高二数学函数的最值与导数2

一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值；如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。极大值与极小值统称为极值。一、函数极值的定义：复习:如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f’(x)0，在x0右侧附近f’(x)0，那么f(x0)是函数f(x)的一个极小值。如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f’(x)0，在x0右侧附近f’(x)0，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值；(1)求导函数f`(x)；(2)求解方程f`(x)=0；(3)列表:检查f`(x)在方程f`(x)=0的根的左右的符号，并根据符号确定极大值与极小值.口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。二、用导数法求解函数极值的步骤：一.最值的概念(最大值与最小值)新课讲授如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的x∈I,总有f(x)≤f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值.最值是相对函数定义域整体而言的.)(xfba,1.在定义域内,最值唯一;极值不唯一;注意:2.最大值一定比最小值大.观察下面函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象,回答:(1)在哪一点处函数y=f(x)有极大值和极小值?(2)函数y=f(x)在[a,b]上有最大值和最小值吗?如果有,最大值和最小值分别是什么?x1x2x3x4x5极大:x=x1x=x2x=x3x=x5极小:x=x4)(3maxxfy)(4minxfy观察下面函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象,回答:(1)在哪一点处函数y=f(x)有极大值和极小值?(2)函数y=f(x)在[a,b]上有最大值和最小值吗?如果有,最大值和最小值分别是什么?极大:x=x1x=x2x=x3极小:abxyx1Ox2x3)(xfy)(maxafy)(1minxfy正确区分极值和最值(1)函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值可以在极值点、不可导点、区间的端点取得，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，最值具有绝对性，极值具有相对性．(2)函数的最值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大的值，最小值是所有函数值中的最小的值；极值只能在区间内取得；但最值可以在端点处取得；极值有可能成为最值．(3)若连续函数在区间(a，b)内值只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．(1)给定的区间必须是闭区间，f(x)在开区间上虽然连续但不能保证有最大值或最小值．如f(x)＝1x，x∈(0,1)，f(x)在区间(0,1)连续，但没有最大值和最小值(如图)．正确理解“在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)必有最值．”此性质包括两个条件：(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点，也不能保证f(x)有最大值和最小值，如函数f(x)＝|x|，－1≤x≤1且x≠0，1，x＝0.在[－1,1]上有间断点，没有最小值(如图)．二.如何求函数的最值?(1)利用函数的单调性;(2)利用函数的图象;(3)利用函数的导数;如:求y=2x+1在区间[1,3]上的最值.如:求y=(x－2)2+3在区间[1,3]上的最值.求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;(2)将函数y=f(x)的各极值点与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的最大值和最小值。解:f′(x)=2x-4令f′(x)=0，即2x–4=0，得x=2x1（1，2）2（2，5）50-+3112故函数f(x)在区间[1，5]内的最大值为11，最小值为2)(xf)(xf例2求函数在[0,3]上的最大值与最小值.4431)(3xxxf解:令]3,0[,04)(2xxxf解得x=2.所以当x=2时,函数f(x)有极小值.34)2(f又由于,1)3(,4)0(ff所以,函数4431)(3xxxf在[0,3]上的最大值是4,最小值是.34当0≤x2时，f’(x)0;当2x≤3时，f’(x)01、函数，在［－1，1］上的最小值为()A.0B.－2C.－1D.13/12A练习432111432yxxx12fxxsinx求()在区间[0，2π]上的最值.2、0，π3、函数（）241xyxA.有最大值2，无最小值B.无最大值，有最小值-2C.最大值为2，最小值-2D.无最值4、函数2()在（-,+)上（）fxxcosxA.是增函数B.是减函数C.有最大值D.有最小值CA•例3、已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1，•(1)试求常数a、b、c的值；•(2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．•[解析](1)由f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0.•又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.∴a＝12，b＝0，c＝－32.(2)f(x)＝12x3－32x，∴f′(x)＝32x2－32＝32(x－1)(x＋1)．当x－1或x1时，f′(x)0；当－1x1时，f′(x)0，∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数．∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.例4、已知三次函数f(x)=ax³-6ax²+b.问是否存在实数a,b，使f(x)在[-1,2]上取得最大值3，最小值-29,若存在，求出a,b的值；若不存在，请说明理由。已知三次函数f(x)=ax³-6ax²+b.问是否存在实数a,b，使f(x)在[-1,2]上取得最大值3，最小值-29,若存在，求出a,b的值；若不存在，请说明理由。练习：1、已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间[1,5]内的最小值为2，求m的值2、设a0，(1)证明f(x)＝ax＋b1＋x2取得极大值和极小值的点各有1个；(2)当极大值为1，极小值为－1时，求a和b的值．a=2,b=0小结•1、用导数求函数最值的方法步骤。•2、正确区分极值最值。•3、会用所学导数知识解决有关函数极值最值的综合问题。；开奖结果vbg48wev家庄，有一位姓张的老乡也在汉口镇上与人合伙做日杂店的生意，并且该老乡准备很快就回老家看望家小了。耿老爹喜出望外，赶快修的书信一封。当日晚饭后，就带上耿正兄妹三人一起出门儿了。父子四人先在镇上最大的食品铺子里称了二斤上好的点心，然后专程上张老乡的住所拜访去了。双方互道姓名认了老乡并问了年庚之后，方知这位张氏老乡还大耿老爹一岁呢。两人当下就以兄弟相称，甚是投缘儿。耿老爹又将耿正兄妹仨挨个儿介绍给这位张老乡。三人都向张伯伯问了好，道了谢。原来，这位张老乡的老家也在相邻县界的边儿上，所以，“三六九镇”与张家庄之间相距只有二十五里远的路程。俗话说“人不亲土亲”，两人都有一种相见恨晚的感觉，越谈越高兴。叙了一会儿话后，耿老爹从怀里拿出书信，对张老乡说：“听说张兄近日准备回归故里看望高堂和妻儿。请回家后一定抽时间辛苦一趟，帮我把这封书信送到我婆姨郭氏的手里。我家的住址和我的名字，我已经详细地写在信封上了。唉，我们走的时候，我的小女儿耿兰才只有四岁，还不大记事儿呢。等到我们十年八载的回去了，只怕早就不认得我这个爹了哇！”人常说“老乡见老乡，两眼泪汪汪”，这话实在不假。这位张老乡对于耿老爹思念妻儿的心情恰是感同身受，而耿老爹家中的妻子对于出门人的挂念他又何尝不能理解呢！于是，他很爽快地答应了耿老爹的请求，说：“唉，出门在外的不容易啊！家中弟妹也一定在日夜牵挂着你们父子四个呢。莫说是来回只有五十里路，就是再远一些，我也一定帮你送到，只管放心就是了。送到以后，我让弟妹也修一封家书，待我返回来的时候再给你们带回来！”耿老爹感激地说：“那感情好啊！我开的‘耿记粮油零售店’就在镇西人口居住最集中的地方，是一个带有小后院儿的临街两层小楼，上面两间我们父子四个人住，下面两间是店铺。”张老乡说：“哦，那一片儿我很熟悉的。待十一月里我返回来以后，就给你送去家书，顺便到你们的店铺里看看！”对于这位张老乡的豪爽与好意，耿老爹实在是千恩万谢难以表达。他挨个儿看过耿正兄妹三个对张老乡说：“我这三个娃娃张大哥你也看到了，都好着呢。你见了他们的娘就告诉她，娃娃们都很好，叫她放心就是。告诉她娃娃们还长高了呢，尤其是我这小儿子，窜高了一大截子不说，也懂事了不少。现在，他已经成了哥哥的好帮手了，每日里随他哥哥跑外进货呢。还有，我这女娃儿和我在店里做零售，接待顾客和管理账目都挺顺手的，是我的好帮手哩！”张老乡再次挨个儿看过耿正兄妹三人，赞叹地说：“耿兄弟这三个娃娃可真齐整，一看就知道是聪明能干的孩子。放心，我一定把你说的话都给弟妹带到！”耿老爹笑着