数学建模-零件参数的优化设计

零件参数的优化设计摘要本文建立了一个非线性多变量优化模型。已知粒子分离器的参数y由零件参数)72,1(ixi决定，参数ix的容差等级决定了产品的成本。总费用就包括y偏离y0造成的损失和零件成本。问题是要寻找零件的标定值和容差等级的最佳搭配，使得批量生产中总费用最小。我们将问题的解决分成了两个步骤：1.预先给定容差等级组合，在确定容差等级的情况下，寻找最佳标定值。2.采用穷举法遍历所有容差等级组合，寻找最佳组合，使得在某个标定值下，总费用最小。在第二步中，由于容差等级组合固定为108种，所以只要在第一步的基础上，遍历所有容差等级组合即可。但是，这就要求，在第一步的求解中，需要一个最佳的模型使得求解效率尽可能的要高，只有这样才能尽量节省计算时间。经过对模型以及matlab代码的综合优化，最终程序运行时间仅为3.995秒。最终计算出的各个零件的标定值为：ix={0.0750,0.3750,0.1250,0.1200,1.2919,15.9904,0.5625},等级为：BBCCBBBd,,,,,,一台粒子分离器的总费用为：421.7878元与原结果相比较，总费用由3074.8（元/个）降低到421.7878（元/个），降幅为86.28%，结果是令人满意的。为了检验结果的正确性，我们用计算机产生随机数的方式对模型的最优解进行模拟检验，模拟结果与模型求解的结果基本吻合。最后，我们还对模型进行了误差分析，给出了改进方向，使得模型更容易推广。关键字：零件参数非线性规划期望方差一、问题重述一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的３倍。进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。这时要考虑两方面因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。粒子分离器某参数（记作y）由7个零件的参数（记作x1,x2,...,x7）决定，经验公式为：7616.1242356.02485.01235136.0162.2142.174xxxxxxxxxxxYy的目标值（记作y0）为1.50。当y偏离y0+0.1时，产品为次品，质量损失为1,000元；当y偏离y0+0.3时，产品为废品，损失为9,000元。零件参数的标定值有一定的容许范围；容差分为Ａ、Ｂ、Ｃ三个等级，用与标定值的相对值表示，Ａ等为+1%，Ｂ等为+5%，Ｃ等为+10%。7个零件参数标定值的容许范围，及不同容差等级零件的成本（元）如下表（符号／表示无此等级零件）：标定值容许范围Ｃ等Ｂ等Ａ等x1[0.075,0.125]／25／x2[0.225,0.375]2050／x3[0.075,0.125]2050200x4[0.075,0.125]50100500x5[1.125,1.875]50／／x6[12,20]1025100x7[0.5625,0.935]／25100现进行成批生产，每批产量1,000个。在原设计中，7个零件参数的标定值为：x1=0.1,x2=0.3,x3=0.1,x4=0.1,x5=1.5,x6=16,x7=0.75;容差均取最便宜的等级。请你综合考虑y偏离y0造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少？二、模型假设1、将各零件参数视为随机变量，且各自服从正态分布；2、假设组成离子分离器的各零件互不影响，即各零件参数互相独立；3、假设小概率事件不可能发生，即认为各零件参数只可能出现在容许范围内；4、在大批量生产过程中，整批零件都处于同一等级，。本题可认为1000各零件都为A等、B等或C等；5、生产过程中出质量损失外无其他形式的损失；6、在质量损失计算过程中，认为所有函数都是连续可导的。三、符号说明ix：第i类零件参数的标定值（i=1,2……7）；ix：第i类零件参数的实际值相对目标值的偏差（i=1,2……7）；ir：第i类零件参数的容差（i=1,2,……7）；i：第i类零件参数的方差（i=1,2,……7）；iiba,：标定值ix的上、下限；y：离子分离器某参数的实际值；0y：离子分离器该参数的目标值；y：离子分离器某参数的均值；y：离子分离器某参数的实际值y相对平均值y的偏差；y：离子分离器某参数的方差；1P:一批产品中正品的概率；2P:一批产品中次品的概率；3P:一批产品中废品的概率；W：一批产品的总费用（包括损失和成本费）；ijC：第i类零件对应容差等级为j的成本（j=A,B,C）单位：元/个。最优解四、问题分析总费用损失费成本费次品率废品率ix服从正态分布容差等级y服从正容差态分布泰勒公式将期望方差ixir其线性化该问题是一定约束条件下的最优化问题，经分析题意，拟建立以总费用为目标函数的非线性规划模型。总费用由损失费和成本费两部分组成，零件成本由简单的线性代数式决定，而损失费涉及概率分布的非线性函数。要求出损失费，就必须知道一批产品的次品率和废品率，结合各类零件都服从),(2iixN，可假设y也服从正态分布，联想正态分布的性质——当各变量均服从正态分布时，其线性组合也服从正态分布。题中所给经验公式为一复杂的非线性的公式，无法直接对其分析处理，所以需借助泰勒公式将其展开并作相应处理使其线性化。而对于零件成本，需先确定容差等级才能求得成本费。由容差等级和各类零件的标定值ix便可知道给类零件的容差ir。最后，便将问题转化为ix、ir关于总目标函数的最优解的问题上。在进行零件参数设计时，如果零件设计不妥，造成产品参数偏离预先设定值，就会造成质量损失，且偏差越大，损失也越大；零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小（即精度越高）零件成本越高。合理的设计方案应既省费用又能满足产品的预先设定值，设计方向应该如下：（1）设计的零件参数，要保证由零件组装成的产品参数符合该产品的预先设定值，即使有偏离也应是在满足设计最优下的容许范围。（2）零件参数（包括标定值和容差等级）的设计应使总费用最小为优。此外分析零件的成本及产品的质量损失不难发现，质量损失对费用的影响远大于零件成本对费用的影响，因而设计零件参数时，主要考虑提高产品质量来达到减少费用的目的。五、模型建立为了确定原设计中标定值（的期望值）及已给的容差对产品性能参数影响而导致的总损失W，即确定偏离目标值所造成的损失和零件成本，先列出总损失的数学模型表达如下：)90001000(10003271PPCWiij当然，为了确定总损失W，必须知道1P、2P、3P（即正品、次品及废品的概率）。为此，将经验公式用泰勒公式在)72,1(ixXi处展开并略去二次以上高次项后来研究y的概率分布，设yxf)(，则71)()(iiiixxfxfyXf将标定值)72,1(ixi带入经验公式即得)(ixfy所以iiixxfyyy71由于在加工零件时，在标定值知道的情况下，加工误差服从正态分布，即）（2,0N~iix且ix相互独立，由正态分布性质可知),0(~2yNy),(~2yyNy由误差传递公式得22712712)()()(iiiiiiiiyxxxfxf（1）由于容差为均方差的3倍，容差与标定值的比值为容差等级，则31.0,305.0,301.0iixy的分布密度函数为2221)(yyyeyyy偏离1.00y的概率，即次品的概率为8.16.14.12.12)()()()(ydyydyP（2）y偏离3.00y的概率，即废品的概率为8.12.13)()()()(ydyydyP（3）由于y偏离0y越远，损失越大，所以在y固定时，调整y使之等于目标值0y可降低损失。取0yyy即0yy，则)1.0(2yP)3.0(3yP)(t为标准正态分布函数。综合考虑y偏离y0造成的损失和零件成本，设计最优零件参数的模型建立如下：目标函数min)90001000(10003271PPCWiijs.t.)72,1(iaxbiii)72,1()(0ixfyi六、模型求解初略分析对于原给定的设计方案，利用matlab编程计算（见附录），计算结果如下：正品率次品率废品率成本费损失费总费用0.12600.62390.25012002874.83074.8由于按原设计方案设计的产品正品率过低，损失费过高，显然设计不够合理。进一步分析发现，参数均值y=1.7256偏离目标值0y=1.5太远，致使损失过大。尽管原设计方案保证了正本最低，但由于零件参数的精度过低，导致正品率也过低。所以我们应综合考虑成本费和损失费。模型的实现过程：本模型通过matlab进行求解，我们通过理论模型求解和随机模拟的求解过程如下：在给定容差等级的情况下，利用matlab中求解非线性规划的函数fmincon，通过多次迭代求解，最终求得一组最优解。最初，我们设定的fmincon函数的目标函数就是总费用，约束条件为各个标定值的容许范围，以及各零件标定值带入产品参数表达式应为0y，即1.5。然而，在迭代过程中我们发现，求解过程十分慢，在给定容差等级的确定的情况下，计算最优标定值需要将近400秒，如果在此基础上对108种容错等级进行穷举查找最优组合，将需要大概12小时。显然这是不合理的。因此，我们在仔细对matlab实现代码研究发现，求解过程之所以慢，是因为代码中存在多次调用求偏导和积分的函数，在fmincon的多次迭代中，耗费大量时间。所以，为了提高求解速度，我们首先利用matlab中diff函数对产品参数中的各个表达式进行求偏导，然后得到多个带参表达式，利用int函数对y的概率密度函数进行积分，分别得到出现次品和废品概率的表达式，然后将这些表达式写进程序里，这样在求解过程中就不需要在每一次迭代中都要求偏导和积分了，修改后的程序运行时间大大减少。确定一组容差等级初始化最小费用minW为INF利用fmincon寻找最佳标定值求出总费用min程序流程图Y还有容差N算法等级未计算结束minWWYN程序见附录，求解结果如下：零件种类1234567零件参数0.07500.37500.12500.12001.291915.99040.5625容差等级BBBCCBB正品率次品率废品率成本费损失费总费用0.85330.14760.0000275146.7878421.7878运行总时间：3.995s离子分离器参数均值y=1.5离子分离器参数方差y=0.0689模型检验对设计方案进行动态模拟，由于每种零件参数均服从正态分布，用正态分布随机数发生器在每种零件参数允许范围内产生1000个随机数参与真实值ix的计算随机模拟N次后结果如下：正品率次品率废品率成本费损失费总费用0.85700.14300.0000275143418根据最优解的y=1.5，y=0.0689画出y的概率分布图，再对x随机取样画出y的概率分布图（见图6.1），由图可知：两组数据所画概率分布图的拟合度相当高，进一步确保了模型的正确性。图6.1概率分布图对比图通过以上数据，与原设计方案所得结果相比较，总费用由3074.8（元/个）降低到421.7878（元/个），降幅为86.28%，结果是令人满意的。七、误差分析1、在建模过程中，通过泰勒公式将)(Xfy展开并略去二次及以上项使线性化，不可避免地产生了截断误差，所以展开后的式子只是原经验公式的近似关系式。但在一般情况下，线性化和求总和在实用上具有足