2016陕西省聚焦中考数学 课件：第四章 三角形第15讲 锐角三角函数和解直角三角形

2．(2015·陕西)如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则∠A的度数约为________(用科学计算器计算，结果精确到0.1°)．C27.8°1.(2011·陕西)在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，则cosB＝()A.512B.125C.513D.12133．(2010·陕西)在一次测量活动中，同学们要测量某公园的码头A与他正东方向的亭子B之间的距离，如图，他们选择了与码头A、亭子B在同一水平面上的点P，在点P处测得码头A位于点P北偏西方向30°方向，亭子B位于点P北偏东43°方向；又测得P与码头A之间的距离为200米，请你运用以上数据求出A与B的距离．解：作PH⊥AB于点H.则∠APH＝30°，在Rt△APH中，AH＝100，PH＝AP·cos30°＝1003，在Rt△PBH中，BH＝PH·tan43°≈161.5，AB＝AH＋BH≈262.答：码头A与B距离约为262米4．(2012·陕西)如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上的凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东65°方向，然后，他从凉亭A处沿湖岸向正东方向走了100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东45°方向(点A，B，C在同一水平面上)．请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离(结果精确到1米)．(参考数据：sin25°≈0.4226，cos25°≈0.9063，tan25°≈0.4663，sin65°≈0.9063，cos65°≈0.4226，tan65°≈2.1445)解：作CD⊥AB交AB的延长线于点D，则∠BCD＝45°，∠ACD＝65°，在Rt△ACD和Rt△BCD中，设AC＝x，则AD＝xsin65°，BD＝CD＝xcos65°，∴100＋xcos65°＝xsin65°，∴x＝100sin65°－cos65°≈207(米)，∴湖心岛上的迎宾槐C处与凉亭A处之间距离约为207米D【例1】(2015·乐山)如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为()A.33B.55C.233D.255【例2】如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝23，求AB的长．解：过点C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝23，∴CD＝AC×sinA＝23×0.5＝3，AD＝AC×cosA＝23×32＝3，在Rt△BCD中，∠B＝45°，则BD＝CD＝3，∴AB＝AD＋BD＝3＋3【点评】本题主要考查了三角函数的定义，解决此类题的关键是找准线段及角的关系．A[对应训练]1．(2015·崇左)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则下列三角函数表示正确的是()A．sinA＝1213B．cosA＝1213C．tanA＝512D．tanB＝125D2．(2015·兰州)如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cosA＝()A.52B.12C.255D.553.(2015·宁夏)在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sinB＝13，AD＝1.求BC的长．解：在Rt△ABD中，∵sinB＝ADAB＝13，又∵AD＝1，∴AB＝3，∵BD2＝AB2－AD2，∴BD＝32－12＝22.在Rt△ADC中，∵∠C＝45°，∴CD＝AD＝1，∴BC＝BD＋DC＝22＋1【例3】(2015·青岛)小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，35°.已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，请求出热气球离地面的高度．(结果保留整数)(参考数据：sin35°≈712，cos35°≈56，tan35°≈710)解：作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，由题意得∠ABD＝45°，∠ACD＝35°，在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，∴DB＝x，在Rt△ADC中，∠ACD＝35°，∴tan∠ACD＝ADCD，∴xx＋100＝710，解得x≈233m，∴热气球离地面的高度约为233m【例4】(2015·河南)如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠FAE＝30°，求大树的高度(结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，3≈1.73)解：如图，过点D作DG⊥BC于G，DH⊥CE于H，则四边形DHCG为矩形，故DG＝CH，CG＝DH，在直角三角形AHD中，∵∠DAH＝30°，AD＝6，∴DH＝3，AH＝33，∴CG＝3，设BC为x，在直角三角形ABC中，AC＝BCtan∠BAC＝x1.11，∴DG＝33＋x1.11，BG＝x－3，在直角三角形BDG中，∵BG＝DG·tan30°，∴x－3＝(33＋x1.11)·33，解得x≈13，∴大树的高度为13米【点评】此题考查了坡度、坡角问题以及俯角、仰角的定义．要注意根据题意构造直角三角形，并解直角三角形；注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．[对应训练]1．(2015·邵阳)一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．(sin53°≈0.8，cos53°≈0.6)解：过点C作CD⊥AB交AB延长线于D.在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AC＝80海里，∴CD＝12AC＝40海里．在Rt△CBD中，∵∠CDB＝90°，∠CBD＝90°－37°＝53°，∴BC＝CDsin∠CBD≈400.8＝50(海里)，∴海警船到达事故船C处所需的时间大约为50÷40＝54(小时)2．(2015·岳阳)如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为AC，椅面宽为BE，椅脚高为ED，且AC⊥BE，AC⊥CD，AC∥ED.从点A测得点D，E的俯角分别为64°和53°.已知ED＝35cm，求椅子高AC约为多少？(参考数据：tan53°≈43，sin53°≈45，tan64°≈2，sin64°≈910)解：在Rt△ACD中，tan∠ADC＝tan64°＝ACCD＝2，CD＝AC2①.在Rt△ABE中tan∠AEB＝tan53°＝ABBE＝43，BE＝34AB②.由BE＝CD，得AC2＝AB＋BC2＝AB＋352＝34AB，解得AB＝70cm，AC＝AB＋BC＝AB＋DE＝70＋35＝105cm3．(2015·广安)广安市政府对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡AB长602米，坡角(即∠BAC)为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE(下面两个小题结果都保留根号)．(1)若修建的斜坡BE的坡比为3∶1，求休闲平台DE的长是多少米？(2)一座建筑物GH距离A点33米远(即AG＝33米)，小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°.点B，C，A，G，H在同一个平面内，点C，A，G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？解：(1)∵FM∥CG，∴∠BDF＝∠BAC＝45°，∵斜坡AB长602米，D是AB的中点，∴BD＝302米，∴DF＝BD·cos∠BDF＝302×22＝30(米)，BF＝DF＝30米，∵斜坡BE的坡比为3∶1，∴BFEF＝31，解得EF＝103(米)，∴DE＝DF－EF＝30－103(米)．答：休闲平台DE的长是(30－103)米(2)设GH＝x米，则MH＝GH－GM＝x－30(米)，DM＝AG＋AP＝33＋30＝63(米)，在Rt△DMH中，tan30°＝MHDM，即x－3063＝33，解得x＝30＋213，答：建筑物GH的高为(30＋213)米4．(2015·上海)如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音(XRS)的影响．(1)过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(精确到1米)(参考数据：3≈1.7)解：(1)连接PA，由题意知，AP＝39m．在直角△APH中，PH＝AP2－AH2＝392－152＝36(米)(2)由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．在Rt△ADH中，DH＝AHtan30°＝153(米)．在Rt△CDQ中，DQ＝CQsin30°＝3912＝78(米)，则PQ＝PH＋HQ＝PH＋DQ－DH＝36＋78－153≈114－15×1.7＝88.5≈89(米)．答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89米