复变函数与积分变换课件-(1)

《复变函数与积分变换》ComplexFunctionsandIntegralTransforms主讲人：刘凯课程的安排教学内容和考试内容：前五章为啥呢？理由有三：1.课时原因（32-（2，4）实习）2.学习必要的基础知识，后面需要时可自学。3.期末考试简单。期末考试1.闭卷考试2.平时成绩大约3成，期末卷面成绩7成3.平时成绩就是课堂表现和点名！欢迎，来到复（虚数）数的世界，如果你来了，你听了，你会……*1.高等数学的后继课程。*2.没什么新概念，其实就是把以前的概念，在复域中验算一遍！*3.复域的神奇，体会复域的优势。*4.在未来的研究中，你可能用得到哦！*5.增加2个学分！！但是，你也会发现，如果你……*1.翘课，打瞌睡，玩手机…后果就是:*1.啥也没学会啊，老师是谁啊？啥名字来？*2.挂科警报！*3.考试时忐忑不安,左顾右盼!复数的起源先从一元二次方程谈起:公元前400年，巴比伦人发现和使用则当时无解，当时有解．),0(,02acbxaxaacbbx242042acb042acb二千多年没有进展：寻找三次方程023dcxbxax的一般根式解．.0)3()2(,)3()2(2)3()2(232332332时无解但当mnmnnmnnxG.Cardano(1501-1576):“怪才”,精通数学,医学,语言学,文学,占星学.在1545年ArsMagna（《大术》）中解方程x3+mx+n=0得G.Cardano还发现1040xx没有根，形式地表为515515与这样一个数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并得到了大家的一片“嘘声”，若干重要人物开始登场你所能想到的国外著名数学家，都有谁呢？R.Descartes(笛卡儿)(法国,1596-1650),是伟大的哲学家、物理学家、数学家、生理学家。解析几何的创始人。1637他称一个负数的开方为虚数(imaginarynumber).L.Euler(瑞士，1707-1783):史上最多产的一位杰出的数学家，886本书籍和论文,其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%.13岁入大学，17岁获硕士,30岁右眼失明，60岁完全失明．1748年：Euler公式cossiniei1777年：首次使用i表示，创立了复变函数论，并应用到水利学，地图制图学．C.Wessel(挪威1745-1818)和R.Argand(法国1768-1822）将复数用平面向量或点来表示．K.F.Gauss(德国1777-1855)与W.R.Hamilton(爱尔兰1805-1865)定义复数为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的怀疑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展．aib数学王子高斯Cauchy(1798-1857):法国数学家.他是被认为在数学论文数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书.主要贡献如下:单复变函数,分析基础,常微分方程等。于1825年的一本小册子《关于积分限为虚数的定积分的报告》，可看成是复分析发展史的第一座里程碑。Riemann(1826-1866):德国数学家,Gauss晚年的学生.19世纪极富创造性的数学家之一.在复变函数论、傅立叶级数、几何学基础、素数分布等方面都有重要贡献.Riemann猜想(数学中最重要的问题)sppnsns1111)(11859年，黎曼提出了关于黎曼－ζ函数的6个猜想，包括著名的黎曼猜想：的全体非平凡零点都位于Re(s)=1/2直线上。黎曼广泛使用解析函数的工具研究数论，开创了解析数论这一新的分支。1851年,Riemann的博士学位论文单复变函数一般理论基础“包含了现代复变函数论主要部分的萌芽,而且开启了拓扑学的系统研究,革新了代数几何,并为Riemann自己的微分几何研究铺平了道路”(L.V.Ahlfors评语).是他才真正使Cauchy-Riemann方程成为复分析大厦的基石。这篇论文一个突出特征是其中的几何观点.由于Riemann曲面概念远非是直观的,它无法在高维空间里准确表示,为此还曾遭到Weierstrass的反对:几何幻想物.Riemann的博士论文:Weierstrass(德国1815-1897).他的工作以严格著称,获得了现代分析之父的称号.他不仅拒绝使用Cauchy通过复积分所获得的结果,也不能接受Riemann提出的那种几何超验方法.他相信函数论的原理必须建立在代数真理的基础上,所以他把目光投向了幂级数,为复变函数论开辟了又一条研究途径.研究复分析的中国著名数学家（及华人）熊庆来(1893-1969):中国数学界的一代宗师.主要从事函数论方面的研究,国际公认有“熊氏无穷数”,“熊氏定理”,“熊氏不等式”等.我国许多著名科学家,如数学家徐宝禄、段学复、庄圻泰,华罗庚，陈省身,杨乐,张广厚等,物理学家严济慈、赵忠尧、钱三强、赵九章，化学家柳大纲等均是他的学生.华罗庚(1910-1985年)中国著名数学家。中国科学院院士。主要从事解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论、多复变函数论、偏微分方程、高维数值积分等领域的研究与教授工作并取得突出成就.他在多元复变数函数论方面的贡献，影响到世界数学的发展。他在解析数论方面的成就尤其广为人知，国际间颇有名气的中国解析数论学派即以华罗庚为首开创的学派.钟家庆(1937～1987),研究方向甚广,重点在于多元复变函数论,复流形与微分几何。荣获首届陈省身数学奖.陆启铿(1927-2015):中国科学院院士.主要从事多复分析,数学物理研究.获得华罗庚数学奖.50年代引入了Schwarz解析不变量的概念;与华罗庚合作建立了典型域上调和函数的系统理论。1966年提出了陆启铿猜想。70年代指出物理上规范场与数学上的主纤维丛的联络的关系,证明杨振宁的规范场的积分定义等价于沿一曲线的平行移动;在有界域解析映照的固有微分的估值研究方面取得重要成果.杨乐:中国科学院院士.在函数模分布论、辐角分布论、正规族等方面的研究成果突出获得华罗庚数学奖和陈省身数学奖。萧荫堂（Yum-TongSiu）哈佛大学教授，是目前世界上最一流的数学家之一。主要从事复几何与代数几何的研究。曾获得美国国家科学院院士，并在国际数学家两次大会主讲。复变函数论的应用复变函数论其它学科得到了广泛的应用，有很多复杂的计算都是用它来解决的。如物理学上有很多不同的稳定平面场的计算。俄国的茹柯夫斯基用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数论在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。数学中的一朵奇葩就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。《复变函数》是数学所有专业的核心基础课程,理工科学生必须掌握的数学学科。第一章复数与复变函数§1.1复数及其运算定义对任意两实数x、y,称z=x+iy或z=x+yi为复数。称为虚单位。其中ii,121.复数的概念虚数单位的特性:;1ii;12i;23iiii;1224iii;145iiii;1246iii;347iiii;1448iii……则是正整数一般地，如果,n,14ni,14iin,124ni.34iin一般,任意两个复数不能比较大小。•复数z的实部Re(z)=x;虚部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)0||22yxz•复数的模121212111222,,,0Re()Im()0zzxxyyzxiyzxiyzzz其中•判断复数相等0,0,;iyxyz当时称纯虚数为0,.0,zxyix实把看作数当时它C.全体复数的集合记为注意：例1复数取何值时实数,m)43(2mm.)2(;)1(纯虚数实数是imm)65(2解令,432mmx,652mmy,0,)1(y则如果复数是实数.160652mmmm或知由,00,)2(yx且则如果复数是纯虚数.140432mmmm或知由.10应舍去知但由my.4m即只有定义z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2))0(||||222211222212121zzyxyxizyyxxzzz2.代数运算•四则运算z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.•运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律。（与实数相同）即，•共轭复数的性质2121)()1(zzzz2121)(zzzz2121)(zzzzzz)2(2||1zzz2222)Im()Re()3(yxzzzz)Im(2)Re(2)4(zizzzzz3.共轭复数定义若z=x+iy,称z=x-iy为z的共轭复数.(conjugate).,)(,,43,55:1212121虚部及它们的实部求设例zzzziziz574355:21iiizz解411:2ii求例iii11)(.,0aaaa.3011-1nn现实多项式的零点成对出也是其根则的根是实系数方程证明若例zxxxznn22212212212:.4zzzzzz证明例二、复数的几何表示1.复平面的定义..,,,.),(面面叫复平这种用来表示复数的平轴叫虚轴或纵轴轴通常把横轴叫实轴或用来表示复数的平面可以一个建立了直角坐标系因此对应成一一与有序实数对复数yxyxiyxz.),(表示面上的点可以用复平复数yxiyxz),(yxxyxyoiyxz2.复数的模(或绝对值),的模或绝对值向量的长度称为z,表示可以用复平面上的向量复数OPiyxz.22yxrz记为xyxyoiyxzPr显然下列各式成立,zx,zy,yxz.22zzzz,zaibwuiv定义两点的距离为22.zwaubv－＝－＋－22.zwaubv－＝－＋－满足的θ0称为辐角Argz的主值，记作θ0=argz。3.复数的辐角说明,0有无穷多个辐角任何一个复数z,1是其中一个辐角如果的全部辐角为那么z1Arg2π().zkk为任意整数.Arg,,,0zzOPzz记作的辐角称为为终边的角的弧度数的向量以表示以正实轴为始边的情况下在0xyzz/)Argtan(0时，0,00,0arctan0,02,0arctanargyxyxxyyxRyxxyz计算argz(z≠0)的公式,0,0,zz时当特殊地辐角不确定.练习：求下列复数的辐角主值12i1322ioxy(z)z1z212121212)(:zzzzzzzz三角不等式由此得4.由向量表示法知之间的距离与点—2112zzzz3.三角表示法)sin(cosirz得由sincosryrx4.指数表示法得公式再由sincos:ieEuleriirez例1将下列复数化为三角表示式与指数表示式.1)122;2)sin