第2讲--韩信点兵

数学教研组编写第二讲五年级寒假C版课件韩信点兵知识要点：余数问题综合直接做除法特性求余法尾数求余法：（2、5），（4、25），（8、125）数字和求余法：3、9（弃九法、乱切法）奇偶位作差法：11（不够减就＋11）两位截断求和法：99三位截断求和法：7、11、13a÷b＝q……r替换求余法周期求余法余数的可加性：和的余数等于余数的和余数的可减性：差的余数等于余数的差余数的可乘性：积的余数等于余数的积备注：不够减就＋除数；超过除数就÷除数若a和b除以n的余数相同，则称a和b除以n同余，记作：a≡b（modn），读作：a与b对模n同余余同与缺同物不知数问题余同缺同定义：余数相同做法：最小数是余数，依次加上最小公倍数定义：缺数（除数减余数）相同做法：最小数是最小公倍数与缺数的差，依次加上最小公倍数1．逐步满足条件，找出最小数（枚举大数＋判断）2．依次加最小公倍数，直到找出答案除以7的余数呈现一定的周期性小热身【答案】25÷9余7；110÷9余2；2019÷9余325÷11余3；110÷11余0；2019÷11余61．求下列各数：25、110、2019除以9、11的余数分别是多少？2．下列三个数分别是7、11、15的倍数：12a，234b，93834c，求这三个数分别是多少？【答案】12a＝126；234b＝2343；93834c＝938340例题1（1）2455×23×321除以9的余数是多少？（2）2111的个位数字是多少？除以7的余数是多少？【答案】替换求余：(2455×23×321)÷9→(7×5×6)÷9余3【答案】考察余数的周期性，找到余数的周期，求解即可。讲解时常用的一句话：看到111这么大的数字，马上想到存在周期，因为不可能让你进行这么复杂的计算，然后求个位数字是多少。21：个位为2，除以7余数为222：个位为4，除以7余数为423：个位为8，除以7余数为124：个位为6，除以7余数为225：个位为2，除以7余数为4……个位上的数字是2，4，8，6；四个一周期，111÷4余3（个）则2111个位为8；除以7的余数是2，4，1；三个一周期，111÷3余0（个）2111除以7的余数是1。练习1（1）257×2019＋250250除以9、25的余数分别是多少？（2）32020的个位数字是多少？除以7的余数是多少？【答案】替换求余：(257×2019＋250250)÷9→(5×3＋5)÷9余2替换求余：(257×2019＋250250)÷25→(7×19＋0)÷25余8【答案】考察余数的周期性，有时候周期较长，要有耐心哦~31：个位为3，除以7余数为3，32：个位为9，除以7余数为233：个位为7，除以7余数为6，34：个位为1，除以7余数为435：个位为3，除以7余数为5，36：个位为9，除以7余数为137：个位为7，除以7余数为3，……个位上的数字是3，9，7，1；四个一周期，2020÷4余0（个）则32020个位为1；除以7的余数是3，2，6，4，5，1；六个一周期，2020÷6余4（个），32020除以7的余数是4。例题2（1）一个自然数除以7余3，除以8也余3，这个自然数最小是多少？第二小是多少？（2）一个自然数除以11余7，除以9余5，这个数最小是多少？第二小是多少？【答案】余同问题，设这个自然数为a，则a÷7余3；a÷8余3；(a－3)是7和8的公倍数，要提醒一种情况，即3÷7＝0……3。则a最小为0＋3＝3；[7,8]＝56，则第二小是3＋56＝59。【答案】缺同问题，设这个自然数为a，则a÷11余7；a÷9余5；因为11－7＝4；9－5＝4；所以(a＋4)是11和9的公倍数，[11,9]＝99，则a最小为99－4＝95；第二小是95＋99＝194。练习2（1）一个自然数除以8余5，除以9也余5，这个自然数最小是多少？第二小是多少？（2）一个自然数除以18余5，除以17余4，这个自然数最小是多少？第二小是多少？【答案】余同问题，设这个自然数为a，则a÷8余5；a÷9余5；(a－5)是8和9的公倍数，则a最小为0＋5＝5；[8，9]＝72，则第二小是5＋72＝77。【答案】缺同问题，设这个自然数为a，则a÷18余5；a÷17余4；因为18－5＝13；17－4＝13；所以(a＋13)是18和17的公倍数，[18,17]＝306，则a最小为306－13＝293；第二小是293＋306＝599。例题3（1）从1到2019的自然数中，被8除余3，并且被12除余数也是3的共有多少个？【答案】余同问题，设这个自然数为a，则a÷8余3；a÷12余3；一定记得“3”也符合要求的哦~因为［8，12］＝24，所以找出范围内除以24余3的数即可；2019÷24＝84……384＋1＝85符合要求的数字共85个。例题3（2）一个果园采摘了5000多个苹果，如果10个一袋，最后还剩9个，如果9个一袋，最后还剩8个……如果5个一袋，最后还剩4个。如果13个一袋，最后还剩多少个？【答案】缺同问题，不过涉及的数字较多，且增加了限制条件。如果苹果总数加1，那么苹果个数就是10、9、8、7、6、5的公倍数。［10，9，8，7，6，5］＝2520，总数大于5000个，2520×2－1＝5039个5039÷13＝387……8如果13个一袋，最后还剩8个。练习3（1）从1000到2020的自然数中，被3除余1，并且被5除余数也是1的共有多少个？【答案】分别找出1-1000和1001-2020内符合要求的数，然后做减法。因为［3，5］＝15，所以找出范围内除以15余1的数即可；1000÷15＝66……102020÷15＝134……10(134＋1)－(66＋1)＝68符合要求的数字共68个。练习3（2）哪吒抓妖怪，抓住7000多只小妖怪，如果一笼子关10只妖怪，多出8只；如果一笼子关9只妖怪，多出7只，……如果一笼子关4只妖怪，多出2只，请问如果一笼子关17只妖怪，多出几只妖怪呢？【答案】缺同问题，不过涉及的数较多，且增加了限制条件。如果妖怪总数加2，那么妖怪个数就是10、9、8、7、6、5、4的公倍数。［10，9，8，7，6，5，4］＝2520，总数大于7000个，2520×3－2＝7558个7558÷17＝444……10如果17个一笼，最后还剩10个。例题4一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余4，那么这个自然数最小是多少？满足条件的最大三位数是多少？【答案】物不知数问题，用逐步满足法进行求解。易知除以3余2，除以5余3的数最小是8，而［3，5］＝15，那么除以3余2，除以5余3的数依次有：8、23、38、53、68、83……其中符合除以7余4的最小数是53而［3，5，7］＝105这个自然数最小是53。最大的三位数为：53＋105×9＝998。练习4一个四位数除以6余2，除以7余4，除以10余6，这个四位数最小是多少？最大是多少？【答案】物不知数问题，用逐步满足法进行求解。易知除以10余6，除以7余4的数最小是46，而［10，7］＝70，那么满足除以10余6，除以7余4的数依次有：46、116、186、256、326……其中符合除以6余2的最小数是116而［6，7，10］＝210这个四位数最小是116＋210×5＝1166。最大的四位数为：116＋210×42＝8936。例题5（1）2020除以一个三位数，余数为4，那么这个三位数最大是多少？（2）用692、608和1126除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0，这个除数可能是多少呢？【答案】2020－4＝2016正好是这个两位数的倍数，进行质因数分解：2016＝2×2×2×2×2×3×3×7，则这个三位数可能是：672，504，336，288，252，224，228，168，144，126，112。最大为672.【答案】利用余数定理，692－608＝84，1126－692＝434，则这个数的正好是84和434的公因数，84和434的公因数有：1（不符），2（不符），7，14则这个数可能是：7，14例题6陈博士买了63个苹果，90根香蕉，130个桃子平均分给一些同学，最后一共剩下了25个水果没有分出去，请问剩下最多的水果剩下多少个？【答案】分出去的水果个数＝63＋90＋130-25＝258（个）258＝2×3×43符合条件的同学人数只可能是43人。剩下个数最多的水果是苹果，剩下了20个。选讲题※若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为_______。【答案】设除数为A。因为2836，4582,5164，6522除以A的余数相同，所以他们两两之差必能被A整除。又因为余数是两位数，所以A至少是两位数。5164－4582＝582，6522－5164＝1358，因为(582,1358)＝194，所以A是194的大于10的约数。194中大于10的约数只有97和194。如果A＝194，2386÷194＝14…120，余数不是两位数，与题意不符。如A＝97，经检验，余数都是23，除数＋余数＝97＋23＝120。