固体理论习题2014

固体理论习题一、简答题1、什么是原胞？Wigner-Seitz原胞的特点。a)在完整晶体中，晶格在空间的三个方向上都具有一定的周期对称性，这样可以取一个以结点为顶点，边长等于这三个方向上的周期的平行六面体作为最小的重复单元，来概括晶格的特征，这样的重复单元称为初基原胞或简称原胞。b)W-S原胞，是晶格中比较对称的一种原胞。其构成方法是以某个格点为中心，作其与近邻格点连线的垂直平分面，由这些平分面构成的单元即为W-S原胞。2、讨论晶体电子结构，为什么要引入倒空间？3、周期性边界条件的物理意义。4、如何理解晶格振动的简谐近似，如何理解声子？5、什么是Fermi能级？绝对零度和有限温时候Fermi能级有什么区别？对于金属，绝对零度下，电子占据的最高能级就是费米能级。费米能级的物理意义是，该能级上的一个状态被电子占据的几率是1/2。有限温度的费米分布会引入费米能级附近的展宽，这个温度可以通过展宽来得到。这个时候可以认为展宽与实际电子温度有关。6、什么是Landau能级？朗道能级是磁场中电子作回旋运动的量子化能级。考虑电子在均匀磁场B中运动。电子沿磁场方向的运动不受影响，但在垂直于磁场的平面内作回旋运动。7、如何利用能带理论来解释导体、半导体、绝缘体？8、如何用Hubbard模型来描述Mott绝缘体。9、什么是近藤效应？自从1930年以来，实验上发现某些掺有磁性杂质原子的非磁性金属（例如，以铜、金、银等为基，掺入杂质铬、锰、铁等的稀固溶体）的电阻－温度曲线在低温下出现一个极小值。按照通常的电阻理论（见固体的导电性），稀固溶体的电阻应随温度下降而单调下降，最后趋于由杂质散射决定的剩余电阻，因此，难以理解上述现象。1964年，近藤淳对这个现象作了正确的解释，因此人们常把它称作近藤效应。近藤效应，英文：Kondoeffect含有极少量磁性杂质的晶态金属在低温下出现电阻极小的现象。二、证明题1、证明：面心立方的倒格子是体心立方，体心立方的倒格子是面心立方。2、证明Bloch定理。即：由2*2(),()()mHVVVPrrrR，证明：电子波函数()()ieukrkrr，且()()uurrR。5、在格点间距为a格点总数为N的一维单原子链中，证明(')10,'00NikknankkeNkk当，当?6、利用紧束缚近似方法，考虑最近邻近似，论述一维单原子链体系的能谱有如下形式：02cosEEtka，0E为原子能级，t为两原子之间的耦合能量；讨论该体系中能带的宽度，电子的有效质量。7、试用Anderson模型：证明d电子的态密度公式为：三、计算题1、一维周期势场中电子的波函数应当满足布洛赫定理。如果晶格常数为a,电子的波函数为(i)sin;kax(ii)3cos;kaix(iii)()klfxla试求电子在这些状态的波矢量。2、一维双原子链原子间距为a,相邻原子质量分别为m和M。原子限制在沿链的方向运动，讨论描述原子振动的色散关系，并指出m=M时的极限情况。3、限制在边长为L的正方形中的N个自由电子，电子的能量)(2),(222yxyxkkmkkE（i）求能量E到E+dE之间的状态数（态密度）；（ii）求此二维系统在绝对零度的Fermi能级。（iii）如果在z方向上加入强度为B的磁场，能谱如何变化。4、设有一维晶体的电子能带可写成2271()(coscos2)88Ekkakama，其中a为晶格常数，m是电子的质量。试求：（1）能带宽度；（2）电子在波矢k状态的速度；（3）带顶和带底的电子有效质量。5、†0.HccUnn由Hubbard近似（i）推导如下对易关系：[,],[,]cHnH；（iii）描述在该近似下库仑相互作用对电子能级的影响。6、一个体系的自旋角动量量子数和磁量子数分别为S,m.同时定义xySSiS则容易得出：,()(1),1SSmSmSmSm。另一方面，知道玻色子湮灭和产生算符有如下关系式：1annn，††11,annnnaa。（i）†,aa表示,zSS;（ii）利用†,aa的对易关系计算,zSS的对易关系。