自动控制原理电子教案-控制系统数学模型

第二章自动控制系统的数学描述第一节概论第二节机理分析建模方法第三节拉氏变换和传递函数第四节典型环节的动态特性第五节系统方框图等效变换和信号流图第六节实验建模方法第七节PID控制器第一节概论控制系统数学模型的定义揭示系统各变量内在联系的数学表达式和关系图表数学模型的类型静态特性模型和动态特性模型图，表，表达式图：方框图，信号流图，特性关系图表达式：微分方程，传递函数，频率特性函数，差分方程数学模型的建立原则分清主次，合理简化，选定类型，整理归纳数学模型的建立方法分析法：据物理化学规律推导实验法：据实验数据拟合第二节机理分析建模方法2.2.1建立模型的方法2.2.2建立模型举例2.2.2.1机械系统2.2.2.2电气系统2.2.2.3液力系统2.2.2.4热力系统2.2.3物理系统的相似性2.2.1建立模型的步骤划分系统元件,确定各元件的输入和输出根据物理化学定律列写各元件的动态方程式,为使问题简化可忽略次要因素物理化学定律例如:牛顿第一定律,能量守恒定律,基尔霍夫定律,欧姆定律，道尔顿定律消除元件动态方程式中的中间变量,推导元件的输入输出关系式整理出系统的输入输出关系式2.2.2.1建模举例---机械系统1).弹簧--质量--阻尼系统已知:弹簧系数K,质量M,外力F(t),阻尼系数f.求:系统动态方程式.解:根据牛顿第二定律整理成规范形式KF(t)y(t)fM22)()()()(dttydMtKydttdyftF)(1)()()(22tFKtydttdyKfdttydKM2.2.2.1建模举例---机械系统2).弹簧--阻尼系统已知:弹簧系数K,外力x,阻尼系数f,位移y.求:系统动态方程式.解:根据牛顿第三定律整理成规范形式Kfyx)()()(txtKydttdyf)(1)()(txKtydttdyKf2.2.2.1建模举例---机械系统3).无固定的弹簧--阻尼--质量系统已知:弹簧系数K,位移x,阻尼系数f,位移y,质量M.求:系统动态方程式.解:根据牛顿第二定律整理成规范形式KfyxM22)()(dtydMxyKdtxydfxdtdxKfydtdyKfdtydKM222.2.2.1建模举例---机械系统4).机械转动系统已知:转动惯量J,转矩T,摩擦系数f,转角.求:系统动态方程式.解:根据牛顿第二定律TfJTJTdtdfdtdJ222.2.2.2建模举例---电气系统1).RLC电路已知:RLC电路如图.求:以Ui为输入，Uo为输出的系统动态方程式.解:根据基尔霍夫定律消去中间变量，UiUoCLRidtCdtdiLRiUUUULRi10iUUdtdUCi0)()()()(00202tUtUdttdURCdttUdLCi2.2.2.2建模举例---电气系统2).RC串并联电路已知:RC电路如图.求:以Ui为输入，Uo为输出的系统动态方程式.解:应消去中间变量I1CUiUoR1R2I2IdtICRIIRUIRRIUIIIi2112021121121III,,021UdtICUi2.2.2.2建模举例---电气系统2).RC串并联电路(续)dtdUdtdUCIi02dtdUdtdUCUURIdtICRIii00122111dtdUdtdUCRUURRIRUii0201220iiURRdtdUCRURRdtdUCR122012021iiURdtdUCRRURRdtdUCRR2210210212.2.2.3建模举例---液力系统1).单容水箱已知:流入量Qi,流出量Qo,截面A;液位H求:以Qi为输入，H为输出的系统动态方程式.解:根据物质守恒定律或中间变量为Qo,据流量公式线性化处理:规范化QiQoAHdtQQAdHi0AQQdtdHi0HQ0HQ0HQAdtdHi1AQHAdtdHiiQHdtdHA1或2.2.2.3建模举例---液力系统2).双容水箱已知:流量Q1,Q2,Q3;截面F1,F2;液位H1,H2;液阻K1,K2求:以Q1为输入，H2为输出的系统动态方程式.F1H1F2H2K1K2Q3Q2Q12.2.2.3建模举例---液力系统2).双容水箱(续1)解:根据物质守恒定律和流量近似公式(1)12111QQFdtdH(2)13222QQFdtdH(3)2112HHKQ(4)223HKQ(5)122222HKQFdtdH22222QHKdtdHF中间变量为Q2,Q3,H1,由(2),(4)或2.2.2.3建模举例---液力系统2).双容水箱(续2)22221111HKdtdHFQFdtdH(6)12222111dtHKHFdtQFH由(1)(5)得2222211122221HdtHKHFdtQFKHKdtdHFdtQFKHFFKdtHFKKHKHKdtdHF11121212121212222由(3),(5),(6)2.2.2.3建模举例---液力系统2).双容水箱(续3)dtQKdtHKKHFKKKFdtdHFF112212212112211122122121122221QKHKKdtdHFKKKFdtHdFF212222211222212111KQHdtdHKFKKFdtHdKKFF2.2.2.4建模举例---热力系统1).绝热加热过程已知:进热量Qi,出热量Qo,工质流量G,温度,比热Cp，器内质量M求:以Qi为输入为输出的系统动态方程式.解:根据能量守恒定律GQiMCpQo0QQdtdMCippGCQ0ippQGCdtdMCipQGCdtdM1中间变量为Qo,∴2.2.2.4建模举例---热力系统2).加热装置已知:进热量hi,工质流量q,进口温度i,出口温度o,环境温度c,热容C，进口工质比热Cp，热阻R求:绝热时和不加热时的系统动态方程式.解:根据能量守恒定律ohiCCpCp,q,icdtdcRqChcipi000RqChRqCdtdCcipip001ipipqChqCdtdC00ippqCqCdtdC00绝热且不加热时绝热时2.2.3物理系统的相似性物理系统遵循基本的物理定律,不同的物理系统质同形不同,有相似性.上述四种物理系统的相似性:物理系统势流阻容感电气系统UIRCL液力系统hqRA热力系统QRC机械系统FvfKm利用物理系统的相似性,可使机理分析建模工作大为简化第三节拉氏变换与传递函数2.3.1拉普拉斯(Laplace)变换2.3.1.1定义2.3.1.2典型函数的拉氏变换2.3.1.3拉氏变换的性质与定理2.3.1.4用拉氏变换法求解微分方程2.3.2传递函数2.3.2.1定义2.3.2.2传递函数的求取方法2.3.2.3传递函数的性质2.3.1拉普拉斯(Laplace)变换2.3.1.1定义拉氏变换的定义其中x(t)---原函数,X(s)---象函数,复变量s=+j拉氏反变换的定义0)()()(dtetxsXtxLstljjstdsesXjsXLtx)(21)()(12.3.1.2典型函数的拉氏变换1)单位阶跃函数的拉氏变换2）单位斜坡函数的拉氏变换2.3.1拉普拉斯(Laplace)变换)0(0)()(ttutx)0(1tsdtetuLst1)(0)()(tuttx)(11tusL或2.3.1.2典型函数的拉氏变换(续)3)指数函数的拉氏变换201)(sdttetxLst)(121tuttsL0)(tetxatasdtedteeeLtsastatat100ateasL112.3.1.2典型函数的拉氏变换(续)4）正弦函数的拉氏变换0sin)(tttx2200112121sin)(sjsjsjdteeejdtettxLsttjtjsttsLsin221•实际中的拉氏变换不是推算而是查拉氏变换表2.3.1.3拉氏变换的性质与定理1)线性定理2)微分定理3)积分定理4)终值定理5)初值定理6)迟延定理7)位移定理8)卷积定理2.3.1.3拉氏变换的性质与定理1)线性定理设(下同)2)微分定理)()(txLsX)()()()()()(2121sXsXtxtxLsaXtaxL)0()()(xssXdttdxL)0()0()()(222xsxsXsdttdxL2.3.1.3拉氏变换的性质与定理)0()0()0()()()1(21nnnnnnxxsxssXsdttdxL2)微分定理（续）)()(sXsdttdxLnnn各初值为0时3)积分定理0)(1)()(tdttxsssXdttxL2.3.1.3拉氏变换的性质与定理3)积分定理（续）020222)(1)(1)()(ttdttxsdttxsssXdttxL0)(tndttxns1ntnnnsdttxsssXdttxL1)(1)()(0nnnssXdttxL)()(各初值为0时2.3.1.3拉氏变换的性质与定理4）终值定理5)初值定理6)迟延定理(实平移定理）)(lim)(lim0ssXtxst)(lim)(lim)0(0ssXtxxst)()(sXetxLs2.3.1.3拉氏变换的性质与定理7)位移定理(复平移定理）8)卷积定理)()]([asXtxeLat)()()()()()()()(00sXsGdtxgLdxtgLtxtgLtt2.3.1.4用拉氏变换法求解微分方程(1)1)求解步骤对微分方程进行拉氏变换求系统输出变量表达式将输出变量表达式展开为部分分式查表求各分式的拉氏反变换整理出方程解2)部分分式展开法通分法（适用于简单函数）例：bsBasAbsas11BaAbsBAasBbsA110BaBbBABaAbBA2.3.1.4用拉氏变换法求解微分方程(2)留数法（适用于复杂函数)设零点:极点:(1)当F(s)只有相异实极点时根据复变函数留数定理baBbaA11bsabasabbsas111nmpspszszssAsBsF11)()()(mizi,,2,1,nipi,,2,1,nnpsapsapsasF2211)(nksFpspsFakpskpskkks,,2,1)(),(l