limxfxxfxfxxVVV3.求导数的基本步骤：十一、小结十二、作业1.教材P10习题1.1A组3,42.预习导数的几何意义