拉普拉斯变换性质

§5.2拉普拉斯变换性质•线性性质•尺度变换•时移特性•复频移特性•时域微分•时域积分•卷积定理•s域微分•s域积分•初值定理•终值定理一、线性性质若f1(t)←→F1(s)Re[s]1,f2(t)←→F2(s)Re[s]2则a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s)Re[s]max(1,2)例1f(t)=(t)+(t)←→1+1/s，0二、尺度变换若f(t)←→F(s),Re[s]0，且有实数a0，则f(at)←→)(1asFa0de)()(tatfatfLst，则令atτ0de)()(aττfatfLτas0de)(1ττfaτasasFa1证明：)(1asFa三、时移特性若f(t)-----F(s),Re[s]0,且有实常数t00,则f(t-t0)(t-t0)-----e-st0F(s),Re[s]0与尺度变换相结合(a0,b=0)f(at-t0)(at-t0)←→asFasat0e1则f(t+t0)(t+t0)-----est0F(s),Re[s]0例1:求如图信号的单边拉氏变换。011f1(t)t01-11tf2(t)解：f1(t)=(t)–(t-1)，f2(t)=(t+1)–(t-1)F1(s)=)e1(1ssF2(s)=1(e)sses四、s域平移特性若f(t)←→F(s),则f(t)eat←→F(s-a)f(t)e-at←→F(s+a)例1:已知因果信号f(t)的象函数F(s)=12ss求e-tf(3t-2)的象函数。解：e-tf(3t-2)←→2(1)321e(1)9sss五、时域的微分特性（微分定理）若f(t)←→F(s),Re[s]0,则f’(t)←→sF(s)–f(0-)若f(t)为因果信号，则f(n)(t)←→snF(s)时域微分特性和时域积分特性主要用于研究具有初始条件的微分、积分方程。)0()0()()0(0d)(d22fsfsFsffsFsttfL推广：证明：)(0deede000ssFfttsftfttfststst例:已知因果信号f(t)如图,求F(s)f(t)t022解：对f(t)求导得f’(t)，如图f'(t)t(-2)120f’(t)=ε(t)–ε(t–2)–2δ(t–2)←→F1(s)221(1e)2esssssFsF)()(1F1(s)六、时域积分特性（积分定理），则若)()(sFtfL0()()dtFsLfττs证明：00dedtττfstt000e1dedsttstfττfttsststttfs0de1ssF对因果信号f(t)0()()()dtnnFsLfττs推广七、卷积定理时域卷积定理若因果函数f1(t)←→F1(s),Re[s]1,f2(t)←→F2(s),Re[s]2则f1(t)*f2(t)←→F1(s)F2(s)复频域（s域）卷积定理jcjcsFFtftfd)()(j21)()(2121时域的卷积对应于S域的相乘时域的相乘对应于S域的卷积七、卷积定理例：已知某LTI系统的冲激响应h(t)=e-t(t)，求输入f(t)=(t)时的零状态响应yzs(t)八、s域微分和积分若f(t)←→F(s),Re[s]0,则ssFtftd)(d)()(nnnssFtftd)(d)()(()(1)1sftFsdst微分性质积分性质：s域微分和积分例例1：t2e-2t(t)←→?e-2t(t)←→1/(s+2)t2e-2t(t)←→322)2(2)21(ddsss例2：?e12tt211e12sstssssssstesst2ln211ln1d)21111(12九、初值定理和终值定理初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞），而不必求出原函数f(t)初值定理设函数f(t)不含(t)及其各阶导数,则)(lim)(lim)0(0ssFtffst终值定理若f(t)当t→∞时存在，并且f(t)←→F(s),Re[s]0,00，则)(lim)(0ssFfs举例例1：222)(2ssssF2222lim)(lim)0(22sssssFfss0222lim)(lim)(2200sssssFfss已知：求f(t)的初值和终值总结（常用因果信号的性质）)(1asFaf(at)←→f(t-t0)(t-t0)-----e-st0F(s)尺度特性f(t)eat←→F(s-a)时移频移f(n)(t)←→snF(s)0()()()dtnnFsLfττsnnnssFtftd)(d)()(()(1)1sftFsdst时域微分时域积分S域微分S域积分课堂练习：()sin()()fttt()cos()()fttt()(42)ftt分别求下列信号的象函数:(2)()()(2)ttftetet