2012高考数学二轮专题 第5讲 导数及其应用课件

第5讲导数及其应用【高考真题感悟】(2011·江西)设f(x)＝13x3＋mx2＋nx.(1)如果g(x)＝f′(x)－2x－3在x＝－2处取得最小值－5，求f(x)的解析式；(2)如果m＋n10(m，n∈N*)，f(x)的单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值．(注：区间(a，b)的长度为b－a)解(1)由题意得g(x)＝x2＋2(m－1)x＋(n－3)＝(x＋m－1)2＋(n－3)－(m－1)2，已知g(x)在x＝－2处取得最小值－5，所以m－1＝2，(n－3)－(m－1)2＝－5，解得m＝3，n＝2.故所要求的解析式为f(x)＝13x3＋3x2＋2x.(2)因为f′(x)＝x2＋2mx＋n，且f(x)的单调递减区间的长度为正整数，故f′(x)＝0一定有两个不同的根，从而Δ＝4m2－4n0，即m2n.不妨设这两个不同的根为x1，x2，则|x2－x1|＝2m2－n为正整数．故m≥2时才可能有符合条件的m，n.当m＝2时，只有n＝3符合要求．当m＝3时，只有n＝5符合要求．当m≥4时，没有符合要求的n.综上所述，只有m＝2，n＝3或m＝3，n＝5满足上述要求．考题分析本题主要考查了函数的性质，以及导数在研究函数问题中的应用，突出了函数的工具性作用，同时考查了学生对分类讨论思想的理解和应用．易错提醒(1)易忽视二次函数的最小值与对称轴的关系．(2)易忽视函数的单调性与导函数的关系．(3)不能正确地从问题中提炼条件是致误的关键．(4)易忽视分类讨论．主干知识梳理1．导数的几何意义(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(3)导数的物理意义：s′(t)＝v(t)，v′(t)＝a(t)．2．基本初等函数的导数公式和运算法则(1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xn(n∈N*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a0且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a0且a≠1)f′(x)＝1xlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1x(2)导数的四则运算法则①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)．②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)．③[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)－u(x)v′(x)[v(x)]2(v(x)≠0)．3．函数的性质与导数(1)在区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增；在区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求f′(x)＝0的根；③判定根两侧导数的符号；④下结论．(3)求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤①求f′(x)；②求f′(x)＝0的根(注意取舍)；③求出各极值及区间端点处的函数值；④比较其大小，得结论(最大的就是最大值，最小的就是最小值)．热点分类突破题型一导数几何意义的应用例1已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．思维启迪“该曲线过点P(2,4)的切线”与“该曲线在点P(2，4)处的切线方程”是有区别的：过点P(2,4)的切线中，点P(2,4)不一定是切点；在点P(2,4)处的切线中，点P(2,4)是切点．解(1)所求切线的斜率为y′|x＝2＝22＝4，故所求的曲线的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y＝13x3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点Ax0，13x30＋43，则切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝x20，切线方程为y－13x30＋43＝x20(x－x0)，因为点P(2,4)在切线上，所以4－13x30＋43＝x20(2－x0)，解得x0＝2或x0＝－1，故所求的切线的方程为：4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.探究提高(1)求函数f(x)图象上点P(x0，f(x0))处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k，由导数的几何意义知k＝f′(x0)，故当f′(x0)存在时，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“点P处的切线”的差异．过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上；点P处的切线，点P是切点．(2)要准确理解曲线切线的概念，如直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，一方面，直线与曲线只有一个公共点⇒直线是曲线的切线；另一方面，直线是曲线的切线⇒直线与曲线有且仅有一个公共点．//变式训练1已知曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4.(1)求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；(2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其他公共点．解(1)y′＝12x3－6x2－18x，所以切线斜率为k＝y′|x＝1＝12－6－18＝－12，把x＝1代入C的方程，求得y＝－4，所以切点为(1，－4)，所以切线方程为y＝－12x＋8.(2)由y＝3x4－2x3－9x2＋4y＝－12x＋8得3x4－2x3－9x2＋12x－4＝0，即(x－1)2(x＋2)(3x－2)＝0，x＝1，－2，23.公共点为(1，－4)(切点)，(－2,32)，23，0，除切点外，还有两个公共点(－2,32)，23，0.题型二利用导数研究函数的单调性例2(1)已知导函数f′(x)的下列信息：当1x4时，f′(x)0；当x4，或x1时，f′(x)0；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数y＝f(x)图象的大致形状．(2)确定函数f(x)＝2x3－6x2＋7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．(3)已知函数f(x)＝4x＋ax2－23x3(x∈R)在区间[－1,1]上是增函数，求实数a的取值范围．思维启迪题(1)已知函数的导数的符号，可先判断函数的单调性，进而画出草图；题(2)要求函数的单调区间，可先求函数的导函数，再令导函数大于0(或小于0)解得函数的单调区间；题(3)是已知单调区间反求字母a的范围，可先求导函数，再令导函数在已知的单调区间上恒非负(或非正)．解(1)当1x4时，f′(x)0，可知y＝f(x)在此区间内单调递增；当x4，或x1时，f′(x)0；可知y＝f(x)在此区间内单调递减；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0，可知这两点处的切线是水平的．综上，函数y＝f(x)图象的大致形状如图所示．(2)f′(x)＝6x2－12x.令6x2－12x0，解得x0或x2.因此，当x∈(－∞，0)时，函数f(x)是增函数，当x∈(2，＋∞)时，f(x)也是增函数．令6x2－12x0，解得0x2.因此，当x∈(0,2)时，f(x)是减函数．(3)f′(x)＝4＋2ax－2x2，且f′(x)在[－1,1]的任意子区间内均不恒为0，又因f(x)在区间[－1,1]上是增函数，所以f′(x)≥0对x∈[－1,1]恒成立，即x2－ax－2≤0对x∈[－1,1]恒成立，解之得：－1≤a≤1，所以实数a的取值范围为[－1,1]．探究提高题(2)利用了函数单调的充分条件：“若f′(x)0，则f(x)单调递增，若f′(x)0，则f(x)单调递减”；题(3)利用了函数单调的必要条件：“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”，注意必要条件中的等号不能省略，否则漏解．变式训练2(2011·北京)已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．解(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的变化情况如下：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋F(x)－ek－1所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0k－11，即1k2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.题型三利用导数研究函数的极值或最值例3已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称．(1)求m、n的值及函数y＝f(x)的单调区间；(2)若a0，求函数y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值．思维启迪(1)根据f(x)、g(x)的函数图象的性质，列出关于m、n的方程，求出m、n的值．(2)分类讨论．解(1)由函数f(x)的图象过点(－1，－6)，得m－n＝－3.①由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2，得f′(x)＝3x2＋2mx＋n，则g(x)＝f′(x)＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n.而g(x)的图象关于y轴对称，所以－2m＋62×3＝0，所以m＝－3.代入①得n＝0.于是f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．由f′(x)0得x2或x0，故f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；由f′(x)0，得0x2，故f(x)的单调递减区间是(0,2)．(2)由(1)得f′(x)＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值由此可得：当0a1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值；当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；当1a3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．综上得，当0a1时，f(x)有极大值－2，无极小值；当1a3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．探究提高(1)求单调递增区间，转化为求不等式f′(x)≥0(不恒为0)的解集即可，已知f(x)在M上递增⇒f′(x)≥0在M上恒成立，注意区别．(2)研究函数的单调性后可画出示意图．讨论区间与0,2的位置关系，画图→截取→观察即可．变式训练3(2011·山东)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元．设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.解(1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋43πr3，又V＝80π3，故l＝V－43πr3πr2＝803r2－43r＝43(20r2－r)．由于l≥2r，因此0r≤2.所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×43(20r2－r)×3＋4πr2c，因此y＝4π(c－2)r2＋160πr，0r≤2.(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－160πr2＝8π(c－2)r2(r3－20c－2),0r≤2.由于c3，所以c－20.当r3－20c－2＝0时，r＝320c－2.令320c－2＝m，则m0