材料力学课件-第六章-弯曲应力

MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage1§6-2弯曲正应力第六章弯曲应力§6-1引言§6-3弯曲切应力§6-4梁的强度条件§6-5梁的合理强度设计§6-6双对称截面梁的非对称弯曲MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage2§6-1引言FF(1)(2)若梁的横截面积相同(1)，(2)两种情况那种情况对梁承载有利？MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage3对称弯曲：MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage4弯曲正应力弯曲切应力dAdAFSM梁弯曲时横截面上的应力弯曲正应力M弯曲切应力SFMsFMECHANICSOFMATERIALSBUAAPage5§6-2对称弯曲正应力横截面上的内力与应力的关系：AMydA弯曲应力问题是一个静不定问题研究思路——静不定问题的分析方法几何、物理、静力学三方面分析1、几何方面观察外部变形方法：假设内部变形建立几何方程dAMMECHANICSOFMATERIALSBUAAPage6观察外部现象：观察结果：横线：仍为直线仍与纵线正交两横线相对转动纵线：变为曲线上缩短，下伸长横截面：上宽度变宽，下宽度变窄。1、平面假设：变形后，横截面仍为平面，且仍与纵线正交2、单向受力假设：梁内各纵向纤维仅受轴向应力内部变形一、实验观测与假设MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage7推论：一侧伸长，一侧缩短存在既不伸长，也不缩短的面MM中性层中性层变形过程中横截面绕中性轴相对转动MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage81.几何方面考察线段ab的变形：abdxd变形前：变形后：()abydababydydydxdyz中性轴二、弯曲正应力一般公式da’b’dx中性层aby几何方程MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage92、物理方面：由胡克定律和单向受力假设：yEEyy—偏离中性轴的坐标值—中性层的曲率半径中性轴位置？的大小?yEMECHANICSOFMATERIALSBUAAPage103、静力学方面：0AdAAydAMMdA0AydA静矩，确定中性轴位置确定中性层的曲率半径2AEydAM1zMEI2zAIydA定义yyE中性轴过截面形心中性轴位置：yz中性轴MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage11yyE1zMEI结论：zMyI应力分布c,maxt,maxmaxmaxmax/zzMyMIIyzzIWy定义maxzMW抗弯截面系数最大弯曲正应力MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage1234132D464D44164D332D3112bh216bh截面zIzWDzyoDzyodhzyob()dD典型截面的惯性矩与抗弯截面系数MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage13小结中性轴过截面形心zEIM1z)(IMyy中性轴位置：截面弯曲刚度）－（zEIzWMmax抗弯截面系数）－（zW正应力公式：中性层曲率：maxp，对称弯曲,纯弯与非纯弯惯性矩）－（zI应用条件：MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage14例：简支梁受均布载荷作用，若分别采用截面面积相等的实心圆截面和空心圆截面求梁的最大正应力A2/qkNm2mBD2d2D1解：()222122DDd4422d3D5,2D50mm2d30mmDmm140,dD2235MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage151最大弯矩：max21Mql1000Nm82实心轴：139z1M1000159MpaW401032maxmax＝3空心轴：maxmax.2z2M937MpaW4比较最大正应力maxmaxmax..%121159933100411159空心轴的最大正应力比实心轴减小41.1%MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage16作业：习题6-3MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage17中性轴与中性层中性轴过截面形心zEIM1z)(IMyy中性轴位置：截面弯曲刚度）－（zEIzWMmax抗弯截面系数）－（zW正应力公式：中性层曲率：惯性矩）－（zI分布规律:上一讲回顾沿截面高度线性,中性轴处为零,一侧拉,一侧压MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage18§6-3弯曲切应力一、矩形截面梁的弯曲切应力（对称弯曲）(hb)梁在非纯弯段，横截面上一般同时存在剪力和弯矩，此时，横截面上同时存在弯曲正应力和弯曲切应力。FSyzy(y)横截面两侧边缘的各点：//侧边；一般梁横截面窄而高；假设(y)的分布形式假设横截面上各点：//截面侧边并沿截面宽度方向均匀分布MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage19利用分离体平衡来求横截面上的切应力FSM+dMFSMdxdxb(y)F1F2yzdA1FdAx方向平衡：12()FybdxF21()FFybdxMECHANICSOFMATERIALSBUAAPage201FdA21()FFybdxzMyI1zMFydAI()zydAS1()zzMSFI2()()zzMdMSFI()()zzdMSyIbdxSdMFdx()()SzzFSyIb公式推导过程yzMECHANICSOFMATERIALSBUAAPage21S()()zzFSyIbl1()222zhhSbyy22S4123)(hybhFyAFSmax23zbhI312bhy2224SFCzy2h2h2b2byOmax截面静矩与惯性矩l最大切应力发生在中性轴l弯曲切应力沿横截面的分布规律：MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage22截面翘曲与非纯弯推广Omax•平截面假设不再严格成立矛盾解法•切应力利用纯弯正应力公式推导•纯弯正应力公式依据平截面假设•切应力非均匀分布引起截面翘曲•但当l»h时，纯弯正应力公式用于横力弯曲仍然相当精确MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage23二、工字形薄壁梁的弯曲切应力工字形梁的弯曲切应力b/2b/2h/2h/2h0/2h0/2zyC翼缘腹板腹板：//腹板侧边，均匀分布。翼缘：//翼缘侧边，均匀分布。分析方法：分离体平衡腹板：()()SzzFSyIb22220()[()(4)]8SzFybhhhyI翼缘：0()()4SzFhhyI翼缘与腹板的交接处：应力分布较复杂，有应力集中现象F1F2tdxMECHANICSOFMATERIALSBUAAPage2422max66bhFlbhFlbhF23maxhlFbhbhFl43262maxmax横截面上各点假设：//侧边，或//剪力沿截面宽度方向均匀分布h/b值对解的影响：h/b越大，解越精确。(h/b2时，足够精确)FlbzyhC三、弯曲正应力与弯曲切应力比较当lh时，maxmaxMECHANICSOFMATERIALSBUAAPage25一、梁危险点处的应力状态矩形截面梁:危险点：a,c点处:单向应力；b点处:纯剪切§6-4梁的强度条件Czyabc,maxC,maxtmaxabc,maxC,maxtmaxMECHANICSOFMATERIALSBUAAPage26薄壁截面梁:c,d点处:单向应力a点处:纯剪切b点处:,联合作用Cyz1maxabcd,maxC,maxt1maxOyabc,maxC,maxtmaxd1111危险点：MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage27二、梁的强度条件•弯曲正应力强度条件：•弯曲切应力强度条件：•,联合作用强度条件（详见第9章强度理论）][maxmaxzWM][maxmax,maxzzSISFmax：最大弯曲正应力[]：材料单向应力许用应力max：最大弯曲切应力[]：材料纯剪切许用应力amaxc,maxC,maxtdb11MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage28三、梁强度条件的选用细长非薄壁梁：短粗梁、薄壁梁与M小FS大的梁：maxmax][max][max][maxM有时需考虑,联合作用的强度条件][][maxt,maxc,tc梁强度问题的分析步骤：1、内力分析——确定危险截面2、应力分析——确定危险点3、根据强度条件进行强度校核。MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage29上一讲回顾对称弯曲切应力：矩形截面梁：S()()zzFSyIb22S4123)(hybhFyAFSmax23切应力沿截面高度呈抛物线分布SFCzy2h2h2b2byOmax最大切应力发生在中性轴MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage30()()szzFSIt221()()81()2()()4zszSHhtHhFHhI翼缘2222222222222max2()()()822()[()(4)]8[()]8zszsztbhSHhyFybHhthyItFbHbthIt腹板sFbHh1tyz2tmax工字形截面梁的弯曲切应力MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage31弯曲正应力强度条件：弯曲切应力强度条件：,联合作用强度条件（详见强度理论）maxmax[]zMW,maxmaxmax[]SzzFSI梁的强度条件：MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage32梁强度条件的选用细长非薄壁梁：短粗梁、薄壁梁、M小FS大的梁：maxmax][max][max][maxM有时需考虑,联合作用的强度条件][][maxt,maxc,tc梁强度问题的分析步骤：1、内力分析——确定危险截面2、应力分析——确定危险点3、根据强度条件进行强度校核。MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage33铸铁梁，y1=45mm，y2=95mm，[t]=35MPa，[c]=140MPa，Iz=8.8410-6m4，校核梁的强度解：MD－最大正弯矩MB－最大负弯矩例：1、内力分析——确定危险截面：危险截面－截面D,BMECHANICSOFMATERIALSBUAAPage34daBDyy,MMdazDaIyM2MPa859-.zDbIyM1MPa328.zBcIyM2MPa633.MPa859maxc,.aMPa633maxt,.c[]c[]t截面D截面B2、应力分析——确定危险点：危险点－a,b,c3、强度校核：结论：该梁能安全工作MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage35§6-5梁的合理强度设计将较多材料放置在远离中性轴的位置，并注意塑性与脆性材料的差异一、梁的合理截面形状CyzMECHANICSOFMATERIALSBUAAPage36塑性材料上下对称脆性材料梁tc•截面等强设计ccttyy中性轴偏于受拉一侧MECH