高中数学选修2精品课件1.3.2函数的极值和导数

１.３.２函数的极值与导数aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)0f'(x)01.定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导数,如果在这个区间内f/（x）0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内f/（x）0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数.一、知识回顾:如果在某个区间内恒有,则为常数.0)(xf)(xf2.求函数单调性的一般步骤①求函数的定义域;②求函数的导数f/（x）;③解不等式f/（x）0得f(x)的单调递增区间;解不等式f/（x）0得f(x)的单调递减区间.新课导入下图是函数的图象,请观察，)(xfyabxyx1Ox2x3x4x5x6一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点。如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点。极大值与极小值统称为极值.函数极值的定义yabx1x2x3x4)(1xf)(4xfOx)(2xf)(3xf观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.小试牛刀1.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量x的值，极值指的是函数值(y)。2.极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。3.函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。说明4.极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值。xyoabxyoab()fx()fx()fx000()fx0极小值点极大值点()yfx如图，在a、b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数符号呢？()0fb()0fa()yfx求函数的极值1.如果x0是f′(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f′(x)0，在x0右侧附近f′(x)0，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值。2.如果x0是f′(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f′(x)0，在x0右侧附近f′(x)0，那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值。导数值为0的点一定是函数的极值点吗?导数值为0为函数是极值点的必要条件。练习1:下列函数中，x=0是极值点的函数是()A.y=－x3B.y=x2C.y=x2－xD.y=1/x分析：做这题需要按求极值的三个步骤，一个一个求出来吗？不需要，因为它只要判断x=0是否是极值点，只要看x=0点两侧的导数是否异号就可以了。B课堂练习例题选讲:311:443yxx例求的极值求极值的步骤:1.确定定义域2.求f’(x)=0的根3.列表格4.判断极值的情况课堂练习p29Ｔ２例２:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,求a、b的值.解:=3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.①)(xf又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.②由①、②解得或.33114baba当a=-3,b=3时,,此时f(x)在x=1处无极值,不合题意.0)1(3)(2xxf当a=4,b=-11时,).1)(113(1183)(2xxxxxf-3/11x1时,;x1时,,此时x=1是极值点.0)(0)(xfxf从而所求的解为a=4,b=-11.习题A组#4下图是导函数的图象,在标记的点中,在哪一点处(1)导函数有极大值?(2)导函数有极小值?(3)函数有极大值?(4)函数有极小值?)(xfy)(xfy)(xfy)(xfy)(xfy2xx1xx4xx或3xx5xx例3:已知函数f(x)=-x3+ax2+b.(1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1,求a、b的值.解:(1)由得x=0或x=4a/3.故4a/3=4,a=6.023)(2axxxf由于当x0时,当x0时,故当x=0时,f(x)达到极小值f(0)=b,所以b=-1..0)(,0)(xfxf例4:已知f(x)=ax5-bx3+c在x=1处有极值,且极大值为4,极小值为0.试确定a,b,c的值.解:).35(35)(2224baxxbxaxxf由题意,应有根,故5a=3b,于是:10)(xxf).1(5)(22xaxxf(1)设a0,列表如下:x-1(-1,1)1+0—0+f(x)↗极大值↘极小值↗)(xf)1,(),1(由表可得,即.04)1(0)1(4cbacbaff又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.(2)设a0,列表如下:x-1(-1,1)1-0≥00-f(x)↘极小值↗极大值↘)1,(),1()(xf由表可得,即.04)1(0)1(4cbacbaff又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.第二课时一、复习:1.设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.极大值与极小值统称极值.2.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:(1):如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极大值;,0)(,0)(xfxf(2):如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极小值.,0)(,0)(xfxf3.理解函数极值的定义时应注意以下几点:(1)函数的极值是一个局部性的概念,极值点是区间内部的点而不会是端点.(2)若f(x)在某区间内有极值,那么f(x)在某区间内一定不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值.(3)极大值与极小值没有必然的大小关系,即极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小.(4)函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)在某区间上连续且有有限极值点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的.(5)导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充分条件.(6)极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到.4.确定函数的极值应从几何直观入手,理解可导函数在其定义域上的单调性与函数极值的相互关系,掌握利用导数判断函数极值的基本方法.例1:已知函数f(x)满足条件:①当x2时,;②当x2时,;③.求证:函数y=f(x2)在处有极小值.0)(xf0)2(0)(fxf2x证:设g(x)=f(x2),则.2)()(2xxfxg故当时,x22,由条件①可知,即:2x0)(2xf;02)()(2xxfxg当时,x22,由条件②可知,即:20x0)(2xf;02)()(2xxfxg又当时,.022)2()2(2fgx所以当时,函数y=f(x2)取得极小值.2x为什么要加上这一步?例3:已知:(1)证明:f(x)恰有一个极大值点和一个极小值点;(2)当f(x)的极大值为1、极小值为-1时,求a、b的值.).0(1)(2axbaxxf解:(1).)1(2)1()(2)1()(222222xabxaxxbaxxxaxf令,得-ax2-2bx+a=0,Δ=4b2+4a20,0)(xf故有不相等的两实根α、β,设αβ.0)(xf又设g(x)=-ax2-2bx+a,由于-a0,g(x)的图象开口向下,g(x)的值在α的右正左负,在β的左正右负.注意到与g(x)的符号相同,可知α为极小值点,β为极大值点.)(xf(2)由f(α)=-1和f(β)=1可得:.1122baba两式相加,并注意到α+β=-2b/a,于是有:.0,02,0,,02)2(22babbaba从而方程可化为x2=1,它的两根为+1和-1,即α=-1,β=1.0)(xf由.2121)(2aabaf故所求的值为a=2,b=0.