二维Ising模型的Monte-Carlo模拟

铁磁相变和Ising模型（计算物理期末论文）（2010级物理学弘毅班岳迪）摘要：本文简要介绍铁磁相变现象和相关的研究历史，通过Weiss的分子场理论说明铁磁相变的机制，并通过MonteCarlo方法模拟了2维Ising模型的铁磁相变现象。简单的Ising模型抓住了铁磁相变的物理本质，可以展现出相变点附近系统的许多奇异性质。关键词：铁磁相变、分子场理论、平均场理论、Ising模型、MonteCarlo方法一、铁磁相变现象一个处于热力学平衡状态的物质系统，可以是一个各处物理和化学性质都相同的均匀体系，我们称这种均匀体系构成物质的一个相。同一个物质体系不同相之间的相互转化称为相变。相变现象是一种常见的自然现象。我们都知道水存在气态、液态、固态三种物态——在正常气压下，水降温到0℃时结冰，升温到100℃时沸腾成水蒸气。这种气-液-固三态的变化在自然界中是普遍存在的——十分坚硬的金属，加热到足够的温度，也会融化成液体。三种物态之间在一定条件下的这种转变是相变现象的一个例子。本文将要重点讨论的是铁磁体系的相变。磁石能吸铁，这是人类早就知道和利用的现象。早在17世纪，就有人发现，将磁铁加热到高温，它就会失去磁性。到了19世纪，不少物理学家对磁性进行了比较系统的研究，发现了磁性消失的“临界温度”。这是人类，除了物态的三相转变之外，认识较早的另一种相变现象。铁磁性（Ferromagnetism）指的是一种材料的磁性状态，具有自发性的磁化现象。所谓自发性的磁化现象，指的是某些材料在外部磁场的作用而被磁化之后，即使外部磁场消失，依然能保持其磁化的状态而具有磁性。需要注意的是，这里说“铁磁性”，并不是指只有铁才具有这种性质，而是在各种磁性材料中以铁最广为人知也最典型，所以用“铁”来命名这种性质。物质的磁性现象存在一个临界温度，在这个温度之上，铁磁性会消失而变成顺磁性，即失去了自发磁化的性质，这种现象称为铁磁相变。在临界温度之下，铁磁性才会保持。这个临界温度被称为居里温度。磁现象的本质是量子的。NielsBohr早在1911年就指出：由经典力学出发的统计力学中，不可能有平均磁矩的存在。当时量子力学还未建立，磁性物质存在的事实就无可争辩地说明了经典物理学的局限性。虽然如此，Bohr的证明也指出如果先假定每个粒子具有一个磁矩μ，磁场就可以通过-μ•H项进入系统的总能量，从而保证总平均磁矩0N0M至于磁矩μ本身的由来，需要用量子力学来说明。量子力学说明，电子的自旋加上其轨道角动量可以导致一个偶极子磁矩，并形成磁场。大多数物质中所有电子的总偶极磁矩为零。只有电子层不满的原子（存在未配对电子）可能在没有外部磁场的情况下表现一个净磁矩。铁磁性物质有许多这样的电子。这些电子通过相互作用使原子磁矩协同指向，可以产生一个可观测的宏观磁矩。这就是铁磁性的起源。但为什么在高温下，磁性物质会丧失这种自发磁化的铁磁性质呢？刚才我们提到，要产生一个宏观可观测的磁矩，需要电子之间的相互作用使原子磁矩协同指向，即相互作用可以使体系有序化；但是，温度具有一种使系统无序化的效果。两者相互竞争。在低温下，电子之间的相互作用占主导，原子磁矩倾向于协同指向，可以发生自发磁化；但是，在高温下，温度的无序化效应占主导，原子磁矩无序排列，不能自发产生宏观的磁矩。可见，相变现象正是上述两种效应相互竞争的结果。二、统计力学可以描述相变现象吗？上面定性的可虑，虽然可以简单说明极低温和极高温的极限情形，但还不能说明系统在相变点附近的具体行为。研究表明，在居里温度附近，伴随着铁磁性物质自发磁化性质的消失，系统还展现出很多其他奇异的性质，如系统的比热、磁化率等都会出现一个很高的尖峰。这些奇异的性质长期得不到很好的理论解释。我们知道与温度相关的物理现象需要用到热力学和统计力学来理解；那么要理解相变现象，我们也很自然地想到要使用统计力学。但是如果你熟悉统计力学的基本方法，你会对统计力学是否能够描述相变现象产生疑问。平衡态统计力学的三个步骤是：（1）确定系统微观状态所对应的能谱（即对应的Hamiltonian）；（2）对所有微观状态的“能谱”求和，计算相应统计系综的“配分函数”EZe其中1BkT，E是系统的微观状态所对应的能量；（3）建立统计与热力学的关系，如对于正则系综，其热力学Helmholtz自由能为lnZF系统的内能为lnZE其中尖括号表示系综平均。众所周知，指数函数是很光滑的函数。计算“配分函数”时对大量的状态或能级求和或积分，只能使函数变得更光滑。一般而言，统计平均总是打磨原有的参差不齐，是结果变得更趋光滑。但是“相变”是连续性的中断，是无穷的尖峰和有限的跳跃，怎么可能作为不断光滑化的平均结果而得到呢？1937年11月在荷兰举办了纪念vanderWaals诞辰100周年的国际学术会议。会上爆发了关于“统计力学能否描述相变”的激烈争论。整个上午争执不休，于是会议主席H.A.Kramers将问题交付“表决”。表决的结果仍然是“No-Yes”参半。1951年，李政道和杨振宁发表了两篇统计力学论文，首次给出了不同热力学函数的严格定义，并在此基础上发现不同的热力学函数在有相变的情况下是不可解析延拓的。他们的相变理论说明了“相变”的存在并不与系统的Hamiltonian及统计力学的一般公式相矛盾。三、描述铁磁相变的平均场理论——分子场理论事实上，早在1907年PierreWiess就参照vanderWaals方程提出了解释铁磁相变的分子场理论。Wiess的思想是：用一个均匀的、与自发磁化强度平行的“分子场”（也成为“内场”）来代替分子之间的相互作用。现在我们知道，这是一种平均场近似，在许多其他领域也提过各种各样的类似理论，用于解释不同的物理现象，如超导的金兹堡-朗道理论、超流的格罗斯-皮达耶夫斯基理论、液晶的朗道-徳让理论，等等。下面我们用比较现代的观点来叙述Wiess分子场理论的基本精神。为了简单，我们考虑由一个自旋构成的体系，假设自旋只有两种取向（相对于磁场），1is，在磁场H中体系相应的能量为EH。这个自旋与恒温热浴接触，构成正则系综，其两种状态的概率为,,BBHkTHkTPCePCe其中C为归一化常数1BBHkTHkTCee于是可以得到系统自旋的系综平均值1tanhiiisBHssPkT这是单个自旋在磁场中的行为。当考虑系统有大量的自旋存在时，需要考虑自旋之间的相互作用。Wiess的分子场理论一个自旋与其他自旋的相互作用等效为一个平均的“分子场”，并假定不同的自旋是等价的，具有相同的自旋系综平均值。于是把等效的“分子场”写作effzJHs其中z是相邻自旋的个数，J是相互作用常数，用于平衡量纲。那么，在外场为零的情况下，我们可以得到下面自洽的方程tanhBzJsskT这个方程在一定情况（CTT）下，可以得到一个非零的s，对应于自发磁化。因此，我们通过数值寻根，可以得到不同温度下的自发磁矩，结果如图1所示。Figure1.平均场理论的数值结果。取J/k_B=1,z=4，对应于二维正方格子的情形。从图中，我们可以看到，当温度4CTT（温度以BJk为单位）时，体系存在非零的磁矩，即发生了自发磁化。而当4CTT时，体系的磁矩为零，对应于顺磁相。其实，当4CTT时，方程也存在着零解，但是这个解对应于一个非稳态（自由能的极大值点），而具有非零磁矩的解对应于系统的稳态（自由能的极小值点）。现在我们来考察一下平均场理论对铁磁相变点附近行为的描述。在居里温度附近，系统的平均磁矩较小，可以进行小量展开。于是得到1323BCBkTzJsTTTTzJk可见，根据平均场理论的预测，铁磁体系在居里温度附近存在12的幂律，其中称为临界指数。上述平均场理论通过近似处理，揭示了铁磁相变的机制，正确描述了临界点附近幂律规律的形式，但是定量上存在着错误。如通过平均场理论不能得到正确的居里温度CT和临界指数，而且这种方法也无法说明临界点附近比热、磁化系数等的奇异性质。进一步研究表明，平均场近似只是在四维以上的空间才是正确的，而对于我们所生活的三维世界，以及我们上面研究的二维体系则不能给出正确的结果。但是，平均场理论在定性上引出许多具有革命性的物理概念。1937年，朗道概括了平均场理论的精神，提出一种很普遍的表述。他注意到系统的有序程度的改变往往伴随着对称性质的变化，引入了序参量的概念。上述铁磁系统的序参量正是系统的平均磁矩。居里温度以上，序参量为零，对应于一个高对称的相；而居里温度以下，非零的磁矩是一个非零的序参量，对应于一个低对称性的相。相变对应于一种系统对称性的自发破缺。关于对称性自发破缺的研究深刻地影响了之后凝聚态物理以及粒子物理学等等的发展。四、Ising模型——简单而艰难的统计模型上面我们提到用统计力学可以描述一个体系相变的行为。但是上面Wiess的分子场理论忽略了自旋之间具体的相互作用，而是通过平均场近似，抹平了相变点附近由于涨落和关联对体系造成的影响，所以对于相变点附近系统的奇异行为不能很好的描述。这一节，我们来讨论一个精细一些的模型——Ising模型。这个模型将考虑自旋之间细致的相互作用。4.1什么是Ising模型所谓“Ising模型”，是一种为了解释“铁磁相变”的微观机制而提出的电子自旋-自旋相互作用的简化模型。考虑晶格的每个格点i上有有一个自旋磁矩is，它可以取向上（1is）或向下（1is）两种状态。每一个自旋和其他自旋之间存在这相互作用，只考虑两体相互作用，则其相互作用的Hamiltonian为ijijHJss其中，J是一个调节相互作用强度的参数。上面这种自旋-自旋相互作用称为交换相互作用。需要注意的是，这种交换相互作用并不是自旋磁矩和自旋磁矩之间的经典磁相互作用（这种相互作用的量级大概在1×10−4𝑒𝑉，相应的温度大概为1K），而是一种量子力学的效应。根据Pauli不相容原理，两个电子不能处于完全相同的状态，如果两个电子的自旋平行，即自旋波函数近似相同，则其空间波函数的交叠必然很小，等效为一种互斥的效应，而这种互斥的效应伴随着静电能的变化。这种由于Pauli不相容原理所引起的静电能的变化既是上面所说的交换相互作用的Hamiltonian，它的量级大概在1eV,相应的温度大概为1×104𝐾.由于空间上相距较远的两个电子的空间波函数交叠很小，所以它们之间的这种交换相互作用很弱，换句话说，J随距离的衰减很快。于是我们可以简化模型，只考虑自旋-自旋的最近邻相互作用，那么系统的总能量就可以简化为ijijEJss如果存在外磁场H，那么系统的总能量为ijiijiEJssHs上面所述的这个自旋相互作用模型，就是Ising模型。它实际上是通过合理的考虑给出了一个较为简单的系统“能谱”模型，完成了统计力学的第一步。之后就可以按照统计力学的标准步骤严格求解。但是话说起来容易，做起来可就难了。下面我们简要看一下人们对于Ising模型的研究历史。这个模型最早由德国物理学家W.Lenz于1920年在《物理学杂志》提出。后来，他将这个模型交给他的学生E.Ising去做博士论文。Ising本人在1925年证明，空间维数D=1时，Ising模型没有相变。他还列举了一些似是而非的论据，错误地推断D≥2时也没有相变。于是Ising模型就被Ising本人否定了。事隔十年之后，英国物理学家R.E.Peierls从物理考虑指出，Ising模型在D=2时应当有相变。1941年，H.A.Kramers和G.H.Wannier从“对称性”的考虑出发，严格算出D=2的正方晶格上Ising模型的相变点是tanh210.4142cBJkT1944年，L.Onsager发表了“二维Ising模型”的精确解。他计算了“各向异性”（即水平和垂直方向相互作用强度12JJ）的长方格子。Onsager解最大的特点，是比热在临界点的