高中数学导数与函数同构式下的函数体系

学习数学领悟数学秒杀数学专题13同构式下的函数体系121专题13同构式下的函数体系秒杀秘籍：第一讲同构式的三问三答又到了最后一个章节，自从秒群（758352643）在2018年跟大家交流同构式开始，全国各地的老师和学生似乎都很迷这个“神招”，同构式并不神秘，和很多之前的专题一样，我们需要细化它，透彻理解它，所以我们需要一个同构式的“说明书”．问题一：同构式到底是什么？同构式源于指对跨阶的问题，xex与xxln属于跨阶函数，而xexln属于跳阶函数，所以指对跳阶的函数问题，在中学阶段没有解决它的巧妙方法，只能构造隐零点代换来简化，但通过指对跨阶函数进行同构，即1lnlnln)(ln1)(xxxxxxxhxeexxexhxxx我们发现将一个指数、直线、对数三阶的问题通过跨阶函数的同构，变成了两阶问题，类似于二阶递推数列通过一次递推后变成了一阶数列，所以，通过构造跨阶函数的同构式，大大简化了分析和计算．问题二：同构式能解决什么问题？同构式是属于跨阶的复合函数，所以复合函数能解决的一切问题，同构式均能解决．在一些求参数的取值范围、零点个数、证明不等式中，利用复合函数单调性，复合函数零点个数以及复合函数的最值保值性来快速解题．问题三：同构式怎么构造？如何选取函数？同构式需要一个构造一个母函数，即外函数，用)(xh表示，这个母函数需要满足：①指对跨阶；②单调性和最值易求；通常，1)(xeexxexhxxx，基本上搞定这三个母函数，就看内函数，即子函数的构造了．下面，我们分别利用同构式的单调性、保值性和零点个数问题来对同构式进行系统分析．秒杀秘籍：考点1利用同构式单调性秒杀【例1】（2018•武邑期中）设实数0，若对任意的(0,)x，不等式0xlnxe恒成立，则的取值范围是．【解析】0xxlnxeelnx，由于指数和对数的“跳阶”问题，故需要构造连续的“跨阶”函数来化简，故不等式两边同乘以x，构成xxexlnx，乘法的式子构造xxexh)(，故不等式满足)(ln)(xhxh，易知)(xh在区间),0(为增函数，即xxln恒成立，exx1)ln(max，故答案为),1[e.学习数学领悟数学秒杀数学专题13同构式下的函数体系122注意：1)(xeexxexhxxx在区间),0(为增函数，当构造))(())((xqhxph恒成立的时候，只需要)()(xqxp恒成立即可.由于()xhxxe=在()1,-+，这个在秒1中已经详细介绍，这里不再详述.xxxpln)(在区间(0,)e­，在(,)e+，易知eepxp1)()(max.【例2】设0k，若存在正实数x，使得不等式2log20kxxk成立，则k的最大值为（）A．21logeeB．12lneC．2logeeD．122ln【解析】关于指对“跳阶”中出现的原函数和反函数问题，一定可以使用同构式构造，由于同构式必须要构造连续的“跨阶”函数，故构造xxexh)(，此题中，ln222lnlln()lnln2ln2og2kkxxkxxkexkexk，显然两边需要乘以x即可，即ln2lnln2(ln)(ln2)kxxxkxehxhkx，由于xxexh)(为单增函数，故只需存在正实数x，使得lnln2xkx，即lnln2xkx，易知1lnxex，故1ln2ke，即21logkee，故选A.注意：我们会介绍几个重要的“亲戚函数”，xxe、xxln、xex、xxln利用它们之间的同构式原理来快速求出最值．【例3】（2019•长郡中学月考）已知函数ln133fxmxx，若不等式3xfxmxe在0,x上恒成立，则实数m的取值范围是．【解析】法一：ln1333ln13(1)3xxfxmxxmxemxxmxe，令()3xhxmxe即(ln(1))()hxhx恒成立，由于ln(1)xx，故函数()hx对0,x上恒成立，即()30xhxme，解得min33xme，故答案为3m.法二：ln133333(1)ln1xxfxmxxmxeexmxmx，构造函数()1xhxex，则3()(ln(1))hxmhx，这里要用到我们接下来讲的同构式“保值性”，由于ln(1)xx恒成立，取等条件为0x，不在定义域内，故ln(1)xx恒成立，所以当3m时，3()(ln(1))hxmhx恒成立，故答案为3m.【例4】（2019•衡水金卷）已知0a，不等式1ln0axxeax+×+³对任意的实数1x恒成立，则实数a的最小值是（）A．e21B．e2C．e1D．e【解析】由题意得：1ln1ln1111ln0lnlnlnaaxxxaaaaaaxxeaxxeexxxxxx+-=对1x恒成立，此时maxlnxax³-，即ae³-，故选D.注意：这一类均是属于外函数xxexh)(的同构式模型，那么在xexxh)(或者1)(xexhx的模型会是什么情况呢？学习数学领悟数学秒杀数学专题13同构式下的函数体系123秒杀秘籍：考点2同构式问题构造恒等式：x+ex≥ex+lnex构造函数xexxh)(，易知)(xh在区间),0(，根据01)(xexpx恒成立，则01ln)(lnxxxp恒成立，当仅当0lnx，即1x时等号成立.由此能得到恒等式：exxxln1ln，所以再利用同构式)(ln)(exhxh，即exexexxln恒成立，当仅当1x时等号成立.【例5】（2019•榆林一模）已知不等式1xekxlnx，对于任意的(0,)x恒成立，则k的最大值．【解析】此题构造乘法的同构显然不可能，因为不等式两边同时乘以x，kx将变成平方，无处遁形，并且出现xe和xln，常数项为1，构造函数xexxh)(，根据题意，ln+lnxxekxexexkxexx，在此基础上进行同构式转换，即xekexhexexexxkxxexkx)1()(lnlnln，原不等式可以转化为同构式xekexhxh)1()(ln)(，由于)(ln)(exhxh恒成立，且当仅当1x时等号成立.故10ke+-£，即1ke£-．注意：若))(())((xqhxph恒成立，且)())(())((xxqhxph，则一定要满足0)(x，此方法属于同构式的单调性和同构式的“保值性”综合题，有一定难度，原理其实很简单，同构式一旦搞定，剩下的就是基本的函数方程不等式的简单思想.以此题为背景的考题非常多，从选填题压轴到解答题压轴，无处不在，常规方法我们不在这里讲述了，大家可以去看一下常规的解答方案.【例6】（2019•武汉调研）已知函数()()()ln0xfxeaaxaaa=--+，若关于x的不等式()0fx恒成立，则实数a的取值范围为（）A．],0(eB．2,0eC．],1[2eD．),1(2e【解析】由题意可知：()lnlnln(1)xeaaxaaaaaxa--=+--，由于xe和)1ln(x明显存在“差一”的错位，无法构造出乘法同构式，思考加法的同构，由于不等式的右边可以提出公因式a，故将其除去，得到式子()()lnln+ln11lnln11xxaeaxeaxa---Þ+--，式子右边没有参数a，但左边存在，根据同构式的形式相似原理，我们需要将aln移至不等式左边，即()lnlnln11xaeax----，显然不等式的两边都加上x即可同构成功，()()ln1lnlnln1xxaexaex--+-+-，构造函数xexxh)(，))1(ln()ln(xhaxh，易知)(xh在区间),0(，只需()()lnln1ln1lnxaxxxa--Þ--，两边取指数得：axex1，这里求最值也可以利用同构式来解决，令xexgx)(，易知exg)(，aexegexexexx21)1(11，2ae\，故选B.注意：指数和对数的变量中出现xe和1lnx，或者1xe和xln，或者xe和)1ln(x，这些有着明显的指对不等式恒成立的式子，通常是加法同构式xexxh)(的常客，在内函数的解不等式中，经常需要几个“亲戚函数”来帮忙，所以我们接下来介绍一下同构式的保值性.秒杀秘籍：考点3利用同构式的保值性秒杀同构式保值性：若)(xh，))((xph，))((xqh中，Dx，Dxp)(，Dxq)(，故)(xh，))((xph，))((xqh的学习数学领悟数学秒杀数学专题13同构式下的函数体系124最值相等.概括起来就是构造了同构式，可以根据外函数的性质直接求出函数的最值．同构式倍值性：在)(xh和))(()(xphmxg满足Dx，Dxp)(，则))(()(xphmxg的最值是)(xh的m倍我们将这个性质概括为同构式的倍值性．下面我们仅以“亲戚函数”的图像和性质来验证这个理论．关于xexxf的亲戚函数一、通过平移和拉伸得到的同构函数如图1：根据求导后可知：xexxf在区间1,，在区间,1，efxf11min．图1图2图3图4如图2：1111xefexeexxx，即将xf向右平移1个单位，再将纵坐标扩大为原来的e倍，故可得xexy1在区间0,，在区间,0，当0x时，1miny．如图3：222222xfeexeexxx，即将xf向右平移2个单位，再将纵坐标扩大为原来的2e倍，故可得xexy2在区间1,，在区间,1，当1x时，eymin．如图4：111111xfeexeexxx，即将xf向左平移1个单位，再将纵坐标缩小为原来的e1倍，故可得xexy1在区间2,，在区间,2，当2x时，2min1ey．二、通过乘除和取倒数导致凹凸反转同构函数如图5：xfexexyxx，即将xf关于原点对称后得到xexy，故可得xexy在区间1,，在区间,1，当1x时，ey1max．图5图6图7图8如图6：11111)1(xfeexeexyxx，即将xf关于原点对称后，向右移一个单位，再将纵坐标缩小e1倍，得到xexy1，故可得xexy1在区间2,，在区间,2，当2x时，2max1ey．学习数学领悟数学秒杀数学专题13同构式下的函数体系125如图7：110xxeyxxxefx，属于分式函数，将xf1关于原点对称后得到，故可得xeyx在区间1,0，在区间,1，当1x时，eymin．如图8：111110111xxeyxxexeefx，属于分式函数，将xf1关于原点对称后，左移一个单位，再将纵坐标缩小e1倍，故可得1xeyx在区间0,1，在区间,0，当0x时，1miny．三、通过取反函数构成的同构函数图9图10图11图12如图9：xfxexxxlnlnlnln，当1,lnx，即ex1,0，当,1lnx，即,1ex，ey1min．如图10：xfxxxxlnlnln11，实现了凹凸反转，原来最小值反转后变成了最大值，当1,ln