庄茁200910abaqus课件03连续介质力学

非线性有限元第3章连续介质力学计算固体力学第2讲连续介质力学1引言2变形和运动3应变度量4应力度量5守恒方程6Lagrangian守恒方程7极分解和框架不变性1引言连续介质力学是非线性有限元分析的基石。从描述变形和运动开始。在刚体的运动中着重于转动的描述。转动在非线性连续介质力学中扮演了中心的角色，许多更加困难和复杂的非线性连续介质力学问题都是源于转动。1引言非线性连续介质力学中的应力和应变，有多种方式定义。在非线性有限元程序中应用最频繁的是：应变度量：Green应变张量和变形率。应力度量：Cauchy应力、名义应力和第二Piola－Kirchhoff应力，简称为PK2应力。还有许多其它的度量，过多的应力和应变度量是理解非线性连续介质力学的障碍之一。一旦理解了这一领域，就会意识到这么多的度量没有增加基础的东西，也许只是学术过量的一种显示。我们只用一种应力和应变度量的方式进行讲授，也涉及到其它的方式，以便能够理解文献和软件。1引言守恒方程，通常也称为平衡方程，包括质量、动量和能量守恒方程。平衡方程是在动量方程中当加速度为零时的特殊情况。守恒方程既从空间域也从材料域中推导出来。推导并解释极分解原理，检验Cauchy应力张量的客观率，也称作框架不变率。解释了率型本构方程要求客观率的原因，然后表述了几种非线性有限元中常用的客观率。2变形和运动它们的属性和响应可以用空间变量的平滑函数来表征，至多具有有限个不连续点。它忽略了非均匀性，诸如分子、颗粒或者晶体结构。晶体结构的特性有时也通过本构方程出现在连续介质模型中，但是假定其响应和属性是平滑的，只具有有限个不连续点。连续介质力学的目的就是提供有关流体、固体和组织结构的宏观行为的模型。Kinematicdescription:应变是如何度量的？Kineticdescription:应力是如何度量的？Meshdescription:网格移动如何联系连续体的运动？2变形和运动在初始域和当前域域之间的映射初始构形),(tX当前构形材料点的位置矢量ei直角坐标系的单位基矢量，xi位置矢量的分量。SDniiiiiXX1eeXSDniiiiixx1eex2变形和运动运动描述txtii,,ΦXXx或空间坐标当参考构形与初始构形一致时，在t＝0时刻任意点处的位置矢量x与其材料坐标一致0,Φ0,XXxXt,XΦ一致映射为常数值的线被蚀刻在材料中，恰似Lagrangian网格；它们随着物体变形，当在变形构形中观察时，这些线就不再是Cartesian型。这种观察方式下的材料坐标被称为流动坐标。但是，当我们在参考构形中观察材料坐标时，它们不随时间改变。建立的方程，是在参考构形上观察材料坐标，因此以固定的Cartesian坐标系推导方程。另一方面无论怎样观察，空间坐标系都不随时间变化。材料坐标iX2变形和运动运动描述在流体力学中，根据参考构形来描述运动通常是不可能的，并且没有必要。在固体力学中，应力一般依赖于变形和它的历史，所以必须指定一个未变形构形，普遍采用Lagrangian描述，独立变量是材料坐标X和时间t。XxtttXXXXXu,Φ0,Φ,Φ,位移iiiXxuijiiXtXu,uXuXXvttttt,,Φ,速度v,Xu,Xv,X22ttttta加速度速度是材料点的位置矢量的变化率－材料时间导数2变形和运动运动描述独立变量是空间坐标x和时间t，称为空间或Eulerian描述tttx,,),(XΦvvvjjiijjiiivxvtvttxtvttvDttDv,,,,Xxxx通过链规则得到材料时间导数空间时间导数对流项、迁移项vvvvvxvxvgrad,,tttDttD矢量场的左梯度zfkyfjxfiffgrad空间变量x和时间t的任何函数的材料时间导数可以通过链规则得到tf,x和张量函数tij,x其材料时间导数给出为对于标量函数2变形和运动运动描述ftfftfxfvtfDtDfiigradvvσvσσvσgradttxvtDtDkijkijijyyyxxyxxvvvv,,,,gradvv左梯度矩阵变形梯度－是运动函数的Jacobian矩阵2变形和运动TjijiijXxXFΦXxXΦF0或ijF第一个指标代表运动，第二个指标代表偏导数材料坐标左梯度的转置jijidXFdxdd或XFx直角坐标系下二维的变形梯度给出为YyXyYxXxXxXxXxXx22122111FF的行列式用J表示，称作Jacobian行列式或变形梯度行列式FJdet2变形和运动变形梯度0000,,,fJdfdJdttfdtf或XΦx将当前构形和参考构形上的积分联系起来0,,JdXdYYXfdxdyyxf二维域iixvJJJDtDJvdivJacobian行列式的材料时间导数给出为左散度zvyvxvkvjvivzkyjxivv321321div2变形和运动运动条件除了在有限数量的零度量集合上，假设描述运动和物体变形的映射t,XΦ满足以下条件：连续可微，一对一（F可逆），J0这些条件保证函数足够平滑以至于满足协调性，即在变形物体中不存在缝隙和重叠。运动及其导数可以是非连续或者在零尺度集合上具有非连续的导数（如裂纹），所以它是分段连续可微的。增加不包括零尺度集合的附加条件以解释裂纹形成的可能性。在形成裂纹的表面上，上述条件不满足。零尺度集合在一维情况中是点，在二维中是线，三维中是平面，因为一个点具有零长度，一条线具有零面积，一个表面具有零体积。2变形和运动运动条件变形梯度通常在材料的界面上是非连续的。在某些现象中，例如扩展裂纹，运动本身也是非连续的。要求在运动及其导数中非连续的数量是有限的。实际上发现，有些非线性解答可能拥有无限数量的非连续。然而，这些解答非常罕见，不能被有限元有效地处理，所以将不关注这些解答。第二个条件，即运动为一对一的，要求对于在参考构形上的每一点，在当前构形上有唯一的点与之对应，反之亦然。这是F规则的必要充分条件，即F是可逆的。当变形梯度F是正常的，则，因为当且仅当时F的逆才存在。因此，第二个条件和第三个条件是有联系的。更强的条件是J必须为正而不仅是非零，在第3.5.4节可以看到这遵循了质量守恒。这个条件在零尺度集合上也可以违背。例如，在一个裂纹的表面上，每一个点都成为了两个点。0J0J运动条件一个Lagrangian网格的刚体转动，显示在参考(初始、未变形)构形和当前(变形)构形中观察到的材料坐标。转动是正交变换的一个例子，R是正交矩阵。一个矩形单元的Lagrangian网格的刚体转动，如图所示。可以看出，在刚体转动中单元的边发生转动，但是边与边之间的夹角保持不变。单元的边是X或Y坐标为常数的直线，所以在变形构形中观察时，当物体转动时材料坐标也转动。txXtRtxtttTijijiT,,XxXRXxijTijijTRRR11,RRIRRT一个刚体的运动包括平动和绕原点的转动，刚体转动和坐标转换的关系为2变形和运动yxyxyyxyyxxxyxrrrrRRRRrrcossinsincos二维问题角速度txXtRtxtttTijijiT,,XxXRXx或TTTTTxxxΩxxxRRxv空间坐标TRRΩ角速度张量或角速度矩阵偏对称张量也称作反对称张量0000331212Ω二维问题TTvxxωxv动力学教材中的刚体运动方程2cos1,2sin12sin12,2cos120x332211tbttytbttxtattytattxtyt例3.13节点三角形有限元，设节点的运动为求解变形梯度和Jacobian行列式为时间的函数，当Jacobian行列式保持常数时求出a和b的值。2变形和运动(1)332211332211,,tytytytytytxtxtxtxtxIIIIξξ三角形3节点线性位移单元的构形解：在初始构形中，t=0332211332211)0,()0,(YYYyYXXXxX121122121123113133123322323321yxyxyxxyyxyxxyyxyxxyAξ面积坐标JIJIxxxJIJIyyy)(232122132yxyxA2变形和运动(2)将未变形构形中的节点坐标代入上式332211332211)0,()0,(YYYyYXXXxX在初始构形中，t=0031XX22X021YY13Y32,2YX得到三角形坐标与材料坐标之间的关系即YX32,212cos12sin1,2sin12cos1,tbtYtatXtytbtYtatXtxXX得到运动的表达式变形梯度为2cos12sin12sin12cos1tbttattbttatYyXyYxXxF2变形和运动将(1)和(3)代入(2)(3)在单元中的位移是材料坐标的线性函数，变形梯度仅为时间函数，若给定时间，F为常数。Jacobian行列式给出为2cos12sin12sin12cos1tbttattbttatYyXyYxXxF变形梯度为btatttbtatJ112sin2cos11det22F0ba当1JJ的行列式为常数，这种运动是没有变形的转动；atab1/当一个剪切变形和一个转动，其中单元的面积保持常数。这种类型的变形称为等体积变形；不可压缩材料的变形就是等体积变形。2变形和运动J行列式也保持常数，这种情况对应于例3.3一个单位正方形4节点单元，其中3个节点固定。求导致Jacobian行列式等于零时节点3位置的轨迹。除节点3之外所有节点均固定，矩形单元的位移场由双线性场给出XYuYXuXYuYXuyyxx33,,,2变形和运动沿着由节点1和2以及节点1和4所定义的边界上位移场为零，运动为XYuYuYyXYuXuXxyyxx33变形梯度XuYuXuYuyyxx333311F则Jacobian行列式为XuYuJyx331detF1,0X1,0Y检验什么时候Jacobian行列式为零，只需考虑单元未变形构形中材料点的Jacobian行列式，即单位正方形显然03xu且03yuJ是最小当1YX010103333yxyxuuXuYuJ0J对应的点的轨迹由节点位移的线性函数给定0J节点3越过未变形单元的