第4、5章插值与拟合

第四、五章插值与曲线拟合一．插值与曲线拟合问题二．拉格朗日插值三．牛顿插值四．曲线拟合的最小二乘法小结插值问题的提出在许多工程实际问题中，常有如下情况：函数关系没有明显的解析表达式，只有实验观测来确定与自变量的某些相对应的函数值；函数虽然有解析表达式，但是使用很不方便。对上述问题中的函数建立一个简单的便于计算和处理的近似表达式，即用一个简单的函数来近似代替这些不便处理的函数——插值函数。插值与曲线拟合拟合问题的提出实际问题中通过测量得到的数据比较多，而且这些数据本身含有一定误差，根据这些数据求取近似函数的方法是曲线拟合。插值要求找到的近似函数的曲线通过所有的数据点。曲线拟合不要求近似函数的曲线通过所有数据，只要求该曲线能反映数据变化的基本趋势。拟合的主要目的是：去掉测量数据所含的测量误差。插值与拟合的区别§4.1插值问题的数学提法当精确函数y=f(x)非常复杂或未知时，在一系列节点x0…xn处测得函数值y0=f(x0),…yn=f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函数P(x)f(x)，满足条件：P(xi)=f(xi)(i=0,…n)。这里的P(x)称为f(x)的插值函数，称为插值节点。所以所谓插值就是根据已知点的函数值求其余点的函数值。nxxx,,,10§4.1插值问题的数学提法已知[a,b]上的函数y=f(x)在n+1个互异点处的函数值:fnf2f1f0f(x)xnx2x1x0x求简单函数Pn(x)，使得()0,1,(),*iiPxfin计算f(x)可通过计算P(x)来近似代替。如下图所示。x0x1x2x3x4xP(x)f(x)这就是插值问题,(*)式为插值条件,()()Pxfx称函数为函数的插值函数01,,,nxxx,称为插值节点由于插值函数的选择不同，就产生不同类型的插值。若为代数多项式，就是代数插值，若为三角多项式就称为三角多项式插值，若为有理函数就称为有理函数插值。由于代数多项式结构简单，本章主要介绍代数多项式插值问题。xPxPxPxP2.满足插值条件的多项式P(x)是否存在且唯一？3.用P(x)代替f(x)的误差估计，即截断误差的估计；对于多项式插值，我们主要讨论以下几个问题：4.当插值节点无限加密时，插值函数是否收敛于f(x)。1.如何构造出插值多项式P(x);即插值多项式的常用构造方法有哪些？§4.2拉格朗日插值可见P(x)是过(x0,y0)和(x1,y1)两点的直线。这种插值称为线性插值，显然在节点上插值误差为0。101xxxx--010xxxx--=y0+y1l0(x)l1(x)拉格朗日1.线性插值（两点插值）1010001000101)()(yxxxxyxxxxyxxxx-------已知函数在节点有函值，求作一次多项式xaaxP10)(使得1100)(,)(yxPyxPxfy10,xx11xfy00xfy)()(001010xxxxyyyxP---于是线性插值函可以表示为函数值与基函数的线性组合10,yy1100yxlyxlxPxl0xl1与称为线性插值基函数。它有如下性质：1,00,111011000xlxlxlxl0,()(0,1)1,ijjilxjji即：019141()(9),()(4)495945xxlxxlxx-------所以1137(7)2.65L01,4,9,yxxx7例1已知用线性插值求近似值。012,3,yy基函数分别为:解1001111()()()2(9)3(4)55Lxylxylxxx---插值多项式为23(9)(4)55xx---1(6)5x2.抛物线插值（三点二次插值）已知在节点上的函数值，求二次多项式，使之满足根据要满足的三个条件，确定三个未知数，因此可采用待定系数法。即xfy210,,xxx210,,yyy2210xaxaaxP2,1,0,iyxPii210,,aaa222210221211012020100xaxaayxaxaayxaxaay为避免解线性方程组，下面仿线性插值，用基函数的方法求解方程组。设方程组满足条件的方程为2,1,0,iyxPii221100yxlyxlyxlxP其中基函数应满足:xx0x1x2l0(x)100l1(x)010l2(x)001以为例说明基函数的求取方法，当取，时，为0，取时，，因此其中可用求出，xl0x1x2xxl0x0x10xl210xxxxAxl--A10xl20101xxxxA--2101201xxxxxxxxxl----1202102xxxxxxxxxl----同理2010210xxxxxxxxxl----所以212021012101200201021yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxP------------抛物线插值是三个二次式的线性组合，是x的（不高于）二次式，在节点上插值多项式的值和已知函数值相等。设函数在区间上有节点上的函数值，构造一个次数不超过次的代数多项式，使。即次代数插值满足在个节点上插值多项式和被插值函数相等，而且插值多项式的次数不超过次。xfyba,nxxx,,,10n0111axaxaxaxPnnnn--niyxPii,,1,0,n1nxPxfn3.n次代数插值这样的插值多项式能构造出来吗？唯一吗？插值多项式的存在性和唯一性定理证：设所求的插值多项式为P(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn则由插值条件式Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)可得关于系数a0,a1,…,an的线性代数方程组设节点xi(i=0,1,…,n)互异,则满足插值条件P(xi)=yi的n次多项式P(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn存在且唯一.定理nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa101111000010此方程组有n+1个方程,n+1个未知数,其系数行列式是范德蒙行列式，即：nnnnnnxxxxxxxxx212110200111由于插值节点xi互不相同,所有因子xj-xi0,所以上述行列式不等于零,故由克莱姆法则知方程组的解存在且唯一.即满足条件式的n次多项式存在且唯一。证毕。0110--niijjixx-ijijnnnnnnxxxxxxxxxxx)(1112121102004.拉格朗日插值多项式要求n阶插值多项式，可以通过求方程组的解得到。但由于解线性代数方程组的计算量比较大，构造插值多项式时，仍用基函数构造。希望能找到满足以下条件的n次多项式li(x)0,()(0,1,,)1,ijjilxjnji然后令iniiyxlxP)()(0，则显然有P(xi)=yi。基函数的构造)())(()()(110niiixxxxxxxxAxl-----其中A为常数,由li(xi)=1可得)())(()(1110niiiiiixxxxxxxxA-----称之为拉格朗日基函数。0110110()()()()()()()()()()(0,1,,)()iiniiiiiiinnjjijjixxxxxxxxlxxxxxxxxxxxinxx------------li(x)除xi点外,其余xj都是li(x)的根，可设与有关，而与无关节点f拉格朗日插值多项式特别地,当n=1时又叫线性插值,其几何意义为过两点的直线.当n=2时又叫抛物插值,其几何意义为过三点的抛物线.利用拉格朗日基函数式li(x),构造多项式可知其满足,称为拉格朗日插值多项式。iniiyxlxP)()(0Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)应注意,对于插值节点,只要求它们互异,与大小次序无关。5插值余项截断误差R(x)=f(x)-P(x)也称为插值多项式的余项。以下为拉格朗日余项定理。定理设f(x)在区间[a,b]上存在n+1阶导数,xi[a,b](i=0,1,…,n)为n+1个互异节点,则对任何x[a,b],有((,)ab且与x有关)xnfxPxfxRn!11-,0-niixxx其中注意这里是对t求导证明：考察截断误差)()()(xPxfxR-Rolle’sTheorem:若充分光滑，，则存在使得。)(x0)()(10xx),(10xx0)(推广：若0)()()(210xxx),(),,(211100xxxx使得0)()(10),(10使得0)(0)()(0nxx存在),(ba使得0)()(nR(x)至少有个根n+1-niixxxKxR0)()()(任意固定xxi(i=0,…,n),构造--niixtxKtRt0)()()()((t)有n+2个不同的根x0…xnx),(,0)()1(baxxn!)1()()()1(-nxKRxn--!)1)(()()()1()1(nxKPfxnxn!)1()()()1(nfxKxn-niixnxxnfxR0)1()(!)1()()(0=证毕常用余项定理研究插值的误差估计。0()()niiiPxlxf其中0()()()njijijjixxlxxx--Lagrange插值公式的标准型公式:插值余项：(1)0()()()(1)!nnxiifRxxxn-线性插值，余项，其中：对求极值：得为极小值。即取，则。取绝对值：，则：所以其中：1nxfxR2210xxxxx--x010'--xxxxx210xxx2011041xxxxxx----10,xxx010--xxxx2011041xxxxxx---102xxxxfxR--20128xxMxR-xfMxxx210max用余项定理求线性插值余项及其估计式。n次插值余项及其估计式。),(,)(max)!1()(01baxxxnMxRniibxan-xfMnbxan)1(1max其中15.1425.005.02-xx,1)(xxf，节点4,5.2,2210xxx)(xf求的抛物插值多项式,且计算f(3)的近似值并估计误差。例设25.0)4(,4.0)5.2(,5.0)2(210fyfyfy解)45.2)(25.2()4)(2(4.0)42)(5.22()4)(5.2(5.0)(2--------xxxxxL)5.24)(24()5.2)(2(25.0----xx插值为多项式于是325.0)3(2xLf因为83)2()(max,64,24-fxfxxfx可得03125.0)43)(5.23)(23(8361)3()3()3(22----LfR(1)0()()()(1)!nnxiifRxxxn-误差估计例：已知233sin,214sin,216sin分别利用sinx的1次、2次Lagrange插值计算sin50并估计误差。解：0x1x2x185500n=1分别利用x0,x1以及x1,x2计算4,610xx利用216/4/6/214/6/4/)(