【优化方案】2012高中数学-第3章3.1.2第二课时课件-新人教B版必修5

第二课时课堂互动讲练知能优化训练第二课时课前自主学案课前自主学案温故夯基不等式的性质：(1)如果a＞b，那么_______；如果b＜a，那么__________(2)如果a＞b且b＞c，则__________.(3)如果a＞b，则a＋c________b＋c.b＜aa＞b.a＞c＞知新益能作差1．比较两个数大小的方法比较两个数的大小，其方法就是____、______、判断_____________．变形差的符号思考感悟比较两个数的大小，作差、变形到什么形式来判断差的符号呢？提示：一般是变形到平方和或几个因式相乘的形式．2．利用不等式性质解题注意事项利用不等式性质解题，一定要注意不等式的不等号和不等式两边数的正负．课堂互动讲练利用不等式性质求取值范围例1若二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．【分析】设出二次函数，用f(－1)和f(1)表示出f(－2)．考点突破【解】法一：因为二次函数y＝f(x)的图象过原点，所以设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)．所以f－1＝a－b，f1＝a＋b.所以a＝12[f1＋f－1]，b＝12[f1－f－1].因为f(－2)＝4a－2b＝f(1)＋3f(－1)，又1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，所以3＋3×1≤f(－2)≤4＋3×2，即6≤f(－2)≤10.法二：因为二次函数y＝f(x)的图象过原点，所以设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，所以f(－2)＝4a－2b.又因为1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4，所以1≤a－b≤2，3≤a＋b≤4.设存在实数m，n使得4a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(m－n)b.所以m＋n＝4，m－n＝－2.解之得m＝1，n＝3.所以4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)．又因为3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6，所以3＋3≤4a－2b≤4＋6，即6≤f(－2)≤10.【点评】对所求问题可以用已知的不等式进行表示，根据已知不等式的取值范围，利用同向不等式相加的性质进行求解．注意同向不等式不能相减或相除．自我挑战1若二次函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且1≤f(1)≤2,3≤f(2)≤4，求f(3)的范围．解：设f(x)＝ax2＋c(a≠0)，则f(1)＝a＋c，f(2)＝4a＋c.又∵f(3)＝9a＋c，故设λ1f(1)＋λ2f(2)＝f(3)，则有λ1＋4λ2＝9，λ1＋λ2＝1，解得λ1＝－53，λ2＝83.∴f(3)＝8f2－5f13.∵1≤f(1)≤2,3≤f(2)≤4，∴5≤5f(1)≤10,24≤8f(2)≤32.∴14≤8f(2)－5f(1)≤27.∴143≤8f2－5f13≤9，即143≤f(3)≤9.利用不等式性质解决实际问题例2甲、乙两人每次同时在同一粮食市场按同一粮食销售价格购进粮食(每次粮食价格互不相同)，他们各购粮两次，甲每次购粮100千克，乙每次购粮100元，问谁平均每千克粮食所付货款少，谁购粮方式经济些？【分析】设两次的价格分别为a，b，然后表示出甲、乙两人买两次的平均价格x，y，则题目中的问题就转化为比较x，y的大小了．【解】设甲、乙两人第一次购粮的价格为a元/千克，第二次购粮的价格为b元/千克；甲两次的平均价格为x元/千克，乙两次的平均价格为y元/千克．依题意有x＝100a＋b200，y＝200100a＋100b，∴x－y＝100a＋b200－2001001a＋1b＝a＋b2－21a＋1b＝a＋b2－2aba＋b＝a＋b2－4ab2a＋b＝a－b22a＋b.∵a，b均为正数且a≠b，∴x－y＞0，即x＞y.∴乙两次购粮的平均价格低．故乙平均每千克粮食所付货款少，购粮方式经济些．【点评】用作差法比较是解决这类问题的好方法．自我挑战2商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法：(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；(2)按总价的92%付款．某顾客需购买茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若设购买茶杯数为x个，付款数为y(元)，试分别建立两种优惠办法的y与x之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种优惠办法哪一种更省钱．解：由优惠办法(1)得y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4)，由优惠办法(2)得y2＝(5x＋20×4)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4)，y1－y2＝0.4x－13.6(x≥4)．令y1－y2＝0得x＝34.当购买34个茶杯时，两种优惠办法付款相同；当4≤x34时，y1y2，优惠办法(1)省钱；当x34时，y1y2，优惠办法(2)省钱．“反证法”证明不等式例3【分析】本题结论以“至少”形式出现，从正面思考有多种情况，不易入手，故可用反证法加以证明．若x，y都是正实数，且x＋y2，求证：1＋xy2和1＋yx2中至少有一个成立．【证明】假设1＋xy2和1＋yx2都不成立，则有1＋xy≥2和1＋yx≥2同时成立，因为x0且y0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x，两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2，这与已知条件x＋y2矛盾，因此1＋xy2和1＋yx2中至少有一个成立．【点评】(1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证．反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①与已知条件矛盾，②与假设矛盾，③与定义、公理、定理矛盾，④与事实矛盾等方面．反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．(2)利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理，否则，将出现循环论证的错误．自我挑战3设f(x)＝x2＋ax＋b，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于12.证明：假设|f(1)|12，|f(2)|12，|f(3)|12，则有－121＋a＋b12－124＋2a＋b12，－129＋3a＋b12于是有－32a＋b－12－922a＋b－72.－1923a＋b－172由前面两式得－4a－2，由后面两式得－6a－4，这两式显然互相矛盾，所以假设不成立．所以原命题成立．方法感悟1．不等式的性质是解不等式的基础，也是解不等式和证明不等式的主要依据，只有正确地理解每条性质的条件和结论，注意条件的变化，才能正确地加以运用．2．不等式性质定理，有同向不等式相加，得同向不等式，并无相减；有均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除．3．由已知代数式的范围讨论未知代数式的范围时，应考虑不等式性质的可逆性，不能扩大未知代数式的取值范围．