浅谈数形结合思想在中学数学的应用

浅谈数形结合思想在中学数学的应用（作者：刘玉平中江县城北中学）数形结合的思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形为手段，数做目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精准性和规范严密性来阐明形的某些属性，，即以数为手段，形做目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。它既是数学学科中的重要思想，又是研究数学的常用方法。在数学解题中实现数形结合，具体的说就是对问题中的条件和结论既分析其代数意义又分析其几何意义，力求在代数与几何的结合点上寻求最为简捷的思路与方法。同时，它也是高考试题中常考查的一个知识点，帮助我们快速解题，赢得时间。然而，学生却容易被忽略这种思想，即使应用起来却也显得比较生疏。运用数形结合思想分析解决问题时要遵循三个原则：（1）等价性原则：要注意由于图象不能准确刻画数量关系所带来的负面效应；（2）双方性原则：既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错；（3）简单性原则：不是为了“数形结合”而数形结合。具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二是选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系做好转化；三是要挖掘隐含条件，准备界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线。应用数形结合的思想方法解题，通常从以下几个方面入手：（1）函数与函数图象；（2）不等式与函数图象；（3）曲线与方程；（4）参数本身的几何意义；（5）代数式的结构特点；（6）概念自身的几何意义；（7）可行域与目标函数的最值；（8）向量的两重性。高考试题对数形结合的考查主要涉及：（1）集合及其运算——Venn图与数轴；（2）用函数解决有关问题（如方程、不等式等问题）；（3）运用向量运算解决的有关问题；（4）三角函数的图象与应用；（5）数轴及直角坐标系的广泛应用；（6）数学概念及数学表达式几何意义的应用；（7）解析几何、立体几何中的数形结合。下面，笔者浅析几种常见应用：1、已知axx21对任意的Rx恒成立，求实数a的取值范围。解析：本题若运用绝对值的几何意义：21xx表示数轴上的点分别到1与2的距离之和，通过作图可知，对于任意实数x均有321xx，欲使得axx21对任意的Rx恒成立则只需让实数a小于或等于21xx的最小值，于是可得：3a。2、已知数列na的通项公式为8079nnan（*Nn），当na取得最大值时,求n的值。解析：若先对8079nnan（*Nn）分离变量，再运用函数的单调性，借助图形可知当n=9时na最大。解：8079nnan=8079801n利用函数f(x)=8079801x的单调性知，f(x)在x)80,(上是递增的；在x),80(上是递减的。*Nn∴当n=9时，na最大。3、已知2222)2()1()1(yxyxm，求实数m的最小值。解析：本题运用数形结合的思想可知，实数m的值可看直角坐标平面内的点P（x,y）分别到点A（1，0）与B（1，2）的距离之和。在直角坐标平面内，当P在线段AB上时，P到两点距离之和最小。解：m22)20()]1(1[22，故m的最小值为22。4、已知直线l的方程为：(2m-1)x+my+m+2=0,求点P（1，2）到直线l的距离的最大值。解析：大多数学生一般用点到直线的距离处理，运算比较复杂。若通过数形结合可知，l恒过定点Q，当PQl时，点P到l的距离最大。解：由题意可得，直线l的方程为：(2m-1)x+my+m+2=0∴直线l恒过定点Q（2，-5）当点P到定点Q距离即为点P到的直线l的最大距离∴点P到的直线l的最大距离为PQ=25)25()12(22。5、若直线1xyab与圆221xy有公共点，则（）A．221ab≤B．221ab≥C．22111ab≤D．2211ab≥1解析：本题考查了直线与圆的位置关系，运用圆心到直线的距离比半径小的思想。解：由题意可得0abaybx直线方程可化为：∴22baabd122baab∴2222baba∴11122ba故选D。6、已知点P是椭圆1162522yx上的动点，F为椭圆的右焦点，定点A（-1，2），求PFAP35的最小值。解析：由椭圆的第二定义知，PF35可表示为点P到准线的距离。通过作图可知，AB即是最小值。解：由题意可知，∵CPPAPBAP∴当过A作垂直准线的垂线段的长AB即是PFAP35的最小值。∵准线的方程为：x=325∴AB=325)1(=3287、已知函数321()(2)13fxaxbxbx在1xx处取得极大值，在2xx处取得极小值，且12012xx．（1）证明0a；（2）若z=a+2b,求z的取值范围。解：求函数()fx的导数2()22fxaxbxb．（Ⅰ）由函数()fx在1xx处取得极大值，在2xx处取得极小值，知12xx，是()0fx的两个根．所以12()()()fxaxxxx当1xx时，()fx为增函数，()0fx，由10xx，20xx得0a．（Ⅱ）在题设下，12012xx等价于(0)0(1)0(2)0fff即202204420babbabb．化简得203204520babab．此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线：203204520babab，，．所围成的ABC△的内部，其三个顶点分别为：46(22)(42)77ABC，，，，，．z在这三点的值依次为16687，，．所以z的取值范围为1687，．数形结合思想的在数学应用中非常广泛，在函数的单调性，数列，解析几何，立体几何，导数，排列组合等中，数形结合都能取得一些意想不到的效果。我们掌握并熟练的应用它，不论是分析还是解题都会给我们带来许多的帮助。