数学建模-莱斯利模型

一莱斯利模型年龄组年龄区间1[0,N/n]2(N/n,2N/n)3(2N/n,3N/n)……n-1((n-2)N/n,(n-1)N/n)N((n-1)N/n,N)假定在总体中任意一个女性的最大年龄是N岁，这里的总体仅指女性人口总体，并将其当做按不同年龄分组的个体的集合。将总体分成n个期限相等的年龄组，于是每组的期限为N/n年，按下表来记下各个年龄组：假设已知在时刻t=0时每一个组中的女性人数，令在第i组中有个女性，则记为(0)ix(0)1(0)(0)2(0)nxxXx这个向量称为初始年龄分布向量。现在来考虑这n个组中每组的女性人数随时间的推移而变化的情况。设任意两个连续的观察时间间隔和年龄区间的期限相等，即令0120,/,2/,,/,.kttNntNntkNn这样，在时刻时于第（i+1）组中的所有女性在时刻是均在第i组中。1kt在两次连续的观察时间之间的出生和死亡过程，用下述人口学参数来描述：(1,2,,)iain表示每一个女性在第i年龄组期间生育儿女的平均数。(1,2,,1)bin表示第i年龄组的女性可望活到第（i+1）年龄组的分数。显然不允许任何bi等于0，否则就没有一个没有女性会活到超过第i年龄组。0(1,2,,),01(1,2,,1).iainbin同样，至少有一个是正的，这样就保证有n个女儿出生了。与正的对应的年龄组称为生育年龄组。iaia记是在时刻个年龄组中的女性数目，则称()iix()1()()2kkkknxxXx为在时刻时年龄分布向量。在时刻，第一个年龄组中的女性数恰好就是在和之间出生的女孩数，即ktkt1ktkt()(1)(1)(1)11122....kkkknnxaxaxax　（5.1）()(1)1,1,2,...,1.kkiiixbxin　　（5.2）将（5.1）式和（5.2）用矩阵表示即得1231()(1)111()(1)()222()(1)100000000,0000nnkkkkkkknnnaaaaaxxbxxXbxxb　　（5.3）简记为()(1)1,2,...,kkXLXk　　　　　（5.4）其中1231121000000000000nnnaaaaabLbb称为莱斯利矩阵。由（5.4）式可得(1)(0)(2)(1)2(0)(3)(2)3(0)()(1)(0),,,,kkkXLXXLXLXXLXLXXLXLX　　　　　　　........（5.5）因此，如果已知初始年林分布及莱斯利矩阵L，就能求出在以后任何时间的女性年龄分布。(0)X二极限状态（5.5）式给出了总日在任意时间的年龄分布，但是它并不能直接反映增长过程动态的情况。为此我们需要考虑莱斯利矩阵L的特征值和特征向量，L的特征根是它的特征多项式的根，这个特征多项式为123121312121()||......,nnnnnnpELaababbabbb为了求这个多项式的根，引入函数312112112123...()...,nnabbabbbaabg（5.6）利用这个个函数，特征多项式可写为()0p()1,0.g对　（5.7）由于所有的和为非负的，可以看作对于大于零是单调减少的。iaib()g另外，在处有一条垂直渐近线，而当趋于无穷大时则趋于零。因此，存在唯一的一个，使得。即矩阵L有一个唯一的正特征值，是单根，对于的一个特征向量是满足：的非零向量。()g0i()1g11111LXX解得1112112111211/./.../nnbXbbbbb（5.8）由于是单根，它相应的特征空间是一维的，因而任意它所对应的特征向量是某个倍数，则有定理11X定理1一个莱斯利矩阵L有一个唯一的正特征值，并且有一个所有元素均为正的特征向量。1总体年龄分布的长期行为是由正的特征值及它的特征向量来决定的。实际应用中，由数学软件很容易求出矩阵的特征值与特征向量，请读者参阅第四章相关内容。11X定理2如果为莱斯利矩阵L的唯一的正特征值，是L的特征值，它可以是任意实数或复数，则。1i1||i称为L的主特征值。如果对L的所有其他特征值有，那么称为L的严格主特征值。并不是所有的莱斯利矩阵都满足这个条件，例如11||i1006100,21003L请读者利用数学软件验证L的唯一正特征值不是严格主特征值，并且有（单位矩阵）。3LE于是对于任意选择初始年龄分布，都有0X(0)(3)(6)(3)...,kXXXX因此年龄分布向量以三个时间单位为周期而摆动，如果是严格主特征值，这种摆动（也称人口波）就可能不会发生。1下面价格叙述关于是严格主特征值的必要和充分条件。1定理3如果莱斯利矩阵的第一行有两个连续的元素和不等于零，则L的正特征值就是严格主特征值。ia1ia因此，如果女性总体有两个相继的生育年龄组，它的莱斯利矩阵就是一个严格主特征值。只要年龄组的期限足够小，现实中的总体总是这中情况。假设L是可对角化的，此时L有n个特征值与它们相对应的n个线性无关的特征向量为。将其中严格主特征值排在第一，建立一个矩阵P，其余个列就是L的特征向量。12,,,n12,,,nXXX12(,,...,),nPXXX于是L的对角化就由下式给出1213000000000,000nLPP则1120000,1,2,...00kkkknLPPk　　因此，对于任意初始年龄分布向量就有(0)X1()(0)1(0)20000,1,2,...00kkkkknXLXPPXk此等式两边除以，就得出1k21()1(0)1111000(/)01.00(/)kkkkknXPPX　（5.9）由于是严格主特征值，所以当时11|/|1(2,3,,),iink1(/)0(2,3,,),kiin这样就得到()1(0)11000001lim.000kkkXPPX　（5.10）如果将列向量的第一个元素用常熟C来表示，则可以证明（5.10）式右端为，C是一个只与初始年龄分布向量有关的正常数，于是得到1(0)PX1CX(0)X()111lim.kkkXCX　（5.11）对于足够大的k值，由（5.11）式给出近似式()11.kkXCX　（5.12）由（5.12）式还可得出(1)111kkXCX,　（5.13）比较（5.12）和（5.13）式可知对于足够大的k值，有()(1)1kkXX,　（5.14）这说明对于足够大的时间值，每个年龄分布向量是前一个年龄分布向量的一个数量倍数，这个数量就是矩阵的正特征值。因此，在每一个年龄组中的女性比例据变为常量。由给出常时期人口的年龄分布向量（5.12）式()11,kkXCX根据正特征值的数值，会有三种情况：1１）如果，总体最终是增长的；11２）如果，总体整体是减少的；11３）如果，总体整体是不变的。11的情形有特殊意义，因为它决定了一个具有零增长的总体。对于任何初始年龄分布，总体趋于一个是特征向量的某个倍数11由（5.6）和（5.7）式可看出，当且仅当121312121......1nnaababbabbb　　（5.15）时才有。11表达式121312121......nnRaababbabbb　（5.16）称为总体的净繁殖率。因此，总体的净繁殖率为1时，一个总体有零总体增长。