导数习题分类精选

1导数题型精选1．观察1)(nnnxx，xxcos)(sin，xxsin)(cos，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。解：若)(xf为偶函数)()(xfxf令)()()(lim0xfxxfxxfxxxfxxfxxfxxfxfxx)()(lim)()(lim)(00)()()(lim0xfxfxxfx∴可导的偶函数的导函数是奇函数另证：)()()(])([xfxxfxff已知函数()fx在定义域R上可导，设点P是函数()yfx的图象上距离原点O最近的点.(1)若点P的坐标为(,())afa,求证：'()()0afafa;(2)若函数()yfx的图象不通过坐标原点O,证明直线OP与函数()yfx的图象上点P处切线垂直.证：(1)设Q(x,f(x))为y=f(x)上的动点，则|OQ|2=x2+f2(x)，设F(x)=x2+f2(x),则F'(x)=2x+2f(x)f'(x)已知P为y=f(x)图形上距离原点O最近的一点，∴|OP|2为F(x)的最小值，即F(x)在x=a处有最小值,亦即F(x)在x=a处有极小值∴F'(a)=0，即2a+2f(a)f'(a)=0(2)线段OP的斜率为a)a(f，y=f(x)之图形上过P点的切线l的斜率为f'(a)由(1)知f(a)f'(a)=–a，∴图象不过原点，∴a0，∴a)a(ff'(a)=–1∴OP⊥l，即直线OP与y=f(x)的图形上过P点的切线垂直.利用导数证明不等式2．求证下列不等式（1）)1(2)1ln(222xxxxxx),0(x（相减）（2）xx2sin)2,0(x（相除）2（3）xxxxtansin)2,0(x证：（1）)2()1ln()(2xxxxf0)0(f011111)(2xxxxxf∴)(xfy为),0(上∴),0(x0)(xf恒成立∴2)1ln(2xxx)1ln()1(2)(2xxxxxg0)0(g0)1(4211)1(42441)(22222xxxxxxxxg∴)(xg在),0(上∴),0(x0)1ln()1(22xxxx恒成立（2）原式2sinxx令xxxf/sin)()2,0(x0cosx0tanxx∴2)tan(cos)(xxxxxf∴)2,0(x0)(xf)2,0(2)2(f∴xx2sin（3）令xxxxfsin2tan)(0)0(fxxxxxxxf222cos)sin)(coscos1(cos2sec)()2,0(x0)(xf∴)2,0(∴xxxxsintan3（理做）设a≥0，f(x)=x－1－ln2x＋2alnx（x0）.（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当x1时，恒有xln2x－2alnx＋1.（Ⅰ）解：根据求导法则有2ln2()10xafxxxx，，故()()2ln20Fxxfxxxax，，于是22()10xFxxxx，，列表如下：x(02)，2(2)，∞()Fx0()Fx极小值(2)F故知()Fx在(02)，内是减函数，在(2)，∞内是增函数，所以，在2x处取得极小值(2)22ln22Fa．3（Ⅱ）证明：由0a≥知，()Fx的极小值(2)22ln220Fa．于是由上表知，对一切(0)x，∞，恒有()()0Fxxfx．从而当0x时，恒有()0fx，故()fx在(0)，∞内单调增加．所以当1x时，()(1)0fxf，即21ln2ln0xxax．(利用单调性证明不等式）故当1x时，恒有2ln2ln1xxax．（全国卷22）（本小题满分14分）已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函数f(x)的最大值；(ii)设0ab,证明0g(a)+g(b)-2g(2ba)(b-a)ln2.．(I)解：函数f(x)的定义域是(-1,∞),'1()11fxx，令'()0fx，解得x=0，当-1x0时,'()0fx,当x0时,'()0fx，又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0(II)证法一：22g()()2()lnln()lnlnln22abababagbgaabbabababab.由(I)的结论知ln(1)0(1,0)xxxx且，由题设0ab,得0,1022baabab,因此2lnln(1)22ababaabaa4（2009安徽卷理）已知函数2()(2ln),(0)fxxaxax，讨论()fx的单调性.①当280a，即22a时，方程()0gx有两个不同的实根2182aax,2282aax,120xx.4x1(0,)x1x12(,)xx2x2(,)x()fx+0_0+()fx单调递增极大单调递减极小单调递增此时()fx在28(0,)2aa上单调递增,在2288(,)22aaaa是上单调递减,在28(,)2aa上单调递增.4.设函数2()(0)fxaxbxkk在0x处取得极值，且曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线垂直于直线210xy．（Ⅰ）求,ab的值；（Ⅱ）若函数()()xegxfx，讨论()gx的单调性．（3）440,k即当0k1时，方程220xxk有两个不相等实根1211,11xkxkw.w.w.k.s.5.u.c当(,11)()0,(),11)xkgxgxk是故在（上为增函数当11,11xkk（）时，()0,gx故()11,11gxkk在（）上为减函数11xk（，+）时，()0,gx故()11gxk在（，+）上为增函数55(2009山东卷文)已知函数321()33fxaxbxx,其中0a（1）当ba,满足什么条件时,)(xf取得极值?（2）已知0a,且)(xf在区间(0,1]上单调递增,试用a表示出b的取值范围.所以12'()()()fxaxxxx当0a时,x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f’(x)＋0－0＋f(x)增函数极大值减函数极小值增函数所以)(xf在x1,x2处分别取得极大值和极小值.当0a时,x(-∞,x2)x2(x2,x1)x1(x1,+∞)f’(x)－0＋0－f(x)减函数极小值增函数极大值减函数所以)(xf在x1,x2处分别取得极大值和极小值.综上,当ba,满足2ba时,)(xf取得极值.(2)要使)(xf在区间(0,1]上单调递增,需使2'()210fxaxbx在(0,1]上恒成立.即1,(0,1]22axbxx恒成立,所以max1()22axbx设1()22axgxx,2221()1'()222axaagxxx,令'()0gx得1xa或1xa(舍去),6当1a时,101a,当1(0,)xa时'()0gx,1()22axgxx单调增函数;当1(,1]xa时'()0gx,1()22axgxx单调减函数,所以当1xa时,()gx取得最大,最大值为1()gaa.所以ba当01a时,11a,此时'()0gx在区间(0,1]恒成立,所以1()22axgxx在区间(0,1]上单调递增,当1x时()gx最大,最大值为1(1)2ag,所以12ab综上,当1a时,ba;当01a时,12ab【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.6.（2009浙江文）已知函数32()(1)(2)fxxaxaaxb(,)abR．（I）若函数()fx的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求,ab的值；（II）若函数()fx在区间(1,1)上不单．．调．，求a的取值范围．解析（Ⅰ）由题意得)2()1(23)(2aaxaxxf又3)2()0(0)0(aafbf，解得0b，3a或1a（Ⅱ）函数)(xf在区间)1,1(不单调，等价于导函数)(xf在)1,1(既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数即函数)(xf在)1,1(上存在零点，根据零点存在定理，有0)1()1(ff，即：0)]2()1(23)][2()1(23[aaaaaa整理得：0)1)(1)(5(2aaa，解得15a分离常数1.已知函数()lnfxxx.（Ⅰ）求()fx的最小值；（Ⅱ）若对所有1x都有()1fxax，求实数a的取值范围.学科网7解：()fx的定义域为0(，+)，()fx的导数()1lnfxx.令()0fx，解得1ex；令()0fx，解得10ex.从而()fx在10e，单调递减，在1e，+单调递增.所以，当1ex时，()fx取得最小值1e.学科网（Ⅱ）解法一：令()()(1)gxfxax，则()()1lngxfxaax，学科网错误!未找到引用源。若1a，当1x时，()1ln10gxaxa，学科网故()gx在(1)，+上为增函数，所以，1x时，()(1)10gxga，即()1fxax.学科网错误!未找到引用源。若1a，方程()0gx的根为10eax，此时，若0(1)xx，，则()0gx，故()gx在该区间为减函数.所以0(1)xx，时，()(1)10gxga，即()1fxax，与题设()1fxax相矛盾.综上，满足条件的a的取值范围是(1]，.学科网解法二：依题意，得()1fxax在[1)，上恒成立，即不等式1lnaxx对于[1)x，恒成立.令1()lngxxx，则21111()1gxxxxx.当1x时，因为11()10gxxx，故()gx是(1)，上的增函数，所以()gx的最小值是(1)1g，所以a的取值范围是(1]，.2.[广东省海珠区2009届高三综合测试二理科数学第21题]（本小题满分14分）已知2,ln23xaxxxgxxxf(Ⅰ)求函数xf的单调区间;(Ⅱ)求函数xf在02,ttt上的最小值;(Ⅲ)对一切的,0x,22'xgxf恒成立,求实数a的取值范围.(Ⅰ),10,0,1ln)(''exxfxxf解得令;1,0exf的单调递减区间是……2分,1,0'exxf解得令.,e1的单调递减区间是xf……4分(Ⅱ)(ⅰ)0tt+2e1，t无解；……5分(ⅱ)0te1t+2，即0te1时，eefxf1)1()(min；……7分8(ⅲ)e12tt，即et1时，单调递增在]2,[)(ttxf，tlnt)t()(minfxf……9分etetxf110tlnte1-)(min，……10分(Ⅲ)由题意:2123ln22axxxx在,0x上恒成立