数学物理方程ppt

出版：电子科技大学出版社(成都市建设北路二段四号，邮编：610054)责任编辑：徐守铭发行：电子科技大学出版社印刷：成都蜀通印务有限责任公司开本：787mm×1092mm1/16印张16.625字数425千字版次：2006年4月第一版印次：2007年8月第二次印刷书号：ISBN9787811140989印数：2001—5000册定价：28.00元数学物理方程李明奇田太心主编■版权所有侵权必究■◆邮购本书请与本社发行科联系。电话：[phone]邮编：610054。◆本书如有缺页、破损、装订错误，请寄回印刷厂调换。第一章绪论笫二章定解问题与偏微分方程理论第三章分离变量法第四章行波法第五章积分变换第六章Green函数法第七章Bessel函数第八章Legendre多项式第九章保角变换法第十章非线性数学物理方程简介第一章绪论1.1常微分方程基础1.2积分方程基础1.3场论基本概念1.4常用算符与函数1.5常用物理规律1.1常微分方程基础一、一阶微分方程一阶常微分方程典则形式与对称形式分别为:(,),yfxy(,)d(,)d0pxyxqxyy1．可分离变量的一阶微分方程()d()dfxxgyy2．齐次方程d()dyyfxx()uxufu3．一阶线性微分方程()()ypxyqx()d()de()edpxxpxxyqxxc4．Bernoulli方程()()nypxyqxy(1)()(1)()unpxunqx(0,1)n二、高阶微分方程1．可降阶的二阶微分方程(,)yfxy(,)yfyy(,)ppfyp2．n阶常系数齐次线性微分方程()(1)(2)121()()()()0nnnnnyaxyaxyaxyaxy定理1的特解可以通过方程的特解之和求得。1L()niiyfxL(),1,,iyfxin（1）特征方程有n个不同的实根，则，为任意常数；（2）特征方程有r个不同的实根，其重数分别为，，则其中，为任意常数。（3）若，特征方程有r个不同的复根（），其重数分别为，所有复根重数之和为，则12,,,n1einxiiycic定理2n阶常系数齐次线性微分方程的通解为：12,,,n12,,,rnnn1=rkknn1,0,1,(1)1()eiirnxiiiiiyccxcx,ijc()iaxR12,,,rkkki12,,,rnnn1,0,1,(1)11,0,1,(1)1()esin()ecosiiiirnxiiiiiirnxiiiiiiyccxcxxddxdxx3．二阶常系数非齐次线性微分方程的特解设为对应的齐次方程的i()重根，其中，与分别是次多项式，为常数。则存在次多项式使非齐次方程有如下形式的特解：00()exmypyqypx定理3:()mpx()npx00,1,2i()mqx0()eximyxqx与分别是次多项式，与为常数，则的特解为：定理4:()mpx()npx,mn000(0)000e[()cos()sin]xmnypyqypxxpxx000e[()cos()sin]xkllyxpxxqxx二阶非齐次线性微分方程定理5:)(xfqyypy的特解为2112001212()()dd(,)(,)xxyfyfyyyyyyy通解为21121122001212()()dd()()(,)(,)xxyfyfyyyCyxCyxyyyy三、Euler方程在微分方程中，我们还经常遇到一类特殊的非常系数非齐次线性微分方程——Euler方程的求解：()1(1)011()nnnnnnpxypxypxypyfx0D(D1)(D1)(e)ntnkkpkyf四、Bessel方程定义2二阶线性微分方程222()0xyxyxy称为Bessel方程，为非负常数。定义4二阶线性微分方程222102xyxyxmy称为半奇数阶Bessel方程。(m为整数)定义5二阶线性微分方程222()0xyxyxy称为虚宗量Bessel方程。五、Legendre方程与SturmLiouville方程定义6二阶线性微分方程2(1)2(1)0,[1,1]xyxynnyx称为n阶Legendre方程。定义7二阶线性微分方程dd()()()()()0ddyxkxxqxyxxxaxb≤≤称为SturmLiouville方程。六、微分方程解的理论基础定义8对于一阶微分方程，称以下问题为Cauchy问题：00(,)()yfxyyxy定义9对于二阶微分方程，称以下问题为边值问题：12345(,,,)0,(,)()()()()fxyyytayayayaya设为方程的平凡解，若，当时，对，有，则称解稳定。定义10:0y(,)ygxy0000,,(,)0,xIxy00(,)yx0xx00(,,)yxxy0y定义11:设为方程的平凡解，若，当时，，有，则称解不稳定。0y(,)ygxy0000,,0,xy0y10xx100(,,)yxxy0y1.2积分方程基础定义1积分号下含有未知函数的方程称为积分方程。若方程关于未知函数是线性的，则称之为线性积分方程；否则该积分方程称为非线性积分方程。定义2若未知函数只出现在积分号下，称为第一类线性积分方程；若未知函数不仅出现在积分号下，还出现在其他部分，则称为第二类线性积分方程。定义3若含参数齐次方程，在有非零解，则称为特征值，相应的解为特征函数。特征函数构成的空间称为线性空间，其维数称为的重数。()(,)()dbayxkxtytt000定理1若在，在内都连续，且，，。级数在一致绝对收敛，并且为方程的唯一解。()fx[,]xab(,)kxt[,][,]abab()fxm≤(,)kxtM≤1Mba0()iiix[,]xab()()(,)()dbayxfxkxtytt定义4若，与都线性无关，则称为退化核。为退化核，则方程变为代入原方程得1(,)()()niiikxtxt()ix()it(,)kxt(,)kxt()()(,)()dbayxfxkxtytt1()()(),()()danbiiiiyxfxxyytytti1,niiikkkyfy()()d,()()d,1,,bbikikiiaatttftfttin1.3场论基本概念一、散度与通量设S是一分片光滑的有向曲面，其单位侧向量为，则向量场沿曲面S的第二类曲面积分0n(,,)xyzA0ddSSSASAn称为向量场通过曲面S向着指定侧的通量。如果S是一分片光滑的闭曲面，为外法向，V为S所包围的空间区域，由Gauss公式有0dd(,,)dd(,,)dd(,,)dd()dddSSSxyzVSpxyzyzqxyzzxrxyzxypqrxyzASAn其中，称为向量场的散度，记为，即xyzpqrdivAdivxyzpqrA二、环流量与旋度对于给定向量场(,,)(,,)(,,)(,,)xyzpxyzqxyzrxyzAijk设L为场内一有向闭曲线，L上与指定方向一致的单位切向量为，则称积分00ddLLsArA为向量场沿有向闭曲线L的环流量。设S是以L为边界的有向曲面，曲线L的方向与曲面S的侧符合右手规则，由Strokes公式，有d(,,)d(,,)d(,,)d[()cos()cos()cos]dLLyzzxxySpxyzxqxyzyrxyzzrqprqpSAr其中，向量为有向曲面S的单位法向量的方向余弦，向量场的旋度记为，且{cos,cos,cos}0nrotArot()()()yzzxxyrqiprjqpkA旋度是一个向量，它是由向量场产生的向量场，称为旋度场。1.4常用算符与函数一、常用算符求导算子D：D()()fxfx梯度算子与Laplace算子是两个最基本的算符：,,xyz222222xyz设为向量场，为数值函数，则有以下公式：(,,)uuxyzgraduudivAArotAA2graduuuu()uvuvuv定理1设平面区域D由分段光滑的闭曲线L围成，函数、在L上具有一阶连续偏导数，则有Green公式：(,)pxy(,)qxy(,)d(,)d[(,)(,)]ddxyLDpxyxqxyyqxypxyxy式中，L的方向为区域D边界曲线的正向。定理2设曲线L为分段光滑的空间有向闭曲线，S为以L为边界的任意分片光滑的有向曲面。函数、、在包含S的某一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有Strokes公式(,,)pxyz(,,)qxyz(,,)rxyzdddddd(,,)d(,,)d(,,)dLSyzzxxypxyzxqxyzyrxyzzxyzpqr定理3设分片光滑的有向闭曲面围成空间区域V。函数、、在V上具有一阶连续偏导数，则有Gauss公式：(,,)pxyz(,,)qxyz(,,)rxyz(,,)(,,)dd(,,)dd()dddxyzSVpxyzdydzqxyzzxrxyzxypqrxyz式中，S为空间区域V的外侧。二、函数、函数与误差函数1．函数是指10()ed,0xtxttx2．函数是指1110(,)(1)d,0,0pqpqtttpq函数的主要性质有：(,)(,)pqqp()()(,)()pqpqpq3．误差函数是指202erf()edπxtxt余误差函数是指ercf()1erf()xx主要性质有：22461e134456ercf()(1)2(2)(2)πxxxxxx三、常用结论命题1，其球坐标表示为。n为以原点为球心，半径为r的球面的外侧，则(,,)uuxyz(,,)uurruun命题2221111cos2212cos()nnkkntktk||1k1.5常用物理规律1．Newton第二定律。平动规律：；转动规律：。2．Hooke定律。（1）在弹性限度内，弹簧的弹力和弹簧的伸长成正比：。其中，k为弹簧的弹性系数。负号表示弹力的方向和形变量的方向相反。（2）弹性体的应力p与弹性体的相对伸长成正比：。其中，Y为杨氏模量，表示相对伸长。FmaMIfkxxpYu3．Fourier实验定律（即热传导定律）。当物体内存在温差时，会产生热量的流动。在dt时间内，沿热流方向流过面积微元dS的热量为，其中k称热传导系数，它与物体的材料有关；式中的负号表示热量由高处流向低处；为温度沿热流方向的方向导数。热流密度q为d(,)ddnQqkuxtSt4．Newton冷却定律。设为周围介质的温度，为物体的温度。物体冷却时单位时间内流过单位面积放出的热量与物体和外界的温度差（）成正比，即热流密度q为。5．热量守恒定律。物体内部温度升高所吸收的热量，等于流入物体内部的净热量与物体内部的源所产生的热量之和。0usu0suu0sqkuu6．扩散实验定律。当物体内浓度分布不均匀时会引起物质的扩散运动。沿粒子流方向流过面积微元dS的粒子质量为，其中k称为扩散系数，它与材料有关；