第十二章全等三角形知识点和典型例习题

第1页共25页第十二章全等三角形知识点和典型例习题知识点1、全等三角形的定义和表示方法（1）定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。（2）全等三角形的形状和大小完全相同，只是位置不同，其中一个经过平移、旋转、翻折等变换后必定与另一个重合。重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角（3）“全等”用“≌”表示，读作“全等于”，记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。（4）寻找对应元素的方法：①根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。②根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；③通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。平移如图（1），DEF≌ACB，DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移动而得到的。旋转如图（2），COD≌BOA，COD可以看成是由BOA绕着点O旋转180得到的；翻折如图（3），BOC≌EOD，BOC可以看成是由EOD沿直线AO翻折180得到的；图1图2图3知识点2、全等三角形的性质（1）性质：全等三角形中，对应边相等，对应角相等。（对边、对角的区别）（2）全等三角形的对应线段（对应边上的中线，对应边上的高，对应角的平分线）相等。（3）全等三角形的周长相等，面积相等。知识点3、全等三角形的判定（1）“边边边”（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。（2）“边角边”（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（3）“角边角”（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（4）“角角边”（AAS）：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。（5）“斜边，直角边”（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是:①三个角对应相等，即AAA；②有两边和其中一角对应相等，即SSA。第2页共25页知识点4、全等三角形的证明思路）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AASASAASAAASSASAASSSSHLSAS知识点5、全等三角形的综合应用利用全等三角形可以测出不能（或不易）直接测量长度的线段长，例如，河宽，或利用全等测量小口瓶的内径等。知识点6、证明方法（1）综合法（执因索果）、分析法（执果索因）（2）证面积关系：将面积表示出来（3）证线段相等、角相等常通过证三角形全等（其余有关线段和角相等的定理）（4）证线段倍分关系：加倍法、折半法（5）证线段和差关系：截长法、补短法知识点7、角平分线的作法、性质和判定（1）角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。（2）角平分线的判定：到一个叫两边的距离相等的点在这个角的平分线上。知识点8、常见辅助线的作法有以下几种：（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．（2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．（3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（4）遇到垂直平分线，可作线段两端的连线，利用垂直平分线的性质解题。（5）三角形中两中点，连接则成中位线，利用中位线的性质解题。（6）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”（7）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．（8）特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．三角形辅助线做法图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。第3页共25页一、角平分线－－轴对称1、已知在ΔABC中，E为BC的中点，AD平分BAC，BDAD于D．AB＝9，AC＝13．求DE的长．CBADECBADEF分析：延长BD交AC于F．可得ΔABD≌ΔAFD．则BD＝DF．又BE＝EC，即DE为ΔBCF的中位线．∴22121ABACFCDE2、已知在ΔABC中，108A，AB＝AC，BD平分ABC．求证：BC＝AB＋CD．DABCDABCE分析：在BC上截取BE＝BA，连接DE．可得ΔBAD≌ΔBED．由已知可得：18ABDDBE，108ABED，36CABC∴72DECEDC，∴CD＝CE，∴BC＝AB＋CD．3、已知在ΔABC中，100A，AB＝AC，BD平分ABC．求证：BC＝BD＋AD．ABCDABCDEF分析：在BC上分别截取BE＝BA，BF＝BD．易证ΔABD≌ΔEBD．∴AD＝ED，100ABED．由已知可得：40C，20DBF．由∵BF＝BD，∴80BFD．由三角形外角性质可得：40CDFC．∴CF＝DF．∵100BED，∴80BFDDEF，∴ED＝FD＝CF，∴AD＝CF，∴BC＝BD＋AD．4、已知在ΔABC中，ACBC，CEAB，AF平分CAB，过F作FD∥BC，交AB于D．求证：AC＝AD．ACBEFDACBEFDG分析：延长DF交AC于G．∵FD∥BC，BC⊥AC，∴FG⊥AC．易证ΔAGF≌ΔAEF．∴EF＝FG．则易证ΔGFC≌ΔEFD．∴GC＝ED．∴AC＝AD．5、如图，在ΔABC中，2BC，ADD平分BAC．求证：AC＝AB＋BD．ABCDABCDE分析：在AC上截取AE＝AB，连接DE．则ΔABD≌ΔAED．∴BD＝DE．∴BAEDCEDC．又∵2BC，∴CEDC．∴DE＝CE．∴AC＝AB＋BD．第4页共25页6、如图（1）所示，BD和CE分别是ΔABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD于F，AG⊥CE于G，延长AF及AG与BC相交，连接FG．(1)求证：FG=12（AB+BC+CA）(2)若①BD与CE分别是ΔABC的内角平分线（如图(2)）；②BD是ΔABC的内角平分线，CE是ΔABC的外角平分线（如图(3)）．则在图(2)与图(3)两种情况下，线段FG与ΔABC的三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．GFABCEDHIFGABCDEIHGFABCDEIH图（１）图（２）图（３）分析：图(1)中易证ΔABF≌ΔIBF及ΔACG≌ΔHCG．∴有AB＝BI，AC＝CH及AD＝ID，AG＝GH．∴GF为ΔAIH的中位线．∴．FG=12（AB+BC+CA）同理可得图(2)中FG=12（AB+CA=BC）；图(3)中FG=12（BC+CA=AB）7、如图，ΔABC中，E是BC边上的中点，DE⊥BC于E，交BAC的平分线AD于D，过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．求证：BM＝CN．ABCEDNMCBAEDNM分析：连接DB与DC．∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC．易证ΔAMD≌ΔAND．∴有DM＝DN．∴ΔBMD≌ΔCND（HL）．∴BM＝CN．8、在四边形ABCD中，AC平分BAD，过C作CE⊥AB于E，且ADABAE21．求ABCADC的度数．CAEBDCAEBDF分析：延长AB到F，使得BF＝AD．则有CE垂直平分AF，∴AC＝FC．∴FCAEDAC．∴有ΔCBF≌ΔCDA（SAS）．∴CBFD．∴180ABCADC．第5页共25页二、平移1、如图，在梯形ABCD中，BD⊥AC，AC＝８，BD＝15．求梯形ABCD的中位线长．ACBDACBDE分析：延长DC到E使得CE＝AB．连接BE．可得□ACEB．可视为将AC平移到BE．AB平移到CE．由勾股定理可得DE＝17．∴梯形ABCD中位线长为8.52、已知在ΔABC中，AB＝AC，D为AB上一点，E为AC延长线一点，且BD＝CE．求证：DM＝EM．MABCEDMABCEDF分析：作DF∥AC交BC于F．易证DF＝BD＝CE．则DF可视为CE平移所得．∴四边形DCEF为□DCEF．∴DM＝EM．三、旋转1、如图，已知在正方形ABCD中，E在BC上，F在DC上，BE＋DF＝EF．求证：45EAF．BDACFEBDACGFE分析：将ΔADF绕Ａ顺时针旋转90得ΔABG．∴GABFAD．易证ΔAGE≌ΔAFE．∴1452FAEGAEFAG2、如图，在ΔABC中，∠ABC=900，AB＝BC，D为AC中点．AB的延长线上任意一点E．FD⊥ED交BC延长线于F．求证：DE＝DF．ABCFEDABCFED分析：连接BD．则ΔBDE可视为ΔCDF绕D顺时针旋转90所得．易证BD⊥DC与BD＝CD．则∠BDE=∠CDF．又易证∠DBE=∠DCF=1350．∴ΔBDE≌ΔCDF．∴DE＝DF．第6页共25页3、如图，点E在ΔABC外部，D在边BC上，DE交AC于F．若123，AC＝AE．求证：ΔABC≌ΔADE．分析：若ΔABC≌ΔADE，则ΔADE可视为ΔABC绕Ａ逆时针旋转∠1所得．则有∠B=∠ADE．∵∠B+∠1=∠ADE+∠2，且∠1=∠2．∴∠B=∠ADE．又∵∠1=∠3.∴∠BAC=∠DAE．再∵AC＝AE．∴ΔABC≌ΔADE．4、BC与ΔEDC均为等腰直角三角形，且Ｃ在ＡＤ上．ＡＥ的延长线交ＢＤ于Ｆ．请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程．AECBDF分析：将RtΔBCD视为RtΔACE绕Ｃ顺时针旋转900即可．5、如图，点E为正方形ABCD的边CD上一点，点F为CB的延长线上的一点，且EA⊥AF．求证：DE＝BF．BDACFE分析：将ΔABF视为ΔADE绕Ａ顺时针旋转900即可．∵∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE=900．∴∠FAB=∠EAD．又∵∠FBA=∠EDA=900，AB＝AD．∴ΔABF≌ΔADE．（ASA）∴DE＝DF．6、已知：等腰△ABC,AB=AC，∠ADB=∠ADC，求证：∠DBC=∠DCB分析：图中要证明的两角在同一三角形中，所以我们的思路就是证明△DBC为等腰三角形，即证明DB=DC，要证明两条线段相等最常用的方法就是构造全等三角形。在解决等边、等腰三角形相关问题时，一定要想到运用旋转的知识。证明：把△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，得到△ACD′∴△ABD≌△ACD′∴AD=AD′，∠ADB=∠AD′C,BD=CD′∵∠ADB=∠ADC∴∠ADC=∠AD′C又∵AD=AD′∴∠ADD′=∠AD′D∴∠D′DC=∠DD′C∴DC=D′C∵BD=CD′∴BD=DC,∴∠DBC=∠DCB_2_1_3_E_C_D_B_AF第7页共25页四、中点的联想(一)倍长中线法1、已知，AD为ΔABC的中线．求证：AB＋AC2AD．DBCADEBCA分析：延长AD到E使得AE＝2AD．连接BE易证ΔBDE≌ΔCDA．∴BE＝AC．∴AB