三角恒等变换复习

三角恒等变换复习基本思想：理解三角函数中的4个“三”：（1）从知识层面看：三角函数公式系统的三条主线——同角关系式、诱导公式、变换公式（和、差、倍角）.（2）从问题层面看：三角变换三大问题——求值、化简、证明.（3）从方法层面看：“三个统一”——解决三角函数问题时要从“统一角度、统一函数名、统一运算结构”方面思考（4）从算法层面看：使用公式的三重境——顺用、逆用、变用.1、两角和与差的三角函数公式：)cos(sinsincoscos)sin(sincoscossin)tan(.tantan1tantan)sin(sincoscossin)cos(sinsincoscos)tan(.tantan1tantan基本公式：xbxacossin22ba22ba.cossin2222确定，由其中baabab2、辅助角公式说明：利用辅助角公式可以将形如的函数，转化为一个角的一种三角函数形式。便于后面求三角函数的最小正周期、最大（小）值、单调区间等。=sin+cosyab这个公式有什么作用？)cossin(2222xbabxbaa)cossinsin(cosxx.)sin(x22ba3.二倍角公式:2tan1tan22tancossin22sin212sin变形变形（降幂公式）21cos2sin22)cos(sin2sin1变形(1)积化和差公式)]sin()[sin(21sincos)]sin()[sin(21cossin)]cos()[cos(21sinsin)]cos()[cos(21coscos4.几个三角恒等式：（不要求记忆，但要会推导）(2)和差化积公式2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscos(3)半角公式2cos2cos12sin2cos12tancos1cos1sincos12sin2cos12cos2sin2sin2cos2sin22sin2cos12cos2sin2sin2cos2sin2cos1sin=注：在半角公式中，根号前的正负号，由角所在的象限确定.2=(4)万能公式sinα＝2sinα2cosα2＝2sinα2cosα2sin2α2＋cos2α2＝2tanα21＋tan2α2.cosα＝cos2α2－sin2α2＝cos2α2－sin2α2sin2α2＋cos2α2＝1－tan2α21＋tan2α2.基础练习：计算：（公式变，逆用）14cos74sin14sin74cos)1(70sin160cos110cos20sin)2(5.22sin21)3(215cos15sin)4(33tan12tan133tan12tan)5(231224111413)cos(,71cos1为锐角，，：已知例的值求cos典型例题：01413)cos(,71cos又,1433)sin(,734sin9823sin)sin(cos)cos(])cos[(cos注：⑴常用角的变换：①②③④⑤⑵注意对角范围的要求。)()()(2)(222)4()4([借题发挥]解决此类问题的关键在于寻找条件和结论中的角的关系，分析角与角之间的互余、互补关系，合理拆、凑，把未知角用已知角表示．为锐角，解：例3:已知A、B、C是△ABC三内角，向量.1,)sin,(cos,)3,1(nmAAnm；求角）（A1.tan,3sincos2sin1222CBBB求若）（解：,1)1(nm,1)sin,(cos)3,1(AA,1cossin3AA即,1)cos21sin23(2AA.21)6sin(A,0A,6566A,66A.3A即,3sincos2sin1222BBB由）（,2tanB)](tan[tanBAC)tan(BABABAtantan1tantan32132.11358,3sincos)sin(cos222BBBB得,3sincossincosBBBB即,3tan1tan1BB,0cosB[借题发挥]在三角函数式的化简求值问题中要注意角的变化函数名的变化，合理选择公式进行变形，同时注意三角变换技巧的运用．（给角求值，给值求值，给值求角）[典例]已知函数f(x)＝2cos2x＋43sinx2cosx2·cosx.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间－π6，π4上的值域．[解](1)f(x)＝2cos2x＋43sinx2cosx2cosx＝2cos2x＋23sinxcosx＝cos2x＋1＋3sin2x＝2sin2x＋π6＋1，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)因为x∈－π6，π4，所以2x＋π6∈－π6，2π3，所以sin2x＋π6∈－12，1，所以f(x)的值域为[0,3]．